Урок алгебры 8 класса на тему «Решение квадратных уравнений различными способами»
учебно-методический материал по алгебре (8 класс)

Урок алгебры 8 класса на тему «Решение квадратных уравнений различными способами»

Предварительная подготовка: учащиеся должны знать следующие темы: «Квадратное уравнение и его корни», «Неполные квадратные уравнения», «Метод выделения полного квадрата», «Решение квадратных уравнений», «Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета», «Уравнение , приводящиеся к квадратным», уметь применять знания о квадратных уравнениях для выполнения различных заданий.

Цели урока: 1) образовательная: формирование умений применять полученные ранее знания, сопоставлять, анализировать, делать выводы; отработка умения решать уравнения;2) воспитательная: формирование интереса к познавательному процессу, навыков самоконтроля и взаимоконтроля; 3) развивающая: развитие наблюдательности, памяти, логического мышления.

Оборудование: написанные на доске примеры для устной и самостоятельной работы, таблица со значениями коэффициентов, листы с заданиями (без решения), учебники.

Ход урока

1. Устная работа.

1.(На доске начерчена таблица, в которой не заполнен последний столбец.)

- Составьте квадратные уравнения с заданными коэффициентами а, в, с.

- Определите, какие из них являются полными квадратными уравнениями , а какие неполными. (Полные квадратные уравнения- 3,4; неполные – 1,2,5.)

2.Составьте квадратное уравнение, у которого: 1) нет корней; 2) два корня; 3) один корень. ( Ответы на это задание могут быть самыми различными. Например,  можно придерживаться следующих позиций. Корней не будет, когда х2˂0. Два корня будут при решении обычного квадратного уравнения. Уравнение будет иметь один корень, если х=0, т.е. произведение должно быть равно нулю.)

Варианты уравнений:

1. 7х2+9=0; х2+4х+16=4х; -х2=81.
2. х2-4х+4=0; 15х+9х2=7х2+10х; 3х2-27=0
3. 8х2=0; 3х2+17=17; х2=0

3.Составьте алгоритм решения квадратного уравнения х2-14х+49=0, учитывая , что есть три способа его решения.

Решение:

Первый способ.

Вычислить корни уравнения можно через дискриминант. То есть вычисляется дискриминант. Потом  находят корни квадратного уравнения.  Д=в2-4ас=196-196=0;

Х1,2=

Второй способ. 

Второй коэффициент квадратного уравнения четное число, поэтому можно вычислить его через k. То есть вычисляется дискриминант при коэффициенте k. Потом находят корни квадратного уравнения. Д=k2-ас= 49-49=0; х1,2==7.

Третий способ.

Разложить квадратное уравнение на множители. Уравнение преобразуется так, чтобы в левой его части получился квадрат двучлена. х2-14х+49=0; х2-2*7х+49=0; (х-7)2=0; х-7=0; х=7. (Данное задание выполнить на доске тремя учениками одновременно.)

II. Выполнение заданий

1.В уравнении х2+рх-18=0 один из корней равен -9. Найдите другой корень и   коэффициент р.

Решение: используя теорему Виета, получаем следующие выражения: -9+х2=-р;

-9*х2=-18. Из последнего уравнения х2=2. Подставим полученное значение в первое уравнение: -9+2=-р. -7=-р; р=7.

Ответ:  х2=2, р=7.

2.Определите, сколько корней имеет квадратное уравнение , не решая его.

1) х2-7х+6=0

Решение: Д=25, значит 2 корня.

Ответ: два корня.

2) 2х2-16х+32=0

Решение: Д=0, значит уравнение имеет один корень.

Ответ: один корень.

3. 2х2-50=0; х2-25=0; х2=25; Так как 25˃0, то уравнение имеет два корня.
4. 15х2+30х=0; 15х(х+2)=0. Один из корней равно 0, а второй корень равен -2.

Ответ: два корня.

3. При каком значении параметра а уравнение имеет два корня?

1. ах2+5х-2=0 

Решение: уравнение имеет два корня, если Д˃0. Вычислим дискриминант: Д=25+8а. Полученное выражение должно быть больше нуля, т.е. 25+8а˃0, 8а˃-25; а˃-25/8. При любом значении  а˃-25/8 уравнение ах2+5х-2=0  имеет два корня. Например, а=-3.

Ответ: при   а˃-25/8.

2. 2х2-3х+а=0.

Решение:         2х2-3х+а=0. Д=9-8а;  9-8а˃0; а˂9/8.

Ответ: при а˂9/8.

4.Решите квадратное уравнение , учитывая, что второй коэффициент является четным числом.

1) х2+4х-5=0

Решение: Д1=9; х1,2=-2±3. х1=1, х2=-5.

2)х2+6х-7=0

Решение: Д1=16; х1=1, х2=-7

5.Вычислите стороны прямоугольника, если известно, что одна из них больше другой на 5 см. Площадь данной фигуры равна 6 см.

Решение: пусть дона из сторон прямоугольника равна х см. Тогда вторая сторона будет равна х+5см. Площадь такой фигуры равна х(х+5)=6; Решим полученное уравнение: х2+5х-6=0; Д=49; х1=1; х2=-6. Второй корень лишний. Поэтому вторая сторона прямоугольника равна 1+5=6.

Ответ: 1см, 6см.

III. Повторение.

Устная работа.

1.Замените уравнение равносильным ему приведенным квадратным уравнением:

1) 2х2+8х-6=0; Ответ: х2+4х-3=0

2) 5х2-15х+20=0 Ответ: х2-3х+4=0.

3) 1/2х2+3х-4=0. Ответ: х2+6х-8=0

2.Запоните пропуски, используя в качестве модели квадратное уравнение 9х2+6х-8=0

1)а=…, в=…, k=….

2). Ответ: .

3)х1=. Решение: Д= в2-4ас= 36+288=324; х1=

4) х2=; Ответ: ) х2=

IV. Выполнение заданий.

1.Каким способом можно решить подобные уравнения? Решите уравнения.

а)х4+7х2-8=0

Решение: Такие уравнения решаются введением новой переменной. Пусть х2=у, тогда получим следующее уравнение: у2+7у-8=0. Решим полученное уравнение: Д=81, у1=1, у2=-8. Так как х2=у, то подставим полученные корни в данное уравнение: х2=1, х2=-8. Первое уравнение имеет два корня т.к.1˃0. Второе уравнение не имеет корней, т.к. -8˂0. Решим первое уравнение: х2=1; х; х1,2=±1.

Ответ: х1,2=±1.

б)(1-у2)2+12=у2-7.

Решение: Преобразуем уравнение формулой сокращенного умножения возведя скобку в квадрат. Получим 1-2у2+у4+12-у2+7=0; у4-3у2+20=0. Решая введением новой переменной получим: х2-3х+20=0; Д=-71,Д˂0. Данное уравнение не имеет корней. Значит, уравнение (1-у2)2+12=у2-7 не имеет корней.

Ответ: не имеет корней.

2.Составьте приведенное квадратное уравнение:

А) если х1=5, х2=2.

Решение: данное уравнение является приведенным, поэтому первый коэффициент равен 1. Используя теорему Виета, вычислим другие коэффициенты данного уравнения .По теореме Виета х1+х2=-р, х1*х2=q. Получаем, что 5+2=-р, т.е. р=-7; 5*2=q, т.е.q=10. Следовательно, уравнение имеет вид х2-7х+10=0.

Б) если х1=3, х2=-4. Ответ: х2+х-12=0.

3.Решитье уравнение методом выделения полного квадрата:

а)х2+6х+5=0. Решение: х2+6х=-5; х2+2*3х= -5; х2+2*3+32= -5+32; (х+3)2=4; Х+3=±=±2, х+3=2, х+3=-2; х=-1, х=-5.

Ответ: х=-1, х=-5.

б) х2-8х-20=0. Ответ: х1=10, х2= -2.

V. Самостоятельная работа.

 Решите уравнение любым способом (1-2х)(4х2+2х+1)= 8(1-х2)(х+2)+8х2+1.

Решение: Раскрыв скобки, приведя подобные члены получим, 8х2-8х-16=0; х2-х-2=0; Д=9, х1=2, х2=-1.

VI. Подведение итогов урока. Выставление оценок.

V. Домашнее задание.