урок "Теорема Виета"
материал по алгебре (8 класс) на тему

Тема урока: теорема Виета.

Образовательные цели урока:

1. Повторить формулы корней  квадратных уравнений.
2. Сформировать у учащихся умение применять теорему Виета при решении квадратных уравнений.

Воспитательные цели урока:

1. Способствовать выработке у школьников желания и потребности, изучаемых фактов.
2. Воспитывать самостоятельность и творчество.

Развивающие цели урока:

1. Развивать и совершенствовать умение применять, имеющиеся у учащихся знания в изменённой ситуации.
2. Способствовать развитию умения делать выводы и обобщения.

Оборудование и наглядность

            Мультимедийный проектор, компьютерная презентация;

            карточки с заданиями.

Метод ведения урока:

1. Беседа.
2. Мини-диалог.
3. Самостоятельная работа.

Ход урока:

1. Организационный момент.
2. Устная проверка домашнего задания.
3. Актуализация.    

      Учитель: « Какое уравнение называется квадратным. С какими видами квадратных уравнений вы ещё познакомились на предыдущих уроках?»

Учащиеся перечисляют. Затем учитель вывешивает следующую таблицу: 

1) ax2 + bx +c = 0;                                                        1) х=0, х=                                                       2)ax2 + 2mx +c = 0;                                                     2)

3) x2 + px +g = 0;                                                          3)

4) ax2 + bx = 0;                                                             4)

5) ax2 + c = 0;                                                                5)  х=0

6. ax2 = 0;                                                                    6)

Учитель: «Установите связь (покажите стрелками) между каждым квадратным уравнением и способами его решения, указанными на таблице, которые на ваш взгляд, являются наиболее рациональными. Свой выбор нужно обосновать».

Теоретические знания

            Задание: если вписать верные слова, то в выделенной строке получится фамилия французского математика

                            Вопросы:

1. Квадратное уравнение первым коэффициентом равным 1. (приведенное)

2. Подкоренное выражение в формуле корней квадратного уравнения.  ( дискриминант)

3. Один из видов квадратного уравнения. ( неполное)

4. a, b в квадратном уравнении.(коэффициенты)

В выделенной строке получится фамилия французского математика Виета. (о жизни и деятельности математика Франсуа Виета мы поговорим немного позже).

   Тема нашего урока «Теорема Виета»

Цель: Сегодня на уроке мы исследуем зависимость между коэффициентами и корнями квадратного уравнения.

       Занимаясь квадратными уравнениями, вы, вероятно, уже заметили, что информация об их корнях скрыта в коэффициентах. Кое-что «скрытое» для нас уже открылось.

Как ещё связаны между собой корни и коэффициенты квадратного уравнения? Чтобы раскрыть эти связи, наверное, будет полезно понаблюдать за коэффициентами и корнями различных квадратных уравнений.

При поиске закономерностей исследователи часто фиксируют свои наблюдения в таблицах, которые помогают обнаружить эти закономерности.

Задание. Заполнить пропуски в таблице

Помогла ли вам эта таблица в раскрытии новых связей между корнями и коэффициентами квадратных уравнений. Выскажите гипотезу, утверждение (учащиеся делают выводы). Сравните сформулированную вами гипотезу с теоремой, записанной в учебнике на стр. 121.

Теорема: Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. (Прочитать доказательство самостоятельно)

Теорема называется теоремой Виета, по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета (1540-1603).

Свою знаменитую теорему он доказал в 1591 году.

Историческая справка (сообщение учащегося о жизни и деятельности математика Франсуа Виета).

Задание. Используя теорему Виета, заполните пропуски в формулах.

Решение №  456(1,3,5)

Физкультминутка.

Самостоятельная работа.

Вариант 1.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 2.

Применима ли теорема Виета для квадратного уравнения в общем виде? (Да, если заменить это уравнение равносильным ему приведённым уравнением.)

ax2 + bx + c = 0

; если x1 и x2 – корни данного уравнения, то по теореме Виета:

Сформулируйте утверждение для квадратного уравнения в общем виде.

Теорема: Если корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0 существуют, то сумма корней равна , а произведение корней .

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи постоянства такого:

Умножишь ты корни – и дробь уж готова.

В числителе c, в знаменателе a,

А сумма корней тоже дроби равна

Хоть с минусом дробь, что за беда,

В числителе b, в знаменателе a.

Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения.

   Теорема Виета находит широкое применение и в  уравнениях вида ах2 + вх + с = 0.

Использование некоторых свойств даёт значительные преимущества для быстрого получения ответа при решении квадратных уравнений. Сейчас  будет предложена «хитренькая» табличка, по которой вы самостоятельно научитесь устно решать квадратные уравнения, например, такое уравнение: 1999х2 - 1997х - 2 = 0

Рассмотрим эти свойства:

1)Если a + в +с = 0, то х1 = 1,  х2 = с/а.

Например: 5х2 + 4х – 9 = 0; х1 =1, х2 = - 9/2.

2)Если а - в +с = 0, то х1 = - 1,  х2 =  - с/а.

Например: 4х2 + 11х + 7 = 0; х1 = - 1, х2 = - 7/4.

3)Если  ав +с0, то можно устно решить другое уравнение: х2 + вх + ас = 0 и его корни разделить на а.

Например:

а) 2х2 – 11х + 5 = 0.

Решаем устно уравнение: х2 – 11х + 10 = 0. Его корни 1 и 10, и делим на 2.

 Тогда х1 = , х2 = 5.

                          Ответ: ; 5.

в) 6х2 –7х – 3 = 0

Решаем устно уравнение: х2 – 17х - 18 = 0. Его корни  (-2) и 9, и делим на 6.

Тогда х1 =  - , х2 = .

                          Ответ: -; .

Итог урока:

1. С какой теоремой вы познакомились сегодня на уроке.
2. В каких ситуациях может быть применима теорема Виета.                                  
3. Что нового вы узнали на этом уроке.

Домашнее задание: § 29 № 455, 456 (2.4,6)