"Лист Мёбиуса"
методическая разработка (5 класс) на тему

МКОУ АГО «Уфимская СОШ»

Урок математики в 5 классе

по теме: «Лист Мебиуса»

Разработал:

учитель математики

Ташкинова Оксана Васильевна

п. Уфимский Ачитского района Свердловской области, 2013 г

Тема: Лист Мебиуса.

Класс: 5.

Вид урока: лабораторная работа с элементами исследования.

Тип урока: изучение нового.

Формы работы на уроке: практическая групповая работа, фронтальный опрос, научный эксперимент.

Оборудование: мультимедиа-проектор, компьютер, термины (Приложение 1), таблицы наблюдений экспериментов (Приложение 2), образец ленты Мебиуса,  клей, ножницы.

Цели урока:

Образовательные:

• познакомить учащихся с листом Мебиуса, элементами исследовательской работы;
• расширить знания учащихся в области экспериментальной математики.

Развивающие: 

• развивать логическое мышление;
• развивать умения выдвигать гипотезу и сопоставлять ее с полученным результатом;

Воспитательные:

• воспитывать целеустремленность в достижении цели;
• прививать интерес к математике, математическим опытам;
• воспитывать коллективизм, взаимопомощь.

Формирование УУД:

Личностные действия: (самоопределение, смыслообразование)

Регулятивные действия: (целеполагание, планирование, прогнозирование)

Познавательные действия: (общеучебные, логические, постановка и решение проблемы)

Коммуникативные действия: (планирование учебного сотрудничества, постановка вопросов, умение работать в группе, умение с достаточной точностью и полнотой выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации)

Предварительная подготовка: учащиеся разделяются на пары.

Понятия: 

• Исследование – процесс получения новых знаний.
• Гипотеза  (от греч. hypothesis – предположение) – научное предположение, выдвигаемое для объяснений каких-либо явлений, достоверность которого еще не доказана опытным путем.
• Эксперимент – (от лат. experimentum – проба, опыт) – воспроизведение какого-либо явления с целью исследования. Научно поставленный опыт.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Постановка целей и задач урока

Здравствуйте ребята. Кто-нибудь из вас знаком с понятием лист Мебиуса? (слайд 1)

Тем, кто ещё не знаком с удивительным листом, который  относится к «математическим неожиданностям», мы предлагаем вместе с нами провести исследование и узнать много интересного .

Что же такое лист Мебиуса? Как же он возник? Давайте проведем экскурс в историю. (слайд 2)

III. Историческая справка

Таинственный и знаменитый  лист Мёбиуса (иногда  говорят : лента  Мёбиуса)  придумал  в 1858г. немецкий  геометр  Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868),  ученик «короля  математиков» Гаусса. Благодаря своему открытию Мёбиус стал  одним из крупнейших геометров Х1Х в.  (слайд 3)

Лист Мебиуса считается одним из символов современной математики, а момент его открытия стал началом рождения новой науки – топологии. В некотором смысле слово топология – это наука, изучающая непрерывность. Тополог интересуется свойствами “предметов”, которые выдерживают деформации: сжатия и растяжения. (слайд 4)

Рассказывают, что открыть свой “лист” Мебиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты. (слайд 5)

IV. Работа с незнакомыми словами

Чтобы понять, как нам проводить исследование данной поверхности, давайте выясним, что такое исследование и эксперимент. (На доске вывешиваются понятия: исследование, эксперимент, гипотеза – Приложение 1).

Во все времена человек большинство знаний добывал не путем рассуждений и догадок, а из собственного трудового опыта. Иногда человек специально проводит серию опытов, чтобы доказать, либо опровергнуть некоторую гипотезу – научное предположение. Такая работа называется – эксперимент.  (слайд 6)

Увлекательное исследование: Запаситесь несколькими листами обычной белой бумаги, клеем и ножницами. (слайд 7)

V. Техника безопасности

При выполнении этой работы нам будут необходимы ножницы. Расскажите, пожалуйста, как нужно обращаться с ножницами?

• Ножницы должны лежать на столе сомкнутыми лезвиями, кольцами к вам;
• Передавать ножницы нужно кольцами вперед;
• При работе ножницы должны лежать с правой стороны.

VI. Лабораторная работа

Сейчас я каждой группе раздам задания (Приложение 2). При выполнении задания вы должны обсудить гипотезу, записать ее в карточку. Провести эксперимент, который будет состоять из опытов. Записать результат эксперимента в карточку. На основании результата сделать вывод о том подтверждена ваша гипотеза или нет.

В карточку будем записывать только эксперименты с листом Мебиуса.

Эксперимент 1. Склеим обычное кольцо из полоски бумаги. Сколько у него сторон? Как это проверить? Этот опыт показывает, что кольцо имеет две стороны, то есть кольцо – это двухсторонняя поверхность.

Склейте лист Мебиуса.

Получается он очень просто: склейте из бумажной полоски кольцо, только перед склеиванием поверните один конец на 180°. (Склеить лист Мебиуса вместе со всеми детьми). (слайд 8)

Получим такое перекрученное кольцо (слайд 9)

Если начать проводить линию по листу Мебиуса с одной стороны, не отрывая карандаш от поверхности и не переходя через край, то какая часть листа Мебиуса окажется закрашенной, или другими словами, сколько сторон у листа Мебиуса? (слайд 10)

Давайте выдвинем гипотезу – научное предположение, и посмотрим, совпадет ли наше предположение с результатом эксперимента.

Мы определились с гипотезой. Теперь проведем опыт.
Каков результат эксперимента? (Ответы детей)

(слайд 11)

Совпал ли результат эксперимента с гипотезой? (Ответы детей)

Эксперимент 2. (слайд 12)

Что будет, если разрезать обычный лист бумаги? Давайте проверим.

Ответы детей: два обычных листа бумаги. Точнее, две половинки листа.

А что случится, если разрезать вдоль посередине лист Мёбиуса по всей длине?

Давайте определимся с гипотезой запишем ее.

Теперь проведем опыт.

Каков результат эксперимента? (Ответы детей)

А вот что получилось у нас  - Лента перекручена два раза (слайд 13)

Совпал ли результат эксперимента с гипотезой? (Ответы детей) 

Эксперимент 3. (слайд 14)

Что будет, если разрезать обычный лист бумаги, но не по середине, а ближе к одному краю?  Давайте попробуем.

Ответы детей: два листа бумаги, различной ширины.

Теперь сделайте новый лист Мёбиуса и скажите, что будет, если разрезать его вдоль, но не посередине, а ближе к одному краю?

Ваша гипотеза?

Теперь проведем опыт.

Каков результат эксперимента? (Ответы детей)

А вот что получилось у нас  - два сцепленных кольца, одно длиннее другого в два раза. (слайд 15)

Совпал ли результат эксперимента с гипотезой? (Ответы детей) 

Эксперимент 4. (слайд 16)

Что будет, если разрезать обычный лист бумаги на три части?  Давайте попробуем.

А что получится, если лист Мебиуса разделить на три части?

Давайте определимся с гипотезой запишем ее.

Теперь проведем опыт.

Каков результат эксперимента? (Ответы детей)

Получим  два  сцепленных  кольца.  

Одно  из  них  вдвое   длиннее  исходного  и  перекручено  два  раза. Второе-  лист  Мёбиуса,  ширина  которого  втрое  меньше,  чем  у  исходного. (слайд 17)

Совпал ли результат эксперимента с гипотезой? (Ответы детей) 

Эксперимент 5.

Человечек - перевертыш (слайд 18)

У вас на столе есть бумажные человечки. Давайте сначала отправим их вдоль обычного бумажного кольца. Пункт их отправления обозначим точкой. После одного круга, куда придут наши человечки? (Ответы детей)

А теперь мы отправим человечка  идти посередине  листа  Мёбиуса.  

Он  вернулся к  месту  старта.  Но  в  каком  виде! В  перевернутом! (слайд 19)

А что нужно сделать человечку, чтобы он вернулся к старту в нормальном положении?

А  чтобы  он  вернулся к старту  в нормальном положении, ему нужно совершить  ещё одно «круголистное» путешествие.

Проверьте!

Дополнительное задание

1. Что получится, если перекрутить ленту дважды, а затем разрезать вдоль посередине?
2. Что получится, если перекрутить ленту трижды, а затем разрезать вдоль посередине?
3. Склеить вместе (одно  в другом) лист Мёбиуса и простое кольцо. Что получится, если разрезать их вдоль?
4. Склеить вместе (одно  в другом) два листа Мёбиуса. Что получится, если разрезать их вдоль?

IX. Подведение итогов

Ответьте на следующие вопросы:

Во время проведения нашей работы мы использовали новые термины гипотеза и эксперимент. Что означают эти слова?

Сколько ответов из колонки гипотез совпало с ответами из колонки экспериментов?

Ребята, если ваша гипотеза не совпала с результатом эксперимента, не нужно прекращать заниматься научной работой. Ведь среди ученых существует правило, что отрицательный результат – это тоже результат. И твой труд не пропал напрасно.

Лист Мёбиуса используется во многих изобретениях, навеянных тщательным изучением свойств односторонней поверхности.

1. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде листа Мёбиуса, позволяет ему работать дольше в два раза, потому что вся поверхность листа равномерно изнашивается.
2. В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса. Это даёт ощутимую экономию.
3. Физики пришли к выводу, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности Эйнштейна и его предположением, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта, что подтверждает неограниченность Вселенной.
4. Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того – такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.
5. Ученые утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.

Лист Мебиуса удивительная поверхность и притягивает к себе внимание не только математиков, но и людей искусства. Посмотрите, скульптуры и картины в основе которых лежит лист Мебиуса.

Математика не является отвлеченной наукой. Очень многие математические знания и факты связаны с природой. Посмотрите лист Мебиуса, созданный природой (слайд 20, 28)

XI. Домашнее задание

Подумайте над вопросом: как склеить лист Мебиуса из квадратного листа? Ответ: сложить лист гармошкой. (слайд 29)

X. Вывод

Лист Мёбиуса – удивительный феномен. Его можно исследовать до бесконечности, мы рассмотрели лишь некоторые его свойства. Надеемся, что мы вас заинтересовали и вы продолжите исследования этого непредсказуемого листа. (слайд 30)

XI. Рефлексия

Ученикам раздаются самоклеящиеся листочки, на которых необходимо нарисовать смайлик, выражающий свое отношение к проведенному уроку.

Используемая литература

1. Фукс Д. Лента Мёбиуса. Вариации на старую тему // «Квант», № 1, 1979.
2. Сайт учителя математики.[Электронный ресурс] – Режим доступа: http://le-savchen.ucoz.ru/publ/1-1-0-31 свободный
3. Секреты ленты МЁБИУСА. Катушка МЁБИУСА. [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://bornovec.ru/fizika/index.htm свободный

4. Приложение 1

• Исследование – процесс получения новых знаний.
• Гипотеза  (от греч. hypothesis – предположение) – научное предположение, выдвигаемое для объяснений каких-либо явлений, достоверность которого еще не доказана опытным путем.
• Эксперимент – (от лат. experimentum – проба, опыт) – воспроизведение какого-либо явления с целью исследования. Научно поставленный опыт.

Приложение 2

Задание 1: Сколько сторон у листа Мебиуса?

Задание 2: Что получится, если разрезать лист Мёбиуса вдоль посередине.

Задание 3: Что получится, если разрезать его вдоль, но не посередине, а ближе к одному краю?

Задание 4: Что получится, если разрезать лист Мёбиуса вдоль, отступив треть от края листа?