ЕГЭ Математика. Профиль. Планиметрия. Параллелограммы.
презентация к уроку (11 класс)

Слайд 1

ЕГЭ – 2024 Составила учитель математики Гринюк Любовь Викторовна МАОУ Ильинская СОШ г. Домодедово Московской области Задание 1 Параллелограммы

Слайд 2

Справочник В А С D Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. АВ ǀǀ D С, AD ǀǀ BC

Слайд 3

Справочник Свойства параллелограмма 1 0 . В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны . В А С D 2 0 . Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. В С D А О

Слайд 4

Справочник В А С D АВ ǀǀ D С, AD ǀǀ BC Дополнительные свойства . Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 0 .

Слайд 5

Справочник Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту . А В С D H S = BH AD F S = BF DC α S = AB AD sin α α S = 0,5AC BD sin α

Слайд 6

Справочник А Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. В С D Для прямоугольника выполняются свойства параллелограмма 1 0 . В прямоугольнике противоположные стороны равны и противоположные углы равны. 2 0 . Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

Слайд 7

Справочник Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. А Для ромба выполняются свойства параллелограмма 1 0 . В ромбе противоположные стороны равны и противоположные углы равны. 2 0 . Диагонали ромба перпендикулярны, являются биссектрисами его углов и точкой пересечения делятся пополам. В С D

Слайд 8

№ 1 В параллелограмме ABCD , , . Найдите большую высоту параллелограмма. Решение: 3 21 ∟ h 54; 3 х 1 0 х 1 1 8

Слайд 9

№ 2 Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1. Решение: Площадь квадрата равна половине произведения его диагоналей.  3 х 1 0 х 1 0 , 5

Слайд 10

№ 3 Площадь прямоугольника равна 18. Найдите его большую сторону, если она на 3 больше меньшей стороны. Решение: x x + 3 x (x + 3) = 18; x ² + 3x – 18 = 0; x 1 = -6; x 2 = 3 ; 3 х 1 0 х 1 6

Слайд 11

№ 4 Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 18, а отношение соседних сторон равно 1:2. Решение: x 2x P = 2(AB + BC) ; S = AB · BC = 18; 2x ² = 18; x ² = 9; x = 3; AB = 6; BC = 3 ; P = 2(6 + 3) = 3 х 1 0 х 1 1 8

Слайд 12

№ 5 Периметр прямоугольника равен 42, а площадь 98. Найдите большую сторону прямоугольника. Решение: P = 2(AB + BC) = 42; AB + BC = 21; S = AB · BC = 98; AB = 14; BC = 7 ; 3 х 1 0 х 1 1 4

Слайд 13

№ 6 Периметр прямоугольника равен 28, а диагональ равна 10. Найдите площадь этого прямоугольника. Решение: 10 S = AB · BC; P = 2(AB + BC) = 28; AB + BC = 14; AB = x; BC = 14 - x; x ² + ( 14 – x) ² = 10 ² ; x ² + 196 - 28x + x ² = 100; 2x ² -28x + 96 = 0; x ² -14x + 48 = 0; x 1 = 6; x 2 = 8; S = 6 · 8 = 3 х 1 0 х 1 4 8

Слайд 14

№ 7 Периметр прямоугольника равен 34, а площадь равна 60. Найдите диагональ этого прямоугольника. Решение: P = 2(AB + BC) = 34; AB + BC = 17; S = AB · BC = 60; AB = x; BC = 17 - x ; x ( 17 – x) = 60; 17x – x ² = 60; x 1 = 5; x 2 = 12; 3 х 1 0 х 1 1 3

Слайд 15

№ 8 Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах Решение: А 1 B 1 C 1 D 1 ǀ ǀ ǀǀ ǀǀ ? 3 х 1 0 х 1 3 0

Слайд 16

№ 9 Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на первую сторону, равна 10. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма Решение: 15 9 10 S ABCD = 9 · 10 = 90; S ABCD = 15 · h = 90; 3 х 1 0 х 1 6

Слайд 17

№ 10 Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма. Решение: 5 10 ∟ h 3 х 1 0 х 1 8

Слайд 18

№ 11 Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 30 º . Решение: ∟ 2 30 º 4 3 х 1 0 х 1 8

Слайд 19

№ 12 Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12. Решение: S ABCD = 0,5 AC· BD ; S ABCD = 0,5 · 4· 12 = 3 х 1 0 х 1 2 4

Слайд 20

№ 13 Площадь ромба равна 18. Одна из его диагоналей равна 12. Найдите другую диагональ. 12 Решение: S ABCD = 0,5 AC· BD ; 0,5 · 12 · BD = 18 ; 3 х 1 0 х 1 3

Слайд 21

№ 14 Площадь ромба равна 6. Одна из его диагоналей в 3 раза больше другой. Найдите меньшую диагональ. Решение: x 3x S ABCD = 0,5 AC· BD ; 0,5 x· 3x = 6 ; 1,5 x ² = 6 ; x ² = 4 ; x = 3 х 1 0 х 1 2

Слайд 22

№ 15 Сумма двух углов параллелограмма равна 100°. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Решение: 50 º 50 º ? 3 х 1 0 х 1 1 3 0

Слайд 23

№ 16 Один угол параллелограмма больше другого на 70 º. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах. Решение: x + 70 º x x + x + 70 º = 180 º ; x + 70 º = 55 º + 70 º = 2x = 110 º ; x = 55 º ; 3 х 1 0 х 1 1 2 5

Слайд 24

№ 17 Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 26 º и 34 º. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. Решение: 26 º 34 º ∠A = 26 º + 34 º = 60 º ; ? ∠B = 180 º - 60 º = 3 х 1 0 х 1 1 2 0

Слайд 25

№ 18 Периметр параллелограмма равен 46. Одна сторона параллелограмма на 3 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма. Решение: P = 2(AB + BC) = 46; AB + BC = 23; BC = x ; AB = x + 3; x + x + 3 = 23; 2x = 20; x = 3 х 1 0 х 1 1 0

Слайд 26

№ 19 Диагональ прямоугольника вдвое больше одной из его сторон. Найдите больший из углов, который образует диагональ со сторонами прямоугольника? Ответ выразите в градусах. Решение: x 2x ∠CA B= 30 º ; ∠AC B= 90 º - 30 º = 3 х 1 0 х 1 6 0

Слайд 27

№ 20 Найдите высоту ромба, сторона которого равна , а острый угол равен 60 º . Решение: 60 º 3 х 1 0 х 1 1 , 5

Слайд 28

№ 21 Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 3 : 7. Ответ дайте в градусах. Решение: 7x 3x 3x + 7x= 180 º ; 10x = 180 º ; x = 18 º ; 7 x = 7 · 18º = 3 х 1 0 х 1 1 2 6

Слайд 29

№ 22 Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах. Решение: O 3 х 1 0 х 1 9 0

Слайд 30

№ 23 Две стороны параллелограмма относятся как 3 : 4 , а периметр его равен 70. Найдите большую сторону параллелограмма. Решение: 3x 4x 2(3x + 4x) = 70; 14x= 70; x= 5; 4x= 3 х 1 0 х 1 2 0

Слайд 31

№ 24 Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 4 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88. Решение: 4x 3x 4x 2(7x + 4x) = 88; 22x = 88; x = 4; 7x = 3 х 1 0 х 1 2 8

Слайд 32

№ 25 Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону. Решение: 5 ǀ ǀ ǀ ǀ 3 х 1 0 х 1 1 0

Слайд 33

№ 26 Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна , а острый угол равен 60 º . Решение: 3 х 1 0 х 1 9

Слайд 34

№ 27 Диагонали ромба относятся как 3 : 4 . Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба. Решение: 1,5x 2x ∟ P = 200; AB = 50; 4x ² + 2,25x² = 2500; 6,25x² = 2500; x = 20; AO = 40; BO = 30; 600; 3 х 1 0 х 1 4 8

Слайд 35

№ 28 Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника. Решение: E F K M BD = 5; AC = 4; P = 3 х 1 0 х 1 9

Слайд 36

№ 29 В ромбе ABCD угол ABC равен 122°. Найдите угол ACD . Ответ дайте в градусах. Решение: 122 º ? ∠ACD = ( 180 º - 122º) : 2 = 3 х 1 0 х 1 2 9

Слайд 37

№ 30 В ромбе ABCD угол ACD равен 43°. Найдите угол ABC . Ответ дайте в градусах. Решение: ? 43 º ∠ACD = 180 º - 2 · 43 º= 3 х 1 0 х 1 9 4

Слайд 38

№ 31 Площадь параллелограмма ABCD равна 189. Точка E — середина стороны AD . Найдите площадь трапеции AECB . Решение: А B C D E ∟ ∟ h 2x x S ABCD = 2x · h = 189; S AECB = 1,5x · h ; S AECB = ( 1,5x · 189) : 2x ; 3 х 1 0 х 1 1 4 , 7 5 1

Слайд 39

№ 32 Площадь параллелограмма ABCD равна 153. Найдите площадь параллелограмма , вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма. А В C D A 1 B 1 C 1 D 1 ǀ ǀ ǀ ǀ ǀǀ ǀǀ ǀǀ ǀǀ Решение: 3 х 1 0 х 1 7 6 5 ,

Слайд 40

№ 33 Площадь параллелограмма ABCD равна 176. Точка E – середина стороны CD . Найдите площадь треугольника ADE. Решение: А B C D E x ∟ h S ABCD = 2x · h = 176; S ADE = 0,5x · h ; S ADE = ( 0,5x · 176) : 2x ; 3 х 1 0 х 1 4 4

Слайд 41

№ 34 Угол между стороной и диагональю ромба равен 54º . Найдите острый угол ромба. Решение: 54 º ∠A = 180 º - 2 · 54º= 3 х 1 0 х 1 7 2

Слайд 42

№ 35 Середины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 5, соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника. Решение: 5 HG = 2,5; P = 4 · 2,5 = 3 х 1 0 х 1 1 0