ЕГЭ Математика. Профиль. Планиметрия. Описанная окружность.
презентация к уроку (11 класс)

Слайд 1

ЕГЭ – 2024 Составила учитель математики Гринюк Любовь Викторовна МАОУ Ильинская СОШ г. Домодедово Московской области Задание 1. Планиметрия Решение равнобедренного треугольника

Слайд 2

Планиметрия Решение прямоугольного треугольника Решение равнобедренного треугольника Треугольники общего вида Параллелограммы Трапеция Центральные и вписанные углы Касательная, хорда, секущая Вписанная окружность Описанная окружность

Слайд 3

Справочник О D В С Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника. А E А многоугольник называется вписанным в эту окружность.

Слайд 4

Справочник О А В D С В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 . Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно вписать окружность.

Слайд 5

Справочник Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. C В A a sinA b sinB = = c sinC a b c (1) (2) (3) =2 R

Слайд 6

№ 1 Точки A , B , C , расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника ABC . Ответ дайте в градусах. Решение: О А В С x 3x 5x х + 3х + 5х = 360 9х = 360 х = 40 5х = 200 3 х 1 0 х 1 0 1 0

Слайд 7

№ 2 Угол A четырехугольника ABCD , вписанного в окружность, равен 58 º . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. Решение: 58 º 3 х 1 0 х 1 2 1 2

Слайд 8

№ 3 Стороны четырехугольника ABCD AB , BC , CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95 º , 49 º , 71 º , 145 º . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. Решение: 95 º 49 º 71 º 145 º 3 х 1 0 х 1 8 1 0

Слайд 9

№ 4 Точки A , B , C , D , расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB , BC , CD и AD , градусные величины которых относятся соответственно как 4 : 2 : 3 : 6. Найдите угол A четырехугольника ABCD . Ответ дайте в градусах. Решение: 4 2 3 6 2х + 3х + 4х + 6х= 360 15х= 360 х = 24 5х = 120 3 х 1 0 х 1 6 0

Слайд 10

№ 5 Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол AB D равен 7 5 º , угол CAD равен 35 º . Найдите угол AB C . Ответ дайте в градусах. Решение: 75 º 35 º ? 3 х 1 0 х 1 0 1 1

Слайд 11

№ 6 Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол AB C равен 110 º , угол A B D равен 70 º . Найдите угол CAD . Ответ дайте в градусах. Решение: 110 º 70 º ? 3 х 1 0 х 1 4 0

Слайд 12

№ 7 Сторона правильного треугольника равна .Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Решение: 3 х 1 0 х 1 1

Слайд 13

№ 8 Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен . Найдите сторону этого треугольника. Решение: 3 х 1 0 х 1 3

Слайд 14

№ 9 Высота правильного треугольника равна 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Решение: 3 3 х 1 0 х 1 2

Слайд 15

№ 10 Решение: 3 Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту этого треугольника. 3 х 1 0 х 1 4 , 5

Слайд 16

№ 11 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника. Решение: 12 O 3 х 1 0 х 1 6

Слайд 17

№ 12 Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу этого треугольника. O 4 Решение: 3 х 1 0 х 1 8

Слайд 18

№ 13 В треугольнике ABC AC = 4, BC = 3, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника. O 4 Решение: 3 5 3 х 1 0 х 1 2 , 5

Слайд 19

№ 14 Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию , равен 120 º . Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника. Решение: 1 120 º Или Так как угол при вершине равен 120 º , то боковые стороны равнобедренного треугольника являются сторонами вписанного шестиугольника, стороны которого равны радиусу описанной окружности этого шестиугольника. 3 х 1 0 х 1 1

Слайд 20

№ 15 Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6? Решение: 3 х 1 0 х 1 6

Слайд 21

№ 16 Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 30 º . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Решение: 1 30 º Или Так как вписанный угол С равен 30 º , то центральный угол, опирающийся на хорду АВ будет равен 60 º . Треугольник, образованный двумя радиусами и хордой АВ будет равносторонним. 3 х 1 0 х 1 1

Слайд 22

№ 17 Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах. Решение: О Вписанный угол С равен половине центрального угла, опирающегося на хорду АВ . Треугольник, образованный двумя радиусами и хордой АВ будет равносторонним. Центральный угол будет равен 60 º . 3 х 1 0 х 1 3 0

Слайд 23

№ 18 Угол C треугольника ABC , вписанного в окружность радиуса 3, равен 30 º . Найдите сторону AB этого треугольника. Решение: 30 º О Так как вписанный угол С равен 30 º , то центральный угол, опирающийся на хорду АВ будет равен 60 º . Треугольник, образованный двумя радиусами и хордой АВ будет равносторонним. 3 х 1 0 х 1 3

Слайд 24

№ 19 Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 150 º . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Решение: 1 О Или Вписанный угол АСВ равен половине центрального, поэтому угол АОВ(большой) будет равен 300 º . Тогда угол АОВ(маленький) 360-300 = 60 º . АО и ОВ - радиусы окружности => треугольник АОВ - равносторонний. => АО=ОВ=АВ=1 3 х 1 0 х 1 1

Слайд 25

№ 20 Сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C . Ответ дайте в градусах. Решение: a Или Треугольник АОВ - равносторонний. Угол АОВ(маленький) равен 60 º , угол АОВ(большой) будет равен 300 º . Вписанный угол АСВ равен половине центрального, поэтому ∠ С = 150° 3 х 1 0 х 1 1 5 0

Слайд 26

№ 21 Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника. Решение: 40 40 48 3 х 1 0 х 1 2 5

Слайд 27

№ 22 Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции. Решение: Вписать в окружность можно только равнобокую трапецию. AB + CD = 1 0; AD + BC = 22 – 10 = 12 ; AD = BC = 12 : 2 = 3 х 1 0 х 1 6

Слайд 28

№ 23 Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60 º , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции. ǀ ǀ ǀ 60 º 12 Решение: Значит, трапеция является половиной правильного шестиугольника. Следовательно, центр описанной окружности находится в середине нижнего основания трапеции 3 х 1 0 х 1 6

Слайд 29

№ 24 Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции. Решение: О А В С D 6 8 5 5 5 5 3 4 4 3 3 х 1 0 х 1 7

Слайд 30

№ 25 Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82 º и 58 º . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Решение: 58 º 82 º 3 х 1 0 х 1 1 2 2

Слайд 31

№ 26 Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности. Решение: d = 2R ; R = a ; Р = 7 2 ; а = 7 2 : 6 = 12; d = 2 · 12 = 3 х 1 0 х 1 2 4

Слайд 32

№ 27 Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 108 º . Найдите число вершин многоугольника. Решение: 180(n – 2) = 108n; 180n – 360 = 108n; 72n = 360; n = 3 х 1 0 х 1 5

Слайд 33

№ 28 Одна сторона треугольника равна , радиус описанной окружности равен 1. Найдите острый угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах. Решение: О А В С R = 1; 3 х 1 0 х 1 4 5

Слайд 34

№ 29 Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105 º , угол CAD равен 35 º . Найдите угол ABD . Ответ дайте в градусах. Решение: 105 º 35 º ? 3 х 1 0 х 1 7 0