Методические материалы для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по решению квадратных уравнений различными способами.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (8, 9, 10, 11 класс)
Квадратные уравнения изучают в 8 классе. Умение решать их совершенно необходимо, поскольку решения квадратного уравнения – это базовая тема школьного курса математики. Алгоритм решения квадратных уравнений давно общеизвестен. Иногда немало времени уходит на их решение. Потребность в быстром решении квадратных уравнений обусловлена тем, что время, отводимое на сдачу ОГЭ и ЕГЭ, ограничено. В учебниках по алгебре рассматриваются только три способа решения квадратных уравнений.
А возможны ли другие способы решения уравнений?
Скачать:
Предварительный просмотр:
Методические материалы для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по решению квадратных уравнений различными способами.
Квадратные уравнения изучают в 8 классе. Умение решать их совершенно необходимо, поскольку решения квадратного уравнения – это базовая тема школьного курса математики. Алгоритм решения квадратных уравнений давно общеизвестен. Иногда немало времени уходит на их решение. Потребность в быстром решении квадратных уравнений обусловлена тем, что время, отводимое на сдачу ОГЭ и ЕГЭ, ограничено. В учебниках по алгебре рассматриваются только три способа решения квадратных уравнений.
А возможны ли другие способы решения уравнений?
Способы решения квадратных уравнений.
- Решение с использованием формулы корней квадратного уравнения.
Уравнение вида , где а, в и с – заданные числа (а≠0) называют квадратным уравнением.
D = – дискриминант, – формула корней.
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень, который вычисляется по формуле: .
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые вычисляются по формуле: .
Пример:
D = =
= ,
Ответ: -1; -.
Для самостоятельного решения:
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.
- Решение методом выделения полного квадрата.
Метод выделения полного квадрата основан на формулах квадрата суммы и квадрата разности
;
;
Этот способ удобен для решения квадратных уравнений, в которых второй коэффициент – четное число, а первый коэффициент (старший) является квадратом числа.
Решим уравнение .
Выделим в левой части полный квадрат. Для применения формулы квадрата разности необходимо получить выражение
Заметим, что и в выражении не хватает слагаемого 3². Тогда к исходному квадратному трехчлену прибавим 3²=9 и отнимем 9, чтобы получить равное выражение, после чего выделим квадрат разности (х – 3)² и суммируем оставшиеся числа.
=(х² - 6х + 9) – 9 + 7 = (х – 3)² -2. Далее решим уравнение
(х – 3)² - 2 = 0
(х – 3)² = 2
х – 3 = х =
х – 3 = - ; х = - + 3.
Ответ: -
Пример:
Вспомним условие (второй коэффициент – четное число, а первый (или старший) коэффициент является квадратом числа.
, умножим уравнение на 2, чтобы второй коэффициент стал четным.
, умножим уравнение на 6, чтобы первый коэффициент стал квадратом числа 6.
, теперь выделим полный квадрат. Т.к. 36х² = (6х)², а 60х = 2·6х·5, то не хватает слагаемого 5² = 25.
(6х – 5)² -1 = 0
(6х – 5)² = 1
6х – 5 = 1 6х = 6 х = 1
6х – 5 = -1; 6х = 4; х = .
Ответ: ; 1.
Для самостоятельного решения:
2.1 ;
2.2
2.3 ;
2.4 ;
2.5 ;
2.6
2.7
3) Метод коэффициентов.
В уравнении , a, b и c – коэффициенты.
а) Если в квадратном уравнении сумма коэффициентов a + b + c = 0, то один корень 1, а второй .
б) Если в квадратном уравнении второй коэффициент b = a + c, то один корень -1, а второй -.
Пример:
a = 10, b = -13, c = 3.
a +b + c = 10 +(-13) + 3 = 0, значит = 1, = = = 0,3
Ответ: 0,3; 1.
Пример:
а = 2, в = 5, с = 3.
в = а + с, 5 = 2 + 3, значит = -1, = - = - = - 1,5.
Ответ: -1,5; -1.
Для самостоятельного решения:
3.1. ;
3.2.
3.3. ;
3.4.
3.5. ;
3.6.
3.7.
в) Если в квадратном уравнении выполняется условие ас + 1 = - в, то = , = с.
г) Если в квадратном уравнении выполняется условие ас + 1 = в, то = - , = - с.
Пример:
а = 2, в = 7, с = 3.
Заметим, что ас + 1 = в, 2·3+1=7, значит = - , = - с = -3.
Ответ: -3; -.
Пример:
а= 10, в = - 111, с = 11.
Заметим, что ас + 1 = - в, 10·11 + 1 = -(-111), значит = , = с = 11.
Ответ: 0,1; 11.
Для самостоятельного решения:
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13
3.14.
4) Теорема, обратная теореме Виета.
Уравнение называют приведенным квадратным уравнением.
Если некоторые два числа таковы, что их сумма равна второму коэффициенту приведенного квадратного уравнения, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно его свободному члену, то данные числа являются корнями этого приведенного уравнения.
Таким образом, из соотношений следует, что являются корнями квадратного уравнения .
Пример:
.
; .
Надо подобрать корни таким образом, чтобы их сумма равнялась 7, а их произведение равнялось 10 (обычно это делается в уме).
Единственные числа, которые подходят к этому условию – это 2 и 5, значит
Ответ: 2; 5.
Для самостоятельного решения:
4.1. ;
4.2. ;
4.3. ;
4.4. ;
4.5. ;
4.6. ;
4.7. .
Ответы:
- -2; 0,75.
- Корней нет.
- 1.
- .
- .
- −1; 5.
- -1; 2,5.
- -5; 3.
- -0,4; 2.
- -1,5; 1.
- ;
- −2; 8.
- -2; 0,5.
- -0,2; 0,5.
- 1; 0,6.
- -1; -0,75.
- -1; 9.
- -1; -.
- -0,4; 1.
- -1;
- -1,5; -1.
- -0,25; 16.
- -; 2.
- -0,2; -6.
- -12;
- ; 5.
- ; -5.
- - ; 11.
- 2; 3.
- -1; 9.
- -10; 9.
- -4; 7.
- -2; 8.
- -11; 2.
- 2; 33.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
конспект открытого урока по алгебре для 8 класса "Решение квадратных уравнений различными способами" с применением ИКТ
систематизация, обобщение полученных ранее знаний, а также ознакомление с новыми способами решения квадратных уравнений...
Конспект урока по алгебре 8 класс "Решение квадратных уравнений графическим способом"
Конспект урока-практикума по алгебре с тестовыми заданиями...
Решение квадратных уравнений различными способами
обобщение и систематизация знаний по теме;ликвидация пробелов в знаниях учащихся;выработка умений и навыков по решению квадратных уравнений различного вида разными способами;выработка умения выбрать н...
Конспект урока по теме "Решение квадратных уравнений различными способами"
Заключительный урок по етеме" Квадратные уравнения" для 8 кл....
Решение квадратных уравнений различными способами
Презентация к уроку по теме: "Решение квадратных уравнений различными способами"...
Решение квадратных уравнений различными способами
С примерами применения различных формул учащиеся неоднократно встречаются как на уроках алгебры, геометрии, так и на других уроках. Накопленный опыт позволяет восьмиклассникам доволь...
Урок алгебры 8 класса на тему «Решение квадратных уравнений различными способами»
Предварительная подготовка: учащиеся должны знать следующие темы: «Квадратное уравнение и его корни», «Неполные квадратные уравнения», «Метод выделения полного квадрата&r...