Программа дополнительного образования "От простого к сложному"
рабочая программа по алгебре (11 класс) на тему

 Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 3»  

Образовательная программа

 «От простого к сложному» 

возраст обучающихся  15 – 17 лет

срок реализации – 1 год

Составитель:                                                                                              

  Капранова Т. В.

  педагог дополнительного

образования

                                              г. Рассказово

Информация об общеобразовательном учреждении

Директор МБОУ СОШ № 3:  Кидин А.Н.

Организация заявитель: МБОУ СОШ № 3  

Адрес организации: Тамбовская область, г. Рассказово,

                                     ул. Спортивная, 75

Телефон:  8 (475 – 31) 33 – 4 – 54

Факс:   8 (475 – 31) 33 – 4 – 54

Информация о составителе программы

Капранова Татьяна Викторовна – педагог дополнительного образования, учитель математики I квалификационной категории

Информация о программе

Программа  «От простого к сложному»  реализуется с 2010 года.

Направленность:  естественно–научная

Тип программы: модифицированная

Срок реализации:  1 год

Уровень реализации: среднее (полное) общее образование

Уровень освоения:  краткосрочный

Способ освоения:  креативный

Количество детей: группа обучающихся (15–20 человек)

Экспертиза и утверждение программы проведены методическим советом школы в ноябре 2009 года

(протокол №____от ___________)

Пояснительная записка

Образовательная программа «От простого к сложному» может использоваться как в общеобразовательных, так и в классах с углубленным изучением предмета. Она направлена на совершенствование математической подготовки обучающихся этих классов через решение большого количества заданий, введение новых теоретических фактов, расширение методов решения задач.

Направленность программы: естественно – научная.

Актуальность данной программы обусловлена, во-первых, её востребованностью со стороны учащихся, заинтересованных в успешном продолжении образования, во- вторых, её тематическим наполнением. Так,

– рассмотрение различных видов рациональных и иррациональных уравнений продолжат и расширят содержательную линию «Уравнения», рассматриваемую в основном курсе;

– решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций (ОДЗ (области допустимых значений), монотонности, ограниченности) и применением производной считаются задачами повышенной сложности, требующими  нестандартных подходов;

– темы «Тригонометрические уравнения и неравенства» и «Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями» являются традиционно сложными; тема благоприятна для рассмотрения нестандартных приёмов, базирующихся на хорошем знании теории вопроса;

– уравнения и неравенства с параметром в последнее время становятся обязательным компонентом вступительных и выпускных экзаменов.

Новизна программы связана с включением в её тематическое содержание вопросов, не получивших отражение в основном курсе.

Педагогическая целесообразность данной образовательной программы вытекает из цели и задач, которые ставятся при её реализации.

Цель программы:

– повышение уровня общей математической подготовки обучающихся через

   углубление и дополнение отдельных тем по предмету.

Образовательные задачи:

− закрепить решение рациональных и иррациональных уравнений;

– расширить представление о методах и приёмах, используемых при

   решении уравнений и неравенств разного типа;

− овладеть приёмами решения тригонометрических уравнений и

   неравенств повышенной сложности;

– совершенствовать умение применять метод координат, элементы векторной

   алгебры и аналитической геометрии при решении геометрических задач;

– рассмотреть особенности и методы решения уравнений и неравенств,

   содержащих выражения вида ;

– познакомить с основными приемами решения уравнений и неравенств с

   параметром;

− познакомить с методами решения нестандартных задач;

Воспитательные задачи:

– воспитывать культуру личности;

– воспитывать понимание отношения к математике как к части

   общечеловеческой культуры;

– воспитывать значимость математики для научно – технического прогресса;

– воспитывать настойчивость, инициативу, чувство ответственности,

   самодисциплину.

Развивающие задачи:

− развивать математическое мышление, математическое зрение;

− обогащать новыми математическими идеями;

− развивать математические способности.

Отличительная особенность данной образовательной программы состоит в том, что она добавляет и углубляет программу по математике, составленную на основе федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего образования на базовом уровне темами, рассматриваемыми в учебных пособиях:  1) С.В. Кравцев и другие. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных;    2) Г. Дорофеев, М. Потапов, Н. Розов. Математика: Для поступающих в ВУЗы; 3) Е.Е. Мордовина. Уравнения и неравенства с параметром и учебных пособий других авторов.

Срок реализации программы  один год (72 часа).

Возраст обучающихся  15 – 17 лет.

Предполагается использовать следующие формы занятий: лекции, практические занятия, самостоятельные работы обучающего и контролирующего характера, обсуждение заданий по дополнительной литературе, доклады обучающихся.

Режим занятий: 1 раз в неделю по 2 часа.

Предполагаемые результаты:

  В результате обучения учащиеся должны

Знать:

– основные подходы в решении рациональных и иррациональных уравнений;

– основополагающие утверждения, позволяющие использовать свойства функции при решении уравнений и неравенств;

– методику использования свойств функций при решении уравнений и неравенств, содержащих логарифмическую, показательную, тригонометрические функции;

– свойства и тождества для обратных тригонометрических функций и приёмы их использования при решении уравнений и неравенств повышенной сложности;

– методику решения типовых уравнений и неравенств с одной переменной, содержащих параметр;

– основные приёмы исследования корней трёхчлена второй степени с параметром на вопросы их существования, количества и расположения на числовой прямой относительно заданных точек, промежутков;

– методы решения уравнений и неравенств, содержащих выражения вида ;

– основные формулы и правила элементов векторной алгебры и аналитической геометрии, применяемые при решении геометрических задач;

– основные подходы к использованию метода координат в решении геометрических задач;

– метод мини–максов;

– D – метод решения уравнений и систем уравнений;

– метод тригонометрической подстановки решения уравнений, неравенств и систем уравнений;

– метод «геометрической» подстановки решения уравнений, неравенств, систем  и т.п.;

– метод использования алгебраической симметрии при решении нестандартных задач.

Уметь:

– использовать  различные методы решения рациональных  и иррациональных уравнений;

– применять свойства функций при решении уравнений и неравенств, содержащих  логарифмическую, показательную, тригонометрические функции;

– использовать свойства обратных тригонометрических функций при решении уравнений и неравенств в нестандартных заданиях;

– применять теоретические основы и алгоритмы решения типовых уравнений и неравенств с одной переменной, содержащих параметр;

– исследовать корни трёхчлена второй степени с параметром на вопросы их существования, количества и расположения на числовой прямой относительно заданных точек, промежутков;

– решать уравнения и неравенства, содержащие выражения вида ;

– совместно использовать элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в процессе решения геометрических задач;

– применять метод координат при решении геометрических задач;

– использовать метод мини–максов при решении нестандартных уравнений и неравенств;

– использовать D – метод для решения нестандартных уравнений и систем уравнений;

– использовать метод «геометрической» подстановки для решения нестандартных задач;

– использовать метод тригонометрической подстановки для решения нестандартных уравнений, неравенств, систем и т.п.;

– использовать симметрию алгебраических выражений при решении нестандартных задач, в том числе задач с параметрами.

Успешность овладения программой может быть отслежена проверочными работами по темам или выявлена в процессе участия обучающихся в олимпиадах, в научно – практических конференциях, в разнообразных конкурсах.

Итогом работы по данной образовательной программе можно считать осознание обучающимися того, что они подготовлены к работе со сложными математическими заданиями. А практическим выходом будет проведение научно – практической конференции.

Учебно–тематический план

Краткое содержание разделов

Введение

ТЕОРИЯ: Введение в курс общеобразовательной программы «От простого к сложному». Постановка цели и задач данной программы.

Раздел 1:    Решение рациональных и иррациональных уравнений

1.1.  Решение рациональных уравнений

ТЕОРИЯ: Понятие рационального уравнения. Основные методы решения рациональных уравнений: 1) простейшие; 2) группировка; 3) подстановка; 4) уравнение вида ; 5) уравнение вида ;  6) симметрические (возвратные) уравнения (схема Горнера); 7) «однородные» уравнения; 8) подбор рациональных корней при решении уравнений высших степеней; 9) уравнения, содержащие переменную под знаком модуля; 10) нестандартные решения уравнений, т.е. «искусство».

ПРАКТИКА: Решение задач по материалам вступительных экзаменов.

1.2.   Решение иррациональных уравнений

ТЕОРИЯ: Понятие иррационального уравнения. Основные методы решения иррациональных уравнений: 1) уединение радикала и возведение в степень; 2) введение новой переменной (подстановка); 3) уравнения, содержащие кубические радикалы.

ПРАКТИКА: Решение задач по материалам вступительных экзаменов.

Раздел 2:    Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств

2.1.  Использование ОДЗ, ограниченности, монотонности и графиков функций при решении уравнений и неравенств

ТЕОРИЯ: Основополагающие утверждения, позволяющие использовать ОДЗ (область допустимых значений), свойства ограниченности и монотонности функций, графики функций при решении уравнений и неравенств.

ПРАКТИКА: Решение уравнений и неравенств, содержащих логарифмическую и показательную функции, тригонометрические функции. Решение уравнений вида  и . Решение неравенств вида  и .

2.2.   Использование производной при решении уравнений и неравенств

ТЕОРИЯ: Основополагающие утверждения, позволяющие использовать производную при решении уравнений и неравенств. Использование монотонности, наибольшего и наименьшего значений функций. Применение теоремы Лагранжа.

ПРАКТИКА: Решение нестандартных уравнений вступительных экзаменов.

Раздел 3:    Решение уравнений и неравенств, содержащих тригонометрические и обратные тригонометрические функции

3.1.  Нестандартные тригонометрические уравнения и неравенства

ТЕОРИЯ: Формулы решения тригонометрических уравнений и неравенств.

ПРАКТИКА: Некоторые подходы к решению нетипичных тригонометрических уравнений и неравенств через рассмотрение примеров материала вступительных экзаменов в ВУЗы.

3.2.  Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические  функции

ТЕОРИЯ: Свойства обратных тригонометрических функций. Некоторые тождества для обратных тригонометрических функций.

ПРАКТИКА: Методика их применения при решении уравнений и неравенств.

Раздел 4:      Уравнения и неравенства с параметром

4.1.   Уравнения с параметром

ТЕОРИЯ: Теоретические основы и алгоритмы решения типовых уравнений с одной переменной, содержащих параметр: 1) линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к линейным; 2) уравнения второй степени и уравнения, сводящиеся к ним; 3) уравнения высших степеней; 4) иррациональные уравнения; 5) логарифмические уравнения; 6) тригонометрические уравнения; 7) уравнения, содержащие функции вида .

ПРАКТИКА: Решение конкретных примеров.

4.2.  Неравенства с параметром

ТЕОРИЯ: Теоретические основы и алгоритмы решения типовых неравенств с одной переменной, содержащих параметр: 1) линейные неравенства и неравенства, сводящиеся к линейным; 2) неравенства второй степени и неравенства, сводящиеся к ним; 3) неравенства высших степеней; 4) иррациональные неравенства; 5) логарифмические неравенства; 6) тригонометрические неравенства; 7) неравенства, содержащие функции вида .

ПРАКТИКА:  Решение конкретных примеров.

4.3.   Исследование корней трёхчлена второй степени с параметром

ПРАКТИКА: Решение типовых задач исследования корней трёхчлена второй степени с параметром на вопросы существования, количества и расположения на числовой прямой относительно заданных точек, промежутков.

Раздел 5:    Уравнения и неравенства,  содержащие выражения вида .

5.1.   Уравнения вида  и

ПРАКТИКА: Сложная экспонента. Решение уравнений вида  и . Рассмотрение примеров материала вступительных экзаменов в ВУЗы.

5. 2.   Неравенства вида  и

ПРАКТИКА: Решение неравенств вида  и . Рассмотрение примеров материала вступительных экзаменов в ВУЗы.

Раздел 6:   Метод координат и векторная алгебра в геометрии

6.1.   Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

ТЕОРИЯ: Коллинеарность и компланарность векторов. Правила сложения векторов. Действия над векторами. Скалярное произведение векторов. Модуль вектора. Угол между векторами.

ПРАКТИКА: Решение задач по материалам вступительных экзаменов.

6.2.   Метод координат на плоскости и в пространстве

ТЕОРИЯ: Координаты точки на плоскости и в пространстве. Основные задачи: координаты середины отрезка, расстояние между точками, площадь треугольника по координатам его вершин. Уравнения прямой и плоскости. Уравнение окружности. Метод координат как средство решения геометрических задач.

ПРАКТИКА:  Решение задач по материалам вступительных экзаменов.

Раздел 7:   Некоторые методы решения нестандартных задач

7.1.   Метод мини–максов

ПРАКТИКА: Метод мини –максов. Класс задач, решаемых данным методом.  

7. 2.   D–метод. (Дискриминантный метод)

ПРАКТИКА: D – метод. Класс задач, решаемых D – методом.

7.3.   Метод тригонометрической подстановки

ПРАКТИКА: Метод тригонометрической подстановки. Класс задач, решаемых методом. Примеры решения задач методом тригонометрической подстановки.

7.4.  Метод  «геометрической » подстановки

  ПРАКТИКА: Класс задач, решаемых методом. Примеры решения задач методом «геометрической» подстановки.

7. 5. Симметрия алгебраических выражений

 ПРАКТИКА: Идея метода симметрии алгебраических выражений. Класс задач, решаемых методом. Примеры решения задач методом, основанном на симметрии алгебраических выражений.

Итоговое занятие

ПРАКТИКА: Научно–практическая конференция

Для реализации программы «От простого к сложному» необходимо:

Рекомендуемая литература для педагога

1) Л.С. Атанасян, В.А. Атанасян. Сборник задач по геометрии. Учебное

     пособие для студентов физ.–мат. фак. пед. институтов. Ч.I. – М.:

          Просвещение, 1973.– 256 с.

2) О.П. Беляева, Е.А. Панасенко. Математика. Ч.1.– Тамбов: Из–во  ТГУ

    им. Г.Р.Державина, 2005.– 105 с.

3) А.В.Бурмистрова, Н.Н.Проскурякова. уравнения и неравенства,

    содержащие выражения вида .– Тамбов, 2003.– 15 с.

4. Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашов–Мусатов, С.И. Шварцбурд. Алгебра и

     математический анализ для 10 класса: Учебное пособие для учащихся

     шк. и классов с углубленным изучением математики. – М.:

     Просвещение, 1992.–335 с.

5. Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашов–Мусатов, С.И. Шварцбурд. Алгебра и

     математический анализ. 11 класс: Учебное пособие для учащихся шк. и

     классов с углубленным изучением математики. – М.: Мнемозина, 2002.–

     288 с.

6)  М.Л.Галицкий, М.М. Мошкович, С.И. Шварцбурд. Углубленное

Изучение курса алгебры и математического анализа: Метод. рекомендации и дидакт. материалы: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1990.–352 с.  

     7)  Г. Дорофеев, М. Потапов, Н. Розов. Математика: Для поступающих в

     ВУЗы: Пособие: – М.: Дрофа, 2001

8. С.В. Кравцев, Ю.Л. Макаров, М.И. Максимов, В.Г. Чирский. Методы

     решения задач по алгебре: от простых до самых сложных . – М.:

    «Экзамен», 2001.–544 с.

    9)  Е.Е. Мордовина. Уравнения и неравенства с параметром. Учебное

           пособие.– Тамбов, 2002.– 89 с.

    10) Е.Е. Мордовина. Исследование корней трёхчлена второй степени с

      параметром. Учебное пособие.– Тамбов, 2002.– 24 с.

   11) С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко. Уравнения и неравенства.

     Нестандартные методы решения. 10–11 классы: Учебно–метод. пособие:

     – М.: Дрофа, 2001.–192 с.

12. С.Н. Петрунина, Е.С. Жуковский. Математика для поступающих в

      ВУЗы и подготовки к ЕГЭ. (Теория. Ключевые методы решения задач.

      Методические рекомендации. Упражнения. Тесты): учебное пособие. –

      Тамбов: Из–во ТГУ им. Г.Р.Державина, 2005.– 96 с.

13) И.Х. Сивашинский. Теоремы и задачи по алгебре и элементарным

      функциям. – М.: Наука, 1971.

14) И.Х. Сивашинский. Задачи по математике для внеклассных занятий. –

      М.: Просвещение, 1968.–311 с.

15) М.И. Сканави. Сборник задач по математике для поступающих во  

      ВТУЗы: Учебное пособие – М.: «ОНИКС 21 век», «Мир и

      Образование», «Альянс–В», 2003.– 608 с.

16)  А.С. Смогоржевский. Метод координат.– М.: Государственное

       Издательство технико–теоретичесокй литературы. 1952. –42 с.

     17) И.Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике: Решение задач:

      Учебное пособие для 10 классов средней школы. – М.: Просвещение,

      1989.– 252 с.

18) И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. Факультативный курс по математике:

      Решение задач: Учебное пособие для 11 класса средней школы. –

      М.: Просвещение, 1991.–384 с.

Рекомендуемая литература для обучающихся

1)  Л.С. Атанасян, В.А. Атанасян. Сборник задач по геометрии. Учебное

      пособие для студентов физ.–мат. фак. пед. институтов. Ч.I. – М.:

           Просвещение, 1973.– 256 с.

2)  Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашов–Мусатов, С.И. Шварцбурд. Алгебра и

      математический анализ для 10 класса: Учебное пособие для учащихся

      шк. и классов с углубленным изучением математики. – М.:

      Просвещение, 1992.–335 с.

3. Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашов–Мусатов, С.И. Шварцбурд. Алгебра и

     математический анализ. 11 класс: Учебное пособие для учащихся шк. и

     классов с углубленным изучением математики. – М.: Мнемозина, 2002.–

     288 с.

4)  И.Х. Сивашинский. Теоремы и задачи по алгебре и элементарным

     функциям. – М.: Наука, 1971.

5)  И.Х. Сивашинский. Задачи по математике для внеклассных занятий. –

     М.: Просвещение, 1968.–311 с.

6. М.И. Сканави. Сборник задач по математике для поступающих во

     ВТУЗы: Учебное пособие – М.: «ОНИКС 21 век», «Мир и Образование»,

     «Альянс–В», 2003.– 608 с.

7) И.Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике: Решение задач:

     Учебное пособие для 10 классов средней школы. – М.: Просвещение,

     1989.– 252 с.

8) И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. Факультативный курс по математике:

     Решение задач: Учебное пособие для 11 класса средней школы. –

     М.: Просвещение, 1991.–384 с.

Методическое обеспечение программы

Приложения к некоторым темам

4.3.   Исследование корней трёхчлена второй степени с параметром

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

№1. Найдите   все   значения   параметра   а,   при   которых   уравнение

  имеет:

а) два различных действительных корня;

б) один корень.

№2.   При каких значениях а уравнение имеет:

а) два различных действительных корня;

б) один корень?

№3. Найдите все значения k, при которых один корень уравнения  больше 2, а другой корень меньше 2.

№4. При    каких    значениях   а    произведение    корней    уравнения  отрицательно?

№5. При   каких   значениях   параметра   а   один   корень   уравнения    больше 3, другой меньше 2 ?

№6. При каких значениях k  уравнение  имеет корни меньше единицы?

№7. При каких значениях а оба корня уравнения    положительны?

№8. При        каких        значениях        а        корни        уравнения      неположительны?

№9. При   каких   значениях   параметра  а  один   корень   уравнения   принадлежит интервалу (–1;4), а другой корень больше 4 ?

№10. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения  принадлежат отрезку

5.1.   Уравнения вида  и

№1. Решите уравнения:

а) ;        

б)

в)

г)

д)  

е)

№2. При каких значениях параметра а уравнение

 имеет единственное решение?

5. 2.   Неравенства вида  и

№1. Решите неравенства:

а)

б)

в)

1. Метод мини–максов

№1. Решить уравнения:

а)

б)

№2. Найти все пары чисел (х;у), которые удовлетворяют уравнению

№3. Найти все пары чисел (х;у), удовлетворяющие условию

7. 2.   D–метод. (Дискриминантный метод)

№1. Найти все пары чисел х и у, которые удовлетворяют уравнению

.

№2. Решить уравнение  .

№3. Решите систему уравнений             

7.3.   Метод тригонометрической подстановки

№1. Найдите все решения уравнения  

№2. Сколько корней на отрезке  имеет уравнение

7.4.  Метод  «геометрической » подстановки

№1. Решите систему уравнений    

№2. Найти наименьшее значение выражения

7. 5. Симметрия алгебраических выражений

№1. Найти все значения параметра а, при которых уравнение   имеет единственное решение.

№2. Найти все значения параметра а, при которых неравенство  имеет единственное решение.