Лист Мёбиуса
проект (9 класс) на тему

Содержание

1. Введение

2. Цели:

1.  Выяснить свойства листа Мёбиуса
2.  Показать применение листа Мёбиуса в различных сферах жизни

3. Задачи:

1. Рассказать о Мёбиусе и его открытии
2. Выяснить свойства листа Мёбиуса
3. Показать необычность этой геометрической поверхности.

2. Основная тема

1. Об авторе
2. Изготовление листа Мёбиуса
3. Свойства листа Мёбиуса и их применение в практической деятельности.
4. Гипотезы, связанные с лентой Мёбиуса.
5. Лист Мёбиуса в окружающем нас мире.

    III. Вывод

    IV. Источники информации

Актуальность

В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений необычных фигур.

Почему возникла необходимость в этой работе?

Однажды Любовь Ивановна, наш учитель математики, показала нам необычную геометрическую фигуру, сказала, что называется она Лист Мёбиуса, и у нее необычные свойства. Она предложила тем, кто захочет, узнать об этой фигуре как можно больше. Нам стало интересно. Так возникла идея этого проекта. Мы с Любовью Ивановной наметили план работы, сроки выполнения, промежуточные консультации. Первым источником, к которому она посоветовала нам обратиться, была детская энциклопедия «Я познаю мир. Математика». Из нее мы узнали о великом ученом и получили первоначальные сведения о его открытии.

В своей работе мы использовали следующие информационные источники: учитель математики, энциклопедия  «Я познаю мир», интернет – ресурсы, литература, музейные источники, архитектура, кинематограф.

А девизом нашей работы стали слова А. Эйнштейна: «Не обязательно понимать этот мир, нужно лишь найти себя в нем»

Об авторе

Август Фердинанд Мебиус. Родился на территории княжеской школы Шульпфорта, близ Наумбурга. Его отец занимал в этой школе должность учителя танцев. Мать Мёбиуса была потомком Мартина Лютера.

Отец умер, когда мальчику было всего три года. Начальное образование Мёбиус получил дома и сразу выказал интерес к математике. С 1803 по 1809 годы учился в гимназии-интернате Шульпфорта, затем поступил в Лейпцигский университет. Первые полгода, в соответствии с рекомендациями семьи, он изучал право, но затем принял окончательное решение посвятить жизнь математике и астрономии. В 1813—1814 годах Мёбиус жил в Гёттингене, где посещал университетские лекции К. Ф. Гаусса по астрономии.

Когда Мёбиус работал над докторской диссертацией (1815), была сделана попытка призвать его в прусскую армию. С трудом избежав этой угрозы, он успешно получил докторское звание.

В 1820 году Мёбиус женится. У него родились два сына и дочь.

В 1858 году, в возрасте 68 лет, Мёбиусу удалось сделать открытие. Это открытие односторонних поверхностей. Существует несколько легенд того, как это произошло.

-Виноват во всем портной, который неправильно вшил манжет рубашки.

-Придумал ленту Мёбиус, когда наблюдал за горничной, неправильно одевшей на шею свой платок.

-На улице шел дождь. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного в голову не приходило на ум. На пороге комнаты появилась жена. Она была разгневана и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту. Хмуро разглядывая ленту, профессор воскликнул: «Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!» Идея пришла ему в голову, когда служанка неправильно сшила ленту.
В дальнейшем, Мёбиус послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался ответа и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.

  Кроме этого, Мёбиус впервые ввел однородные координаты и аналитические методы исследования в проективной геометрии. Получил новую классификацию кривых и поверхностей, установил общее понятие проективного преобразования, позднее названного его именем. Мёбиус также опубликовал двухтомное «Руководство по статике» (1837) и «Барицентрическое исчисление» (1827). Обе эти книги относятся к проективной геометрии. Он впервые рассмотрел кривые третьего порядка и изучил их свойства.  

Как же изготовить лист Мёбиуса?

Надо взять длинную прямоугольную полоску и склеить ее концы, предварительно повернув один из них на 180˚.

Какими же свойствами еще обладает эта удивительная фигура?

Будем показывать их, проводя сопоставление между обыкновенным кольцом и лентой Мёбиуса.

Если мы разрежем обыкновенное кольцо вдоль по середине, то получим два одинаковых кольца. Если разрежем лист Мебиуса вдоль по середине, то получим одно большое кольцо в виде восьмерки.

Если мы разрежем предыдущее кольцо Мебиуса по середине, то получим два больших кольца, переплетенных между собой в виде восьмерки. 

Мы не сможем попасть на внутреннюю сторону бумажного кольца, если не перейдем через край или не разорвем кольцо. 

Мы сможем попасть из точки А в точку А, пройдя через весь лист не нарушая его целостности. Это доказывает его односторонность.

Свойства листа Мёбиуса (итог):

        1. Односторонность, которая характерна только для листа Мёбиуса.

2. Непрерывность – на листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой без разрыва поверхности

3. Ориентированность – отсутствует у листа Мёбиуса. Если бы человек мог путешествовать по всему листу, то он вернулся бы в исходную точку. 

4. «Хроматический номер» - это максимальное число областей, которое можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими.  Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любыми другими. На листе бумаги, даже если его склеить в кольцо, еще никому не удалось расположить пять цветовых пятен любой формы, которые имели бы всеобщую границу. Каков же хроматический номер ленты Мёбиуса? Он равен шести.  

Где же находят применение эти свойства?

Мы сталкиваемся с лентой Мёбиуса практически каждый день. Есть множество вещей, изготовленных по образу и подобию:

1.Если ленту ременной передачи сделать в виде листа Мёбиуса, то ее поверхность будет изнашиваться в 2 раза медленнее. 

2.В некоторых матричных принтерах лента так же имеет вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.

3.Были созданы особые кассеты в форме ленты Мёбиуса. Это дало возможность слушать их с «двух сторон», не меняя их местами. 

 Кроме этого, по подобию листа Мёбиуса изготовлены:

1. В 1971г. уральский изобретатель П.Н.Чесноков применил фильтр в форме листа Мёбиуса, получив на него авторское свидетельство.

2.Пружины для рулевого колеса штурвалов; несколько десятилетий назад необычной ленте нашли новое применение – она превратилась в удивительную пружину. Как известно, обычная взведенная пружина всегда срабатывает в противоположном направлении. Использование открытия Мёбиуса позволило создать пружину, не меняющую направления срабатывания. Подобный механизм находит свое применение и в устройстве стабилизатора штурвала рулевого привода, обеспечивая возврат в исходное положение рулевого колеса. Это важно в случае, когда отсутствует обратная связь между управляемыми элементами и рулём.

3.Резистор Мёбиуса, который может отменить или уничтожить свое собственное сопротивление.

4.Благодаря ленте Мёбиуса появился «Механизм управления», на который получено Авторское свидетельство № 1453110 (Приоритет 26.07.1985, автор Смирнов В.Б.). Механизм управления можно применить в детских заводных игрушках, в щелевом затворе фото- или кинокамеры. 

5. В виде ленты Мёбиуса  можно изготовить лопасти бетономешалки или бытового миксера – энергозатраты снизятся на одну пятую, а качество бетона улучшится.

Но еще более удивительные открытия ждали нас, когда мы обратились к интернет ресурсам. Оказывается, есть гипотезы, связанные с листом Мёбиуса.

Гипотезы

1.Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе является фрагментом ленты Мёбиуса, поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия.

2.Физики-теоретики выдвинули гипотезу, что наша Вселенная,         вероятно, замкнута в ту же ленту Мёбиуса. Согласно теории относительности А. Эйнштейна, чем больше масса, тем больше кривизна пространства. И тогда можно предположить, что космический корабль, запущенный с Земли, двигаясь по прямой, рано или поздно, вернется к месту старта.

          3.Физики-теоретики также утверждают, что все законы оптики основаны на свойствах листа Мёбиуса.

 4. Ленту Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности, так как, находясь на поверхности ленты, можно было идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ бесконечности использовался в течение двух столетий до открытия ленты. Но у них много общего.

Лист Мёбиуса в окружающем нас мире

1. В архитектуре.  Изгибы библиотеки в Астане образуют лист Мебиуса, таким образом. Внутреннее пространство переходит во внешнее и обратно; подобным образом стены переходят в крышу, а крыша трансформируется обратно в стены! Естественный свет проникает во внутренние коридоры сквозь геометрические отверстия во внешней оболочке, создавая прекрасно освещенные пространства, идеальные для чтения.

 О ленте Мёбиуса ходит  много легенд, одна из которых заключается в том, что если посмотреть сквозь нее на мир под каким-то особым углом, можно увидеть его совсем в другом свете. Интересен в этом смысле проект «Дом Мёбиуса», построенный по принципу ленты Мёбиуса. Дом возведен в 1992 – 1998гг. в Голландии. Он обозначает замкнутый бесконечный 24 часовой жизненный цикл, включающий в себя работу, сон, развлечения, еду и т.д., то есть, все то, что делает человек и что происходит с ним в течение суток. «Новый архитектурный язык» позволил организовать диалог дома с окружающим ландшафтом. Архитектор Бен ванн Беркель получил мировое признание в архитектурной среде. 

2.   В скульптуре и ювелирных изделиях.

Скульптура из множества консервных банок.

  3. Лист Мёбиуса служил и служит вдохновением для скульпторов и для графического искусства.

  М. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько литографий. Одна из них показывает красных муравьев, ползающих по поверхности листа Мёбиуса.

 4. В литературе.

Лист Мебиуса - символ математики,

Что служит высшей мудрости венцом…

Он полон неосознанной романтики:

В нем бесконечность свернута кольцом.

                                                          В нем  - простота, и вместе с нею сложность,

                                                          Что не доступна даже мудрецам:

                                                          Здесь на глазах преобразилась плоскость

                                                          В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,

Стремись вперед и открывай миры,

Почувствуй силу новых ощущений,

Прими познанья высшего дары.

 5. В 1996 году был снят фантастический фильм «Мёбиус», режиссера Густаво Москера. Фильм создан Университетом кинематографии Буэнос – Айроска и является дипломной работой его учеников. Действие фильма происходит в метро. Система метрополитена, после открытия окружной ветки, стала сложной и представляет собой вариант   ленты Мёбиуса. Поезд, по мнению главного героя, в силу   обстоятельств, попал на «Обратную сторону» ленты и двигается в ином измерении, покинув ограниченное пространство метрополитена.  Фильм был номинирован на 11премий различных кинофестивалей, из которых получил 7.

6. В северной столице нашей Родины расположился музей воды. Одним из самых популярных экспонатов является Великий круг жизни, который изготовлен по подобию ленты Мёбиуса. 

7. У входа в музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная в полвитка. Это не случайно. Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе которых лежит лента Мёбиуса. В разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты. 

 8. Знак вторичной переработки «Recycling». Наличие этого знака на товаре указывает, что товар произведен из сырья, полученного путем вторичной переработки.

  9. В 2003 году японские учёные смогли получить в лабораторных условиях жидкие кристаллы в форме мёбиусной ленты. Благодаря именно жидким кристаллам, точнее их способности модулировать свет, изготавливаются плоские экраны дисплеев компьютеров, планшетов, смартфонов, телевизоров и других электронных устройств. Со слов одного из ученых Гарет Александра:

«Наши исследования позволили разработать технологию завязывания узлов из жидких кристаллов. Теперь нам останется только определить, какой вид воздействия на свет и другие явления физического плана могут оказывать эти жидкокристаллические узлы. А уже после этого мы сможем использовать уникальные свойства таких узлов жидких кристаллов в своих целях для создания самых различных технологий будущего, от голографических дисплеев до квантовых и фотонных вычислительных устройств». 

Еще одно необычное открытие мы сделали для себя.

Известно, что нет Нобелевской премии по математике. Но в интернете мы обнаружили, что существует конкурс А. Мёбиуса. Конкурс Августа Мёбиуса был учрежден в 1997г. для выявления лучших студенческих и аспирантских работ по математике и оказания финансовой поддержки их авторам при продолжении работы в России.

Вывод

Лист Мёбиуса можно встретить в различных сферах деятельности человека. Но главное: он дал мощный толчок новым математическим открытиям, и развитию такой науки как топология. Лист Мёбиуса часто считают символом современной математики.                   

Список литературы:

Б. А. Кордемский. «Математическая смекалка». М. 1957 год. стр. 576

В. В. Трошин. «Магия чисел и фигур». М. «Глобус». 2007 год.

Детская энциклопедия «Я познаю мир «Математика». М. «АСТ». 1998 год. Стр. 309.

Паспорт проектной работы.

Название проекта: «Лист Мёбиуса».

Руководители проекта: учитель математики Лукьянчикова Л.И

Учебный предмет, в рамках которого проводится работа по проекту: геометрия,

Перечень учебных тем, к которым проект имеет отношение: «Различные виды поверхностей»

Учебные дисциплины, близкие к теме проекта: физика, черчение.

Выбор возрастной категории учащихся: 7 – 8  класс

Тип проекта: исследовательский (сбор информации, исследование свойств односторонней поверхности экспериментальным путем, работа над презентацией,).

Основополагающий вопрос проекта: чем отличается поверхность листа Мёбиуса от других?

Дидактические цели: формирование компетентности в сфере самостоятельной познавательной деятельности, навыков самостоятельной работы, умений увидеть проблему и наметить пути ее решения.

Темы индивидуальных исследований учащихся:

Открытие Мёбиуса

Свойства односторонних поверхностей

Применение таких поверхностей в различных сферах жизни

Выдвижение гипотез:

Три гипотезы, выдвинутые учеными

Продолжительность выполнения проекта: 2-3 недели

Форма представления: компьютерная презентация с элементами мастер- класса.

Этапы работы над проектом:

организационно - мотивационный,

этап формирования групп для проведения исследований,

поисковый,

этап объединения полученных результатов,

этап выбора формы представления,

заключительный - презентация.