Открытый урок по теме"Нестандартные методы решений уравнений"
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Тема:  «НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ»

22.12.2011 год. 11 класс.

Есть некий час – как сброшенная  клажа:

Когда в себе гордыню укротим.

Час  ученичества, он в жизни каждой

Торжественно-неотвратим.

М. Цветаева

Цель: 

1. научиться видеть проблему, которая возникает при решении уравнений;
2. научиться задавать вопросы для разрешения этой проблемы;
3. применять теоретические знания для разрешения этих вопросов.
4. Формирование знаний и умений решения нестандартных уравнений функциональными методами

Задачи

Образовательная:

Создать условия для:

• развития  навыков самостоятельной работы;

• формирования умений решать нестандартные уравнения функциональными

методами на основе свойств ограниченности функции и ее монотонности;

• ознакомления  учащихся с отдельными уравнениями группы С из материалов ЕГЭ;

Развивающая:

Способствовать

*Развитию наглядно-образному мышлению, математического языка, коммуникативных умений учащихся

*формированию коммуникативных навыков в учебном диалоге

развитию логического мышления учащихся

* Развитию у учащихся интерес к математике, логической культуры, расширять их кругозор посредством раскрытия красоты  решений нестандартных уравнений функциональными методами.

Воспитательная:

Воспитание интереса к предмету посредством использования на уроке ПК, активности, умения общаться, общей культуре;

 воспитывать толерантность и креативность.

Тип урока: комбинированный.

Специфика урока:

• акцент на выполнение упражнений, включенных в группу С материалов ЕГЭ;

• темп и наглядность подачи материала за счет использования ИКТ;

• работа на уроке с различными группами учеников (сильными,пропустивши-

ми, слабыми);

Материалы и оборудование:

УМК А.Г. Мордковича, мультимедийное оборудование, разработки презентаций в средах MS PowerPoint и MS Word, , тесты на бумажном носителе, карточки-задания для работы в группах.

Основные этапы урока

1-й этап – погружение (5 мин)

формулирует:

• тему урока,

• проблему,

• цель,

• задачи

осуществляют:

• личностное присвоение проблемы,

• вживание в ситуацию,

• принятие и конкретизацию целей и задач

2-й этап – организация деятельности на уроке (7 мин)

*повторение основных правил, теорем

*выполнение тестов

3-й этап – основная деятельность (25 мин)

• знакомит учащихся с новым материалом;

• получают новые знания;

• решают активно и самостоятельно в соответствии с их умениями;

• дает новые упражнения;

• консультирует;

• контролирует

• консультируются по необходимости

4-й этап – презентация результатов (5 мин)

• обобщает и резюмирует результаты деятельности учащихся;

• подводит итоги урока;

• оценивает деятельность учащихся за весь урок

демонстрируют:

• понимание проблемы, целей и задач урока;

• умение осуществлять самоконтроль;

• усвоение изученных способов решения задач;

• рефлексию деятельности и результата

Ход урока

I. Организационный момент

Учитель с помощью мультимедийного проектора проецирует на экран дату, тему урока, эпиграф, проблему, цель и задачи (см. прил. 2). Учащиеся смотрят,слушают, делают записи в тетрадях.

II. Проверка домашнего задания.

  - решить традиционным способом.

Решение

уже на этом этапе понятно, что решение будет очень громоздко. Возникла проблема -  решать это уравнение дальше или искать другой способ решения?

- т.к. логарифмируемые выражения для всех х больше 1, то каждый логарифм – положительное или равное 0 число.

- чтобы сумма была равна 0, необходимо складывать нули или числа противоположные, поэтому каждый логарифм может принимать только значение равное нулю, т.е.:

использовался способ оценки левой и правой частей.

Первая группа– выполняет задания по тестам на бумажном носителе мини-тест (см. прил. 5).  Вторая группа участвуют в устной работе, решая кросс-намбер «Числоцветик» по анимационному слайду (см. прил. 2, слайд 7).Сразу после этого 1-я группа осуществляет самоконтроль с помощью ключа ответов, выведенных на экран (см. прил. 2, слайд 8).

III. Объяснение и закрепление нового материал 

Как  нельзя кстати подходит высказывание Винера "Математика - наука молодых. Иначе и не может быть. Занятия математикой - это такая гимнастика ума, для которой нужна вся гибкость и вся выносливость молодости. Решая нестандартные уравнения, мы и займемся этой гимнастикой. (3слайд)

Учитель объясняет новый учебный материал с использованием мультимедийной презентации и проектора:

– При ответе на вопросы кросснамбера и теста вы уже упоминали о воз-

растающих и убывающих функциях. Давайте вспомним определение монотонных функций (отвечают).

Можно ли применить монотонность функций при решении уравнений?

Если да, то насколько эффективно это применение? Вот основополагающие вопросы, на которые мы должны получить ответы.

Для этого мы с вами пройдем несколько этапов.

Этап 1. Как решается графически уравнение вида f(x) = a, где а – неко-

торое число?

О т в е т: строятся графики функций y = f(x) и y = a, находятся абсциссы

точек пересечения этих графиков.

Пусть функция y = f(x) – монотонная, например, строго возрастающая.

Тогда прямая y = a может пересечь график y = f(x) не более чем в одной точке, то есть либо вообще не пересекает, либо пересекает только в одной точке. Значит, в этом случае уравнение f(x) = a или не имеет корней или имеет единственный корень. Аналогично обстоит дело, если y = f(x) – убывающая функция.

Итак, сформулируем следующее утверждение:

Если f(x) – монотонная функция, то уравнение   f(x) = a имеет не более одного корня.

Пример 1. =6

Функция f (x)– - возрастает на М, ,     .Значит, данное уравнение имеет не более одного корня. Подбором легко определить корень х = 1.

О т в е т: 1.

Этап 2. Пусть теперь решаем уравнение вида f(x) = g(x), причем y = f(x) –

возрастающая функция, y = g(x) – убывающая функция. Снова обратимся к графическому представлению (на экране). Получаем, что графики этих функций если пересекаются, то только в одной точке. Это представление нам поможет сформулировать так называемое утверждение о «встречной монотонности»:

Пусть функция y = f(x) возрастает на промежутке М, а функция y = g(x) убывает на этом промежутке. Тогда уравнение f(x) = g(x) имеет

на промежутке М не более одного корня.

Пример 2.

log2(2x – x2 + 15)= x2 – 2x + 5.

Выполним замену 2x – x2+15 = у, у > 0. Тогда x2 – 2x + 5=20 – у, значит,

log2y=20 – y.

Функция f = log2y – возрастающая, а функция g = 20 – y – убывающая.

Геометрическая интерпретация дает понять, что исходное уравнение имеет

единственный корень, который нетрудно найти подбором, у = 16.

Решив уравнение 2x – x2 + 15 = 16, находим х =1.

Проверкой убеждаемся в верности подобранного значения.

О т в е т: 1.

Пример 3. В демонстрационных материалах ЕГЭ-2011 включен следующий

пример: С6 Решить уравнение 3х + 44 = 5х.

Р е ш е н и е:

Достаточно очевидно, что х = 2 – корень уравнения. Докажем, что это един-

ственный корень.

Разделив обе части уравнения на 4х, преобразуем уравнение к виду:

Замечаем, что функция  у=  + 1-  убывает, а функция у=  - х возрастает

Значит, уравнение имеет только один корень.

О т в е т: 2.

Этап 3.

Многие уравнения можно решать, используя свойство ограниченно-

сти функции.

Если функция f(x) ≥ a, а функция g(x) ≤ a,

то уравнение f(x) = g(x) равносильно системе

(На экране учитель демонстрирует геометрическую интерпретацию уравне-

ния.)

Пример 4. cos(2πx) = x2 – 2x +2.

Рассмотрим функцию у = x2 – 2x +2. Ее графиком служит парабола, ветви

которой направлены вверх. Значит, в вершине параболы функция достигает своего наименьшего значения. Абсциссу вершины параболы найдем из уравнения у' = 0.

Имеем:

у' = (x2 – 2x + 2)' = 2х – 2;

2х – 2 = 0, х = 1,

у(1) = 12 – 2 ⋅·1 + 2 = 1.

Итак, для функции у = x2 –2x +2 получили унаим. = 1.

В то же время функция у = cos(2πx) обладает свойством: унаиб. = 1.

Значит, задача сводится к решению системы уравнений

Из второго уравнения системы получаем х = 1. Поскольку это значение

удовлетворяет и первому уравнению системы, то оно является единственным решением системы и, следовательно, единственным корнем заданного уравнения.      О т в е т: 1.

Не  так уж и трудно задачи решать

Проблема даёт вдохновение

Искусство же в том, чтоб суметь отыскать

Удачный подход для решенья!

         П. Хейн

Далее приводится работа в группах. Каждой предлагается задание.

1-я группа

Решить уравнение log4(6x – x2 + 7) = x2 – 6x + 11.

Р е ш е н и е:

Выполним замену 6x – x2 + 7 = у, у>0. Тогда x2 – 6x + 11 = 18 – у, значит,

log4y = 18 – y.

Функция f= log4y – возрастающая, а функция g =18 – y – убывающая.

Геометрическая интерпретация дает понять, что исходное уравнение имеет

единственный корень, который нетрудно найти подбором, у = 16.

Решив уравнение 6x – x2 + 7 = 16, находим х = 3.

Проверкой убеждаемся в верности подобранного значения.

О т в е т: 3.

2-я группа

Решить уравнение 5х + 12х = 13х.

Р е ш е н и е:

Достаточно очевидно, что х = 2 – корень уравнения. Докажем_______, что это единственный корень.

Разделив обе части уравнения на 12х, преобразуем уравнение к виду:

Замечаем, что функция   у =   - убывает, а функция  у = возрас-

тает. Значит, уравнение имеет только один корень.

О т в е т: 2.

.Итоги урока. Рефлексия.

Вот теперь можно расслабиться, окинуть мысленно всю свою работу на уро-

ке и подвести итог, ответив на следующие вопросы:

• Можно ли применять свойства функций при решении уравнений?

• Эффективно ли применение свойств функций при решении уравнений?

• Что нового вы узнали на этом уроке?

• Какие задачи из предложенных заданий вам понравилось решать?

• Чувствуете ли вы уверенность в данный момент перед нестандартны-

ми уравнениями?

Великий педагог Ян Амос Коменский сказал: «Считай несчастным тот день

или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к образованию».

Исходя из этого высказывания, можно заключить, что наш счастливый час

подошел к концу. Всем спасибо!

Литература

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа: учеб. и задачник для 10–11 классов. – Ч. I, II – М.: Мнемозина, 2008.

2. Типовые варианты ЕГЭ – 2011, 2012

5. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012: учеб.-методич. пособие / под ред.

Ф.Ф.Лысенко, С.Ю. Кулабухова.– Ростов-н/Д: Легион-М, 2011.__