Исследовательская деятельность.

«Нестандартные методы решения уравнений и других задач в углубленном курсе математики.»

Проект-исследование выполнила

учитель математики МОУ «Лицей №1»

 г.Балаково Саратовской области

Хрычкина Елена Федоровна

                                     Балаково - 2012

СОДЕРЖАНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВЫБОРА АДЕКВАТНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ В КЛАССАХ С  УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ.

1.1. Теоретические основы выбора содержания и анализ литературы

1.2. Приемы учебной деятельности при решении уравнений нестандартными методами. Глава 2. НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИ^ И ДРУГИХ ЗАДАЧ В УГЛУБЛЕННОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ 

2.1 Использование монотонности функции

2.2 Использование ограниченности функции

2.3 Использование периодичности функции

2.4 Использование четности функции

2.5 Использование ОДЗ функции

Глава 3 НЕКОТОРЫЕ ИСКУССТВЕННЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

3.1 Умножение уравнения на функцию

3.2 Угадывание корня уравнения

3.3 Использование симметричности уравнения        

3.4 Исследование уравнения на промежутках действительной оси

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.

Основной особенностью современного развития системы школьного математического образования является ориентация на широкую дифференциацию обучения математике, позволяющую решить две задачи. С одной стороны - обеспечить базовую математическую подготовку всех школьников, а с другой - сформировать у учащихся устойчивый интерес к предмету, выявить и развить их математические способности, ориентировать на профессии, связанные с математикой, подготовить к обучению в вузе. Реализация последней задачи вновь делает актуальной проблему содержания математического образования. Разрешают эту проблему школы (в основном школы с углубленным изучением математики) по-разному. Одни - за счет углубления традиционных разделов курса математики средней школы, что закладывает прочный фундамент для дальнейшего ознакомления выпускников с математической наукой при продолжении образования в вузе, другие - за счет включения в программу различных разделов высшей математики.

Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВЫБОРА АДЕКВАТНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ В КЛАССАХ С  УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ.

1.1. Теоретические основы выбора содержания и анализ литературы

Расширение школьной программы по математике путем введения в нее дополнительных разделов высшей математики не всегда, на наш взгляд, даст положительные результаты. Это объясняется и отсутствием достаточного количества времени для рассмотрения того или иного раздела в нормальном объеме, и недостижимостью должной логической строгости изложения вследствие объективных трудностей, которые представляют для учащихся те или иные методы мышления, и, наконец, возрастными психологическими возможностями. Таким образом, нестрогое, поверхностное изложение отдельных разделов высшей математики может привести, порой, к неадекватному, искаженному пониманию учащимися математических методов и идей. Именно по этому поводу проявляют озабоченность многие учителя, методисты и ученые. Так, например, Г.В. Дорофеев считает, что "деятельность учащихся, не основанная на достаточно строгой теории, носит весьма формальный характер, поскольку практически сводится к исполнению несложных предписаний алгоритмического типа. В результате теория, представляющая одно из важнейших созданий математической мысли человечества, превращается в школьной практике в рутину, в очередной набор стандартных и зачастую искусственных задач" [5]. Но в то же время академики B.C. Владимиров, JI.C. Понтрягин и А.Н. Тихонов в статье "О школьном математическом образовании" [6] отмечают, что чрезмерный объем и неоправданная сложность изложения материала приводят к непониманию многими школьниками того, чему их учат, их неверию в свои способности к математике, ущербу практическим умениям и навыкам в использовании получаемых знаний.

Ведущие ученые В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, М.И. Зайкин, В.И. Кру-пич, Н.В. Метельский, Г.И. Саранцев, A.A. Столяр, П.М. Эрдниев [7,8,9,10] и другие едины во мнении, что ведущим принципом совершенствования методической системы обучения математике является гуманизация  математического образования, личностная ориентация обучения математике. Поэтому в школах (классах) с математической специализацией нет смысла поверхностного изучения дополнительных разделов высшей математики. Для учащихся этих школ (они, как правило, продолжат учебу на физико-математических и технических факультетах вузов) гораздо важнее и полезнее более глубоко рассмотреть идеи и методы самой элементарной математики, создающие прочный фундамент для изучения высшей математики. А поскольку одной из основных ее идей является идея функции, то имеется настоятельная необходимость усвоения учащимися функциональных подходов при решении задач.

Идея введения понятия функции в школьные программы по математике была выдвинута более 100 лет тому назад; ее активным сторонником был академик М.В. Остроградский. Методические разработки М.В. Остроградского и его учеников легли в основу движения за реформу преподавания математики. . Одним из выдающихся математиков, возглавивших это движение, был немецкий ученый Ф. Клейн. На I Международном конгрессе математиков, состоявшемся в Цюрихе в 1897 году, он выступил с четкой программой реформы, среди важнейших принципов которой, было положение о перестройке преподавания математики на основе развития функционального мышления путем пронизывания всего школьного курса математики идеей функциональной зависимости [11]. Тенденция широкого внедрения функционального подхода к различным разделам математики, изучаемым в школах, вызывалась и обосновывалась необходимостью устранить чрезмерный формализм и разобщенность в преподавании отдельных математических дисциплин. Изучение функции призвано было способствовать подлинному, а не формальному согласованию программ средней и высшей школ, преодолению пропасти между школьным курсом и современной наукой.

Много говорится в научной литературе и о важности применения функционального подхода при решении различных задач элементарной математики, в том числе и уравнений. В учебном пособии [12] отмечается, что линия уравнений и неравенств, составляющая значительную часть школьного курса математики, неразрывно связана с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей - приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений и неравенств к исследованию функций (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т.д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В учебном пособии [13] дано изложение точки зрения на уравнения и неравенства, построенное на функциональной основе, которое заключается в следующем:

1) обе части уравнения (неравенства) рассматриваются как функции входящих в уравнение (неравенство) переменных, а для записи уравнений (неравенств) в общем виде применяются функциональные обозначения, например: f(x) = g(x), f(x) < g(x);

2) устанавливается понятие области определения уравнения (неравенства), которое определяется как пересечение областей определения функций, представляющих обе части уравнения (неравенства);

3) систематически применяется графический метод решения уравнений (неравенств), требующий построения графиков соответствующих функций;

4) при изучении уравнений (неравенств) в подходящих случаях используются свойства функций.

Проанализировав учебники, можно сделать вывод, что данная тема рассматривается только в учебниках математики нового поколения [2], [3], [5], [6] Построение курса в этих учебниках осуществляется на основе приоритетности функционально-графической линии. В остальных учебниках функционально-графический метод решения уравнений и неравенств в отдельную тему не выделен. Использование свойств функции для решения задач упоминается вскользь при изучении других тем. В новых учебниках содержится также достаточное количество заданий этого типа. В учебнике [2] содержатся задания повышенного уровня. Приведена наиболее полная система заданий, систематизированная по каждому свойству функции.

В физико-математических лицеях, в классах с углубленным изучением математики наиболее целесообразно использование эвристического и исследовательского методов обучения. Эти методы вовлекают учащихся в процесс "открытия" различных фактов, самостоятельной формулировки теорем, позволяют обеспечить овладение методами научного познания, формирование черт творческой деятельности и потребности в ней. Эти методы предъявляют свои требования как предлагаемому для изучения материалу (он должен быть доступным для учащихся), так и системе задач, обеспечивающей овладение этим материалом. Система задач должна быть насыщена сложными, проблемными, творческими, нестандартными задачами. В физико-математических лицеях, в классах с углубленным изучением математики наиболее целесообразно использование эвристического и исследовательского методов обучения. Эти методы вовлекают учащихся в процесс "открытия" различных фактов, самостоятельной формулировки теорем, позволяют обеспечить овладение методами научного познания, формирование черт творческой деятельности и потребности в ней. Эти методы предъявляют свои требования как предлагаемому для изучения материалу (он должен быть доступным для учащихся), так и системе задач, обеспечивающей овладение этим материалом. Система задач должна быть насыщена сложными, проблемными, творческими, нестандартными задачами. Все вышесказанное обуславливает актуальность проблемы поиска условий и средств реализации идеи функционального подхода решения задач для школ (классов) с углубленным изучением математики.

Цель исследования: разработка  методики формирования функциональных умений у учащихся школ (классов) с углубленным изучением математики в курсе алгебры и начал анализа.

Объектом исследования является процесс обучения алгебре и началам анализа в школах (классах) с углубленным изучением математики.

Предметом исследования является процесс обучения нестандартным (функциональным) методам решения уравнений и других задач в школах (классах) с углубленным изучением математики.

Гипотеза исследования: если выделить уравнения и задачи, допускающие стандартное и нестандартное (функциональное) решения, на их основе построить классы уравнений и задач, при решении которых использовались бы изучаемые в основном курсе свойства функций, разработать приемы учебной деятельности учащихся, ориентированные на выполнение поиска решения уравнений нестандартными методами, создать систему соответствующих задач и внедрить это в практику, то качество знаний учащихся повысится.

Проблема, предмет, гипотеза исследования обусловили следующие задачи:

1) Изучить состояние проблемы целесообразности и возможности изучения функциональных (нестандартных) методов решения задач, в том числе уравнений, в школах с углубленным изучением математики.

2) Выделить специальные классы уравнений и задач и разработать методы их решения на основе функционального подхода; указать технологию построения таких уравнений и задач.

3) Разработать приемы учебной деятельности учащихся, ориентированные на выполнение поиска решения уравнений нестандартными методами.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:

1) изучение и анализ математической, психолого-педагогической литературы, программ, учебников, учебных и методических пособий по теме и близких к теме исследования;

2) изучение опыта работы учителей математики в лицее в классах с углубленным изучением математики, опыта проведения олимпиад по математике;

3) исследование и анализ специальных классов уравнений и задач;

Базой исследования явились учащиеся 10в,11в классов  МОУ «Лицей №1»

Теоретическая значимость исследования заключается в обосновании целесообразности и возможности изучения в школах (классах) с углубленным изучением математики функциональных приемов решения уравнений и задач; в выделении специальных классов уравнений и задач и разработке методов их решения на основе функционального подхода; в разработке приемов учебной деятельности учащихся, адекватных выделенным классам уравнений; в создании системы учебных задач и технологии их конструирования.

Практическая значимость результатов исследования состоит в том, что выделенные классы уравнений и других задач и разработанные методы их решения могут быть использованы учителями школ с углубленным изучением математики на уроках и факультативах, а также при совершенствовании программы и учебных пособий для средних школ; указана технология конструирования таких уравнений и задач.

Методологической основой исследования явились основные положения теории познания, теория развития личности, концепция деятельност-ного подхода, труды выдающихся психологов, педагогов, методистов.

Глава 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ

Не всякое уравнение f(x) = g(x) или неравенство в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к уравнению или неравенству того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать некоторые свойства функций, такие как монотонность, периодичность, ограниченность, четность и др.

2.1 Использование монотонности функции

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2).

Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) > f (x2).

На показанном на рисунке 1 графике

Рисунок 1

Функция y = f (x), , возрастает на каждом из промежутков [a; x1) и (x2; b] и убывает на промежутке (x1; x2). Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков [a; x1) и (x2; b], но не на объединении промежутков  

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D (f (x)), то уравнение f (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x1 < x2 – корни этого уравнения на промежутке D (f(x)), то f (x1) = f (x2) = 0, что противоречит условию монотонности.

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D).

1. Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.
2. Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.
3. Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.
4. Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция  убывает.
5. Если функция f возрастает и неотрицательна, то fn где nN, также возрастает.
6. Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f n также возрастает.
7. Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает.

Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающей функции.

Точка a называется точкой максимума функции f, если существует такая ε-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≥ f (x).

Точка a называется точкой минимума функции f, если существует такая ε-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≤ f (x).

Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума.

В точке экстремума происходит смена характера монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа – убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.

Если для любого  (x ≠ a) выполняется неравенство f (x) ≤ f (a) , то точка a называется точкой наибольшего значения функции на множестве D:

Если для любого  (x ≠ b) выполняется неравенство f (x) > f (b) , то точка b называется точкой наименьшего значения функции на множестве D.

Точка наибольшего или наименьшего значения функции на множестве D может быть экстремумом функции, но не обязательно им является.

Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной на отрезке функции следует искать среди экстремумов этой функции и ее значений на концах отрезка.

Решение уравнений и неравенств с использованием свойства монотонности основывается на следующих утверждениях.

1. Пусть f(х) — непрерывная и строго монотонная функция на промежутке Т , тогда уравнение f(x) = С, где С — данная константа, может иметь не более одного решения на промежутке Т.

2. Пусть f(x) и g(х) — непрерывные на промежутке T функции, f(x) строго возрастает, а g(х) строго убывает на этом промежутке, тогда уравнение f(х) = =g(х) может иметь не более одного решения на промежутке Т. Отметим, что в качестве промежутка T могут быть бесконечный промежуток (-∞;+∞) , промежутки (а;+∞), (-∞; а), [а;+∞), (-∞; b], отрезки, интервалы и полуинтервалы.

Пример 2.1.1 Решите уравнение    . [28]                (1)

Решение. Очевидно, что х ≤ 0 не может являться решением данного уравнения, так как тогда . Для х > 0 функция  непрерывна и строго возрастает, как произведение двух непрерывных положительных строго возрастающих для этих х функций f(x) = х и . Значит, в области х > 0 функция  принимает каждое свое значение ровно в одной точке. Легко видеть, что х = 1 является решением данного уравнения, следовательно, это его единственное решение.

Ответ: {1}.

Пример 2.1.2Решите неравенство  .                (2)

Решение. Каждая из функций у = 2x, у = 3x, у = 4х непрерывная и строго возрастающая на всей оси. Значит, такой же является и исходная функция . Легко видеть, что при х = 0 функция  принимает значение 3. В силу непрерывности и строгой монотонности этой функции при х > 0 имеем , при х < 0 имеем . Следовательно, решениями данного неравенства являются все х < 0.

Ответ: (-∞; 0).

Пример 2.1.3 Решите уравнение   .                (3)

Решение. Область допустимых значений уравнения (3) есть промежуток . На ОДЗ функции  и  непрерывны и строго убывают, следовательно, непрерывна и убывает функция . Поэтому каждое свое значение функция h(x) принимает только в одной точке. Так как ,  то х = 2 является единственным корнем исходного уравнения.

Ответ: {2}.

2.2 Использование ограниченности функции

При решении уравнений и неравенств свойство ограниченности снизу или сверху функции на некотором множестве часто играет определяющую роль.

Если существует число C такое, что для любого  выполняется неравенство f (x) ≤ C, то функция f называется ограниченной сверху на множестве D (рисунок 2).

Рисунок 2

Если существует число c такое, что для любого  выполняется неравенство f (x) ≥ c, то функция f называется ограниченной снизу на множестве D (рисуноРисунок 3

Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной на множестве D. Геометрически ограниченность функции f на множестве D означает, что график функции y = f (x),  лежит в полосе c ≤ y ≤ C (рисунок 4).

Рисунок 4

Если функция не является ограниченной на множестве, то говорят, что она не ограничена.

Примером функции, ограниченной снизу на всей числовой оси, является функция y = x2. Примером функции, ограниченной сверху на множестве (–∞; 0) является функция y = 1/x. Примером функции, ограниченной на всей числовой оси, является функция y = sin x.

Пример 2.2.1 Решите уравнение     sin(x3 + 2х2 + 1) = х2 + 2х + 2.                (4)

Решение. Для любого действительного числа х имеем sin(x3 + 2х2 + 1) ≤ 1, х2 + 2х + 2 = (x + 1)2 + 1 ≥ 1. Поскольку для любого значения х левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда не меньше единицы, то данное уравнение может иметь решение только при .

При  , , т.е. при  уравнение (4) так же корней не имеет .

Ответ: Ø.

Пример 2.2.2 Решите уравнение      .                (5)

Решение. Очевидно, что х = 0, х = 1, х = -1 являются решениями данного уравнения. Для нахождения других решений в силу нечетности функции f(х) = = x3 - x - sin πx достаточно найти его решения в области х > 0, х ≠ 1, поскольку если x0 > 0 является его решением, то и (-x0) также является его решением.

Разобьем множество х > 0, х ≠ 1, на два промежутка: (0; 1) и (1; +∞)

Перепишем начальное уравнение в виде x3 - x = sin πx. На промежутке (0; 1) функция g(х) = x3 - x принимает только отрицательные значения, поскольку х3 < < х, а функция h(x) = sin πx только положительные. Следовательно, на этом промежутке уравнение не имеет решений.

Пусть х принадлежит промежутку (1; +∞). Для каждого из таких значений х функция g(х) = х3 - х принимает положительные значения, функция h(x) = sin πx принимает значения разных знаков, причем на промежутке (1; 2] функция h(x) = sin πx неположительна. Следовательно, на промежутке (1; 2] уравнение решений не имеет.

Если же х > 2, то |sin πx| ≤ 1, x3 - x = x(x2 - 1) > 2∙3 = 6, а это означает, что и на промежутке (1; +∞) уравнение также не имеет решений.

Итак, x = 0, x = 1 и x = -1 и только они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: {-1; 0; 1}.

Пример 2.2.3 Решите неравенство     .                 (6)

Решение. ОДЗ неравенства есть все действительные x, кроме x = -1. Разобьем ОДЗ неравенства на три множества: -∞ < x < -1, -1 < x ≤ 0, 0 < x < +∞ и рассмотрим неравенство на каждом из этих промежутков.

Пусть -∞ < x < -1. Для каждого из этих x имеем g(x) = < 0, а f(x) = 2x > 0. Следовательно, все эти x являются решениями неравенства.

Пусть -1 < x ≤ 0. Для каждого из этих x имеем g(x) = 1 - , а f(x) = 2x ≤ 1. Следовательно, ни одно из этих x не является решением данного неравенства.

Пусть 0 < x < +∞. Для каждого из этих x имеем g(x) = 1 - , a . Следовательно, все эти x являются решениями исходного неравенства.

Ответ: .

2.3 Использование периодичности функции

Функция f (x) называется периодической с периодом T ≠ 0, если выполняются два условия:

1. если , то x + T и x – T также принадлежат области определения D (f (x));
2. для любого  выполнено равенство  f (x + T) = f (x).

Поскольку  то из приведенного определения следует, что

Если T – период функции f (x), то очевидно, что каждое число nT, где , n ≠ 0, также является периодом этой функции.

Наименьшим положительным периодом функции называется наименьшее из положительных чисел T, являющихся периодом данной функции.

График периодической функции    

График периодической функции обычно строят на промежутке [x0; x0 + T), а затем повторяют на всю область определения.

Хорошим примером периодических функций могут служить тригонометрические функции y = sin x, y = cos x (период этих функций равен 2π), y = tg x (период равен π) и другие. Функция y = const также является периодической. Для нее периодом является любое число T ≠ 0.

В заключение отметим свойства периодических функций. [19]

1. Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то функция g (x) = A · f (kx + b)    где k ≠ 0 также является периодической с периодом .
2. Пусть функции f1 (x) и f2 (x) определены на всей числовой оси и являются периодическими с периодами T1 > 0 и T2 > 0. Тогда если  то функция  периодическая с периодом T, равным наименьшему общему кратному чисел T1 и T2.

Пример 2.4.1 Функция  периодическая с периодом T = 5. Известно, что . Найдите      

Решение. Преобразуем отдельно каждое слагаемое:    

 ,

Тогда

Ответ: 2.

Пример 2.4.2 [24] Найдите период функции    

Решение. Преобразуем данное выражение:

 имеет период ;

 имеет период .

Тогда функция  имеет период

Ответ: π.

Пример 2.4.3 Пусть - периодическая функция с периодом 3 такая, что

; .

Решите уравнение:           (7)

График функции  на множестве [0;3) изображен на рисунке 3:

y

x

Рисунок 5

Т.к. 3 - период функции , то , тогда уравнение (7) примет вид , рассмотрим два случая.

1) пусть , т.е. , тогда уравнение примет вид:

, значит и значит,

2) пусть то , тогда  уравнение примет вид:; итак ,

т.е. , .

Ответ: .

2.4 Использование четности функции

Функция f (x) называется четной, если для любого  выполняются равенства:

1) ,

2) f (–x) = f (x).

График четной функции на всей области определения симметричен относительно оси OY. Примерами четных функций могут служить y = cos x, y = |x|, y = x2 + |x|

График четной функции

Функция f (x) называется нечетной, если для любого  выполняются равенства:

1) ,

2) f (–x) = –f (x).

Иными словами функция называется нечетной, если ее график на всей области определения симметричен относительно начала координат. Примерами нечетных функций являются y = sin x, y = x3.

График нечетной функции

Не следует думать, что любая функция является либо четной, либо нечетной. Так, функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения  несимметрична относительно начала координат. Область определения функции y = x3 + 1 охватывает всю числовую ось и поэтому симметрична относительно начала координат, однако f (–1) ≠ f (1). А это значит, что функция не является ни четной, ни нечетной, т. е. является функцией общего вида (ФОВ).

Если область определения функции симметрична относительно начала координат, то эту функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Таковой суммой является функция

Первое слагаемое является четной функцией, второе – нечетной.

Сравнительная иллюстрация функций разной четности изображена на рисунке 6

 ФОВ

Рисунок 6 Исследование функций на четность облегчается следующими утверждениями.

1. Сумма четных (нечетных) функций является четной (нечетной) функцией.
2. Произведение двух четных или двух нечетных функций является четной функцией.
3. Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.
4. Если функция f четна (нечетна), то и функция 1/f четна (нечетна).

Пример 2.4.1 Может ли при каком-нибудь значении а уравнение

2x8 – 3аx6 + 4x4 – аx2 = 5    иметь 5 корней? 

Решение. Обозначим f(x) = 2х8 – 3ах6 + 4х4 – ах2. f(x) – функция четная, поэтому, если x0 – корень данного уравнения, то -x0 – тоже. x = 0 не является корнем данного уравнения (0 ≠ 5). Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.

Ответ: не может.

2.5 Использование ОДЗ функции

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция  определена. Область определения иногда еще называют областью допустимых значений функции (ОДЗ). Для нахождения ОДЗ функции нужно проанализировать данное соответствие и установить встречающиеся запретные операции (деление на нуль, возведение в рациональную степень отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательными числами и т. п.).

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения (или неравенства) непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Пример 2.5.1 Решите уравнение  .                 (8)

Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям  и , т. е. ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения и завершается, так как установлено, что ни одно число не может являться решением, т. е. что уравнение не имеет корней.

Ответ: Ø.

Пример 2.5.2 Решите уравнение    .                 (9)

Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех x, одновременно удовлетворяющих условиям , , , т. е. ОДЗ есть . Подставляя эти значения х в уравнение (9), получаем, что его левая и правая части равны 0, а это означает, что все , являются его решениями.

Ответ:

Пример 2.5.3 Решите неравенство    .                (10)

Решение. ОДЗ неравенства (10) есть все х, удовлетворяющие условию . Ясно, что х = 1 не является решением неравенства (10). Для х из промежутка  имеем , а . Следовательно, все х из промежутка  являются решениями неравенства (10).

Ответ: .

Пример 2.5.4 [26] Решите неравенство  .                (11)

Решение. ОДЗ неравенства (11) есть все х из промежутка . Разобьем это множество на два промежутка  и .

Для х из промежутка  имеем , . Следовательно,  на этом промежутке, и поэтому неравенство (11) не имеет решений на этом промежутке.

Пусть х принадлежит промежутку , тогда  и . Следовательно,  для таких х, и, значит, на этом промежутке неравенство (11) также не имеет решений.

Итак, неравенство (11) решений не имеет.    Ответ: Ø.

Глава 3. НЕКОТОРЫЕ ИСКУССТВЕННЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Существуют и другие нестандартные методы решения уравнений и неравенств, помимо использования свойств функции. Данная глава посвящена дополнительным методам решения.

3.1 Умножение уравнения на функцию

Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе его части на некоторую функцию — многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней — корней многочлена, на который умножали уравнение. Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней, и получать равносильное уравнение, либо умножать на многочлен, имеющий корни, и тогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это число его корнем.

Пример 3.1.1 Решите уравнение  .                (1)

Решение. Умножив обе части уравнения на многочлен , не имеющий корней, получим уравнение   ,                (2)

равносильное уравнению (1). Уравнение (2) можно записать в виде

.                (3)

Ясно, что уравнение (3) не имеет действительных корней, поэтому и уравнение (1) их не имеет.

Ответ: Ø.

Пример 3.1.2 [19] Решите уравнение  .                (4)

Решение. Умножив обе части этого уравнения на многочлен , получим уравнение

,                (5)

являющееся следствием уравнения (4), так как уравнение (5) имеет корень , не являющийся корнем уравнения (4).

Уравнение (5) есть симметрическое уравнение четвертой степени. Поскольку  не является корнем уравнения (5), то, разделив обе его части на  и перегруппировав его члены, получим уравнение

         (6)

равносильное уравнению (5). Обозначив , перепишем равнение (6) в виде

.        (7)

Уравнение (7) имеет два корня:  и . Поэтому уравнение (6) равносильно совокупности уравнений

 и .

Решив каждое из этих уравнений, найдем четыре корня уравнения (6), а тем самым и уравнения (5):   , , ,

Так как корень  является посторонним для уравнения (4), то отсюда получаем, что уравнение (4) имеет три корня: x1, x2, x3.

Ответ:

3.2 Угадывание корня уравнения

Иногда внешний вид уравнения подсказывает, какое число является корнем уравнения.

Пример 3.2.1 Решите уравнение  .                (8)

Решение. Перепишем уравнение (8) в виде:

.                (9)

Из внешнего вида этого уравнения очевидно, что х = 12 есть его корень. Для нахождения остальных корней преобразуем многочлен

Так как многочлен  не имеет корней, то исходное уравнение имеет единственный корень х = 12.

Ответ: {12}.

Пример 3.2.2. Решите уравнение

         (10)

Решение. Легко заметить, что  и  являются решениями этого уравнения. После раскрытия скобок это уравнение перепишется как квадратное. А это означает, что оно может иметь не более двух корней. Так как два корня этого уравнения найдены, то тем самым оно и решено.

Ответ:

3.3 Использование симметричности уравнения

Иногда внешний вид уравнения — некоторая его симметричность — подсказывает способ решения уравнения.

Пример 3.3.1Решите уравнение

.                                                                (11)

Решение. Очевидно, что внешний вид уравнения подсказывает, что один из корней уравнения (11) есть . Однако найти остальные корни этого уравнения здесь не так просто. Перепишем уравнение (11) в несколько ином виде.

Поскольку справедливы тождественные равенства   ,

то уравнение (11) можно переписать так:

.                (12)Теперь очевидно, что если  ― корень уравнения (12), то  также корень уравнения (12), поскольку

.                (13)

Покажем, что если , есть корень уравнения (11), то  также есть корень этого уравнения.

Действительно, так как

то отсюда и вытекает это утверждение.

Итак, если , ― корень уравнения (11), то оно имеет еще корни

, , , ,

т. е. уравнение (11) имеет корни  , , , , , .

Поскольку уравнение (11) есть алгебраическое уравнение шестой степени, то оно имеет не более шести корней. Таким образом, мы нашли все корни уравнения (11).

Ответ:

3.4 Исследование уравнения на промежутках действительной оси

Иногда решения уравнения можно найти, исследуя его на разных числовых промежутках.

Пример 3.4.1 Решите уравнение  .                (14)

Решение. Перепишем уравнение в виде  или, используя формулу разности

,        (15)

в виде    .        (16)

Отсюда видно, что один из корней данного уравнения есть . Докажем, что уравнение

         (17)   решений не имеет.

Разобьем числовую ось на промежутки

Для любого x из промежутка  имеем, что левая часть уравнения (17) положительна, поэтому на этом промежутке уравнение решений не имеет.

Поскольку

,

то для любого х из промежутка  этот многочлен положителен. Это означает, что на промежутке  уравнение (17) также не имеет решений.

Поскольку    

,

то для любого x из промежутка  этот многочлен положителен. Следовательно, и на промежутке  уравнение (17) не имеет решений.

Итак, данное уравнение (17) имеет единственное решение .

Ответ: {1}.

Заключение

Апробация и внедрение результатов исследования проводились в виде доклада и обсуждений на научно-методических семинарах ресурсного центра по организации сетевого взаимодействия  в рамках методического сопровождения профильного обучения (на базе МОУ «Лицей №1»).

Исследование показало, что методика обучения нестандартным методам решения уравнений и других задач элементарной математики, построенная на постепенном переходе от традиционных (основанных на преобразованиях) приемов решения уравнений и других задач к нетрадиционным (основанных на использовании свойств функций) посредством выделения специальных классов задач, допускающих стандартные и нестандартные решения, оправдана: ее использование дает значительно лучшие результаты при формировании таких умений, как умение решать задачи.

Предложенные в работе теоретический материал и система задач и внедрение их в практику школ (классов) с углубленным изучением математики дают возможность совершенствовать процесс обучения алгебре и началам анализа и осуществлять целенаправленную подготовку учащихся к поступлению в вуз на физико-математические и инженерные специальности.

Экспериментальное исследование и статистическая обработка его результатов подтвердили справедливость гипотезы исследования и доказали, что использование функциональных методов решения уравнений и других задач позволяет совершенствовать процесс обучения математике в школах классах) с ее углубленным изучением, способствует систематизации знаний учащихся, формирует умение решать задачи, влияет на развитие личности и ее творческие способности, ориентирует на профессии, тесно связанные с математикой.

За последние годы резко возросло число школ (классов) с углубленным изучением математики. Большую часть студентов физико-математических и технических факультетов вузов составляют выпускники именно этих школ. Поэтому главная задача школ такого профиля - подготовить учащихся к поступлению в вузы, и что не менее важно, к учебе в них. В связи с этим математическая подготовка школьников должна характеризоваться не столько обширным объемом усвоенных сведений из различных областей математики, сколько навыками устанавливать глубокие связи между отдельными разделами курса, концентрировать внимание на общих идеях, выявлять сущность основных понятий и методов, уметь их применять при решении задач. Этому в немалой степени может способствовать содержание настоящей работы.

Все это дает основание считать, что поставленные задачи исследования решены.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Ш. А. Алимов и др.Алгебра и начала анализа 10-11класс ,учебник для общеобразовательных учреждений   М.: Просвещение.-1993. – 254с.
2. С. М. Никольский и др. Алгебра и начала анализа 11 класс , учебник для общеобразовательных учреждений   М.: Просвещение.-2003. – 448с.
3. А. Г. Мордкович, П.В.Семенов. Алгебра и начала анализа 11 класс. В 2 частях. Ч. 1 учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / М.: Мнемозина, 2007. – 287 с.
4. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы [Текст]: учебник / Под ред. А.. Н.  Колмогорова. – М.: Просвещение, 1991. 320 с.

5.Дорофеев Г.В. Понятие функции в математике и в школе // Математика в школе. 1978. №2. С. 40-2?.

6. Вступительные экзамены в вузы // Математика в школе. 1993. № 1. С.40.

7. Дорофеев Г.В. Применение производных при решении задач в школьном курсе математики // Математика в школе. 1980. № 5. С. 12.

8. Семёнов В.Е. О решении некоторых тригонометрических уравнений // Математика в школе. 1969. № 2. С. 46.

9. Тихомиров В.М. Новелла о великом олимпийце и нестандартной задаче // Квант. 1996. № 1. С. 52-53.

10. Шеварев П.А. Обобщенные ассоциации в учебной работе школьника. -М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959. 293 с.

11. Варианты вступительных экзаменов // Квант. 1993. № 3 4. С. 64.

12. Папышев A.A. Формирование приемов учебной деятельности учащихся старших классов в процессе обучения решению показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Автореф. дисс. на соиск. степени канд. пед.наук. Жамбыл: 1993. - 115 с.

13. Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах: кн. для учителя. -М.: Просвещение, 1987. 224 с.

14. Болтянский В. Г., Сидоров Ю. В., Шабунин М. И. «Лекции и задачи по элементарной математике», М.: Изд. «Наука», 1974 г.

15. Газета «Математика» №20, 2008 г.

16. Голубев В. И. «Решение сложных и нестандартных задач по математике», 1995 г.

17. Горштейн П. И. «Задачи с параметрами», М. «Илекса», 1999 г.

18. Далингер В. А. «Нестандартные уравнения и методы их решения», Омск, 1995 г.

19. Жафяров А. Ж. «Профильное обучение старшеклассников», 2001 г.

20. Ивлев Б. М., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П., Швардцбурд С. И. «Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа», М: «Просвещение», 1990 г.

21.Ковалева Г. И., Конкина Е. В. «Функциональный метод решения уравнений и неравенств», 2008 г.

22. Кравцев С. В. «Методы решения задач по алгебре», М. «Оникс», 2001г.

23. Кулагин Е. Д. «300 конкурсных задач по математике», 2003 г.

24. Кушнир А. И. «Математическая энциклопедия», Киев «Астарта», 1995 г.

25.Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. «Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия», 1991 г.

26. Мордкович А. Г. «Алгебра и начала анализа», М.: Высшая школа, 1995 г.

27. Олехник С. Н., Потапов М. К., Пасиченко П. И. «Нестандартные методы решения», 1992 г.