Исследовательская работа "ЛИСТ МЁБИУСА"
опыты и эксперименты (8 класс) по теме

Министерство образования Российской Федерации

МБОУ СОШ №2 Карасукского района Новосибирской области.

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

Лист Мёбиуса

                                                                                                                             Работу выполнили

                                                                                                                             Кривошта Алина,

                                                                                                                             Тятянич Ирина,

                                                                                              ученицы 8 «Б» класса

                                                                                                                             МБОУ СОШ № 2.

                                                                                                                             Руководитель

                                                                                                                             учитель математики

                                                                                                                             Чернова Л. Г.

2014 г.

Содержание

Введение       ……………………………………………………………………….…........................3

Глава I.   А. Ф. Мёбиус  и его открытие  ……..……………………………………......................4        

1.1. Историческая справка  …………………………………………………………………………..4

1.2. Что такое лист Мёбиуса?   ………………………………………………………………………5

1.3. Топология как наука     ………………………………………………………….........................5

1.4. Существуют ли ещё объекты подобные листу Мёбиуса?  ……………………………………6

1.5. Свойства листа Мёбиуса   ………………………………………………………........................7

1.6. Применение листа Мёбиуса в жизни    ………………………………………………………...8

Глава II. Экспериментальная работа «Сюрпризы листа Мёбиуса»…………………………11

2.1. Эксперимент 1.  …………………………………………………………………………………11

2.2. Эксперимент 2.   ………………………………………………………………………………...11

2.3. Эксперимент 3   …………………………………………………………………………………11

2.4. Эксперимент 4  ………………………………………………………………………………….12

2.5. Эксперимент 5  ………………………………………………………………………………….12

2.6. Эксперимент 6  ………………………………………………………………………………….12

2.7. Эксперимент 7  ………………………………………………………………………………….13

Глава III. Фокусы …………………………………………………………………………………..13

3.1. Фокус «Получение рамки для фото»  ………………………………………………………….14

3.2. Фокус «Узел»……………………………………………………………………………………..14

3.3. Фокус «Жилет» ………………………………………………………………………………….15

Глава IV.  Заключение……………………………………………………………………………...15

Список литературы……………….…………………………………………………….....................16

Приложения …………………………………………………………………………….....................17                                                                                       

Введение

        «Мышление начинается с удивления»*

 Аристотель.  

Актуальность исследования.     Слышали ли вы когда- нибудь о листе Мёбиуса? Как его можно изготовить, как  он связан с математикой и где применяется в жизни? Удивительные свойства листа Мёбиуса использовались и используются в кулинарии, в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных изделий и бижутерии. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников. Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни. Нас заинтересовала эта тема. Мы  изучили литературу, затем сами изготовила лист Мёбиуса, а потом проводили исследования, ставя опыты, изучая его необыкновенные свойства.

Цель: Изучить некоторые свойства ленты Мёбиуса, рассмотреть применение ленты на практике.

Задачи исследования:

o        выявить  источники и литературу по данной теме и проанализировать их;

o        познакомиться с историей возникновения листа Мёбиуса;

o        научиться и научить других, изготавливать лист Мёбиуса;

o        изучить разнообразные свойства листа Мёбиуса;

o        выяснить,  где применяется лист и его свойства;

• изучить опыты с листом Мёбиуса, которые описываются

 в математической   литературе, и провести эксперименты.

Исходя из выше сказанного, мы определили:

- объект нашего исследования – лента Мёбиуса.

Метод исследования:

• анализ математической литературы,
• изучение, исследование  и сбор информации,
• практический эксперимент.

Гипотеза: Лист (лента) Мёбиуса таит в себе много загадок.

_________________________________

*http://dic.academic.ru/dic.nsf/aphorism/2267

Структура работы: Работа состоит из  введения, четырёх глав, списка использованной литературы и приложений. Во введении  определена актуальность темы, связанная  с понятием листа Мёбиуса и применением его свойств в современной жизни общества, цели, задачи, объекты и методы исследования. В первой главе описана  историческая справка об Августе Фердинанде Мёбиусе,  немецком геометре и астрономе, профессоре Лейпцигского университета и о его таинственном и знаменитом  листе (ленте) Мёбиуса.  Так же в первой главе рассмотрено  новое понятие – топология. Рассмотрены свойства листа Мёбиуса и применения их в жизни.  Во второй главе  обобщены и проанализированы результаты экспериментов, проведённых с учащимися 8 «Б» класса,  родителями МБОУ СОШ № 2. В третьей главе вашему вниманию предлагаются фокусы. В четвёртой главе  написано заключение. В нем определены выводы по проделанной работе. В списке использованной литературы перечислены основные источники, которые  использовали в процессе нашей  работы. В приложении даны  рисунки, схемы, фотографии,  описание фокусов, таблица с результатами экспериментов.

1.1. Страницы истории.

Август Фердинанд Мёбиус * (17.11.1790 – 26.09.1868), немецкий геометр и астроном, профессор Лейпцигского университета. Родился в Шульпфорте. Некоторое время под руководством К.Гаусса изучал астрономию. С 1816 года начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818 году стал её директором, а позже – профессором Лейпцигского университета.

В научных источниках говорится, что Август Фердинанд Мёбиус взял однажды бумажную ленту, повернул один её конец на пол-оборота (то есть на 180°), а потом склеил его с другим концом. То ли от скуки он это сделал, то ли научного интереса ради – теперь уже неизвестно. Подтолкнула его к этому открытию горничная, неправильно завязавшая на своей шее платок. Именно так и появилась в

19 веке знаменитая лента Мёбиуса – открытие односторонней поверхности поразительной красоты.

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик "короля математиков" Гаусса.                        

Мёбиус был первоначально астрономом        , как Гаусс и многие другие из тех, кому математика была обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений.

_________________________________

*http://www.log-in.ru/articles/1360/

И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса.

В 1858 году Август Фердинанд Мёбиус послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе.  Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.
Что же поразило немецкого профессора? А то, что у листа Мёбиуса всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело  (лист бумаги), – две стороны.

1.2. Что такое лист Мёбиуса?                                                                                       

Лист Мёбиуса - это простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Всякая замкнутая поверхность, лежащая в трёхмерном пространстве, разделяет его на две части — ограниченную «внутренность» и неограниченную «внешность», подобно тому, как замкнутая кривая разделяет плоскость на две части.  Чем могла заинтересовать эта бумажная ленточка профессора математики. А тем, что у нее много необычных свойств. Изучение этой ленты очень занимательно и интересно. Самое же  удивительное, пожалуй, то, что мы  сможем её  сделать  своими руками и это совсем несложно. Надо лишь взять полоску бумаги и для ясности обозначим углы с одной стороны ленты А и В, а с другой  C и D. Далее склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180о.  И тогда в ваших руках окажется лист, или лента Мёбиуса. (Приложение 1)

1.3. Топология как наука.

В ходе исследования мы узнали, что Мёбиуса считают основателем топологии. Лист Мёбиуса - один из объектов области математики под названием "топология".

Тополо́гия* (по-другому - "геометрия положения") — раздел математики, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в частности свойства пространства, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины). Удивительные свойства листа Мёбиуса - он имеет один край, одну сторону, не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер.

С точки зрения топологии баранка и кружка - это одно и то же. (Приложение 2) Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар - разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину. Сама топология, можно сказать, началась именно с листа Мёбиуса. Слово это придумал Иоган Бенедикт Листинг. Наука эта

______________________________________

*http://dic.academic.ru/searchall.php?SWord

молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не изменяются ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы – «взрыва» фигуры. Поэтому иногда топологию называют «геометрией непрерывности».  Она известна и под именем «резиновая геометрия», потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии, например, стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично.

1.4.  Существуют ли ещё объекты подобные листу Мёбиуса?

Возникает логичный вопрос: «Существуют ли ещё подобные объекты?»

Да,  существуют,  и в научной литературе описаны ещё более замысловатые, о них очень интересно узнавать.  Если Лист Мебиуса – «условно двумерный объект» (он получен из плоской полоски), то его подружка - Бутылка Клейна* полноправно занимает 3 измерения.

 (Приложение 3)

Запустите суда муравья, и бедняга побывает во всех точках Бутылки Клейна – не делая в ней дырок, и не переползая через край.

На всех рисунках показано следующее: в месте, где трубка «проникает в бутылку» - нет зазора, казалось бы,   это не правильно! Ведь если нет зазора, тогда муравей должен будет выползать из бутылки тем же маршрутом, каким он туда вползал. Разве бродя по Листу Мебиуса ему нужно было разворачиваться, после того как он куда-то дошёл? Бесконечность, она на то и бесконечность!

А почему мы только обходим Бутылку Клейна? Что же будет, если разрезать Бутылку Клейна?  

Это невероятно, но получился Лист Мебиуса. Резать, правда, нужно было так, что бы режущий предмет делал оборот в 360 градусов между начальной точкой и конечной.

Чудеса! Бутылка Клейна в трёх измерениях - это аналог Листа Мёбиуса в двух измерениях.

_________________________________________

* http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/52754

1.5. Свойства листа Мёбиуса.

Из статьи «Элементы топологии на примере листа Мёбиуса»*  мы узнали о свойствах этого топологического объекта.

Односторонность 

 В своей работе «Об объёме многогранников» Август Мёбиус описал геометрическую поверхность – лист Мёбиуса, обладающую совершенно невероятным свойством: она имеет только одну сторону! И мы наглядно можем  убедиться, что у этой  ленты Мёбиуса действительно всего одна сторона.  Попробуем закрасить перекрученную ленту в два цвета – одним с внутренней стороны, а другим с внешней. Чтобы мы не придумывали, нам  это не удастся. Но зато муравью, ползущему по листу Мёбиуса, не надо переползать через край, чтобы попасть на противоположную сторону, как это видно на гравюре художника  Маурица Эшера «Лента Мёбиуса II». (Приложение 4)

Непрерывность

 Это ещё одно топологическое свойство. Если  сравнить схему самолётных маршрутов и географическую карту, то убедитесь, что масштаб Аэрофлотом далеко не выдержан – скажем, Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И всё-таки что-то общее между географической картой есть. Москва действительно связана со Свердловском, а Свердловск – с Владивостоком. И поэтому тополог может как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. Взгляните с этой точки зрения на нашего старого знакомца и увидите: на листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом муравью на гравюре Эшера ни разу не придётся переползать через край «ленты». Разрывов нет – непрерывность полная.

Связность.

Если квадрат полоснуть  бритвой от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы располовинить кольцо, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. А телефонный диск можно десять раз рассечь ножом от одной замкнутой кривой до другой, а он останется единым целым. Поэтому любой тополог скажет, что квадрат и ромашка – односвязны, кольцо и оправа от очков – двусвязны, а всяческие решётки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры – многосвязны.

А лист Мёбиуса? Конечно двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.

_____________________________________

*http://sola.narod.ru/top.htm

1.6. Применение листа Мёбиуса в жизни.

Лист Мёбиуса находит многочисленное применение в науке, технике, искусстве и в изучении свойств  Вселенной.

Свойство односторонности листа Мёбиуса было использовано в технике:

- полоса ленточного конвейера, шлифовальная лента, выполненная в виде ленты Мёбиуса, позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается;

- в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи);

- в матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности, что дает ощутимую экономию.

Чудесные ее свойства тут же породили множество научных трудов, изобретений, а также многочисленных фантастических рассказов. В рассказе А.Дейча "Лента Мёбиуса” * описывался случай в Нью-Йоркском метро. Однажды случилось так, что пути метрополитена пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мебиуса. Поезда один за другим стали исчезать, появляясь снова только через несколько месяцев. А Козьма Прутков подарил читателям афоризм: "Где начало того конца, которым оканчивается начало?".

Благодаря ленте Мёбиуса возникло множество самых разнообразных изобретений. Так, например, были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты с "двух сторон” не меняя их местами. Скольких людей приводили в восторг аттракционы "Американские горки”.

Игрушка эта очень полюбилась не только математикам. Не зря ведь, наверное,

сейчас у входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит памятник ленте Мёбиуса – на пьедестале медленно вращается стальная лента, закрученная на полвитка. Целую серию скульптур в виде листа Мёбиуса создал скульптор Макс Билл. Довольно много разнообразных рисунков оставил Мауриц Эшер.

Лист Мёбиуса в искусстве служит вдохновением для скульптур и для графического искусства. Мауриц Эшер* был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил ему работы. Одна из известных,  показывает муравьёв,  ползающих по поверхности листа Мёбиуса – «Лента Мёбиуса-II». Замкнутая кольцеобразная полоса на первый взгляд имеет две поверхности – внешнюю и внутреннюю. Вы видите, как 9 красных муравьёв один за другим ползут по той и по другой. Тем не менее,  это полоса с односторонней поверхностью. (Приложение 5)

Даже мастерицы – рукодельницы изготавливают шарфики, закрученные в эту чудо ленту. (Приложение 6)

_______________________________

*   http://dik.academic.ru/dic.nsf/ruwiki

 Писатели-фантасты сочиняют о ней произведения, поэты посвящают ей стихи. (Приложение 7)

Конечно же,  главная ценность листа Мёбиуса, представленного в нашей работе, состоит в том, что он дал толчок новым исследованиям. Математические исследования продолжаются и в наши дни. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и  изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического  факультета Московского университета. (Приложение 8)

II. Экспериментальная работа «Сюрпризы листа Мёбиуса».

Нами проведено несколько экспериментов с листом Мёбиуса, в которых мы постарались ответить на интересующие нас  вопросы, и сделали определённые  выводы.

       Для работы нужно подготовить достаточное количество бумажных лент, с которыми будут проводиться эксперименты.

Хороши ленты, у которых длина примерно в 4 раза больше ширины. При разрезании листов Мёбиуса, склеенных из более узких лент, получатся слишком тонкие "кольца".

     Итак, нам для работы понадобится набор лент, клей и ножницы.

Для проведения экспериментов мы пригласили одноклассников и вместе с ними

 выполняли  работу по исследованию свойств

Эксперимент № 1

Что получится, если начать закрашивать лист Мёбиуса с одной стороны, не переходя через край, какая часть ленты окажется закрашенной?

Исходный материал – лист Мёбиуса.

Постепенно окрашиваем его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места.

Результат окрашивания: – весь лист полностью окрашен.

 (Приложение  А. Эксперимент №1).

Вывод: Это подтверждение того, что лист Мёбиуса односторонняя поверхность.

Эксперимент № 2.

Что произойдёт с обычным кольцом, если его разрезать посередине?

Исходный материал – обычное кольцо, склеенное из полоски бумаги.

Результат разрезания кольца посередине – два отдельных обычных

кольца.       (Приложение А. Эксперимент № 2)

Вывод: Свойства – длина окружности та же, но кольца в два раза уже исходного.

Эксперимент № 3.

А если лист Мёбиуса разрезать посередине (то есть на 2 полоски)?

Исходный материал – лист Мёбиуса.

Результат разрезания кольца посередине – одно кольцо.

 (Приложение А. Эксперимент № 3).

Вывод: Свойства – кольцо перекручено дважды, оно вдвое длиннее, но в два раза уже.

Эксперимент № 4.

Каков результат разрезания листа Мёбиуса на 3 полоски?

Исходный материал - на обеих сторонах ленты на равном расстоянии от краев проводим по две пунктирные линии. Склеиваем лист Мёбиуса. Разрезаем по пунктирным линиям (на 3 полоски). 

(Приложение А. Эксперимент № 4).

Вывод: Результат разрезания – получается 2 кольца. Одно из них вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекручено. Оно получилось из краев исходной ленты. Другое - лист Мёбиуса - состоит из центральной части исходного листа Мёбиуса. 

Эксперимент № 5.

Исходный материал - лента шириной 4 см, на которой нанесен пунктир, отступив от края на 1 см, 2 см, 3 см . Сделаем из неё лист Мёбиуса. Разрезаем его по пунктиру (на 4 полосок).

Вывод: Результат разрезания – получим 2 больших кольца.

(Приложение А. Эксперимент № 5).

Эксперимент № 6.

Исходный материал - лента шириной 5 см, на которой нанесен пунктир, отступив от края на 1 см, 2 см, 3 см и 4 см. Сделаем из неё лист Мёбиуса. Разрезаем его по пунктиру (на 5 полосок).

Вывод: Результат разрезания– получим 3 кольца: I - лист Мёбиуса -1 перекрут, ширина 1 см,  длина равна длине исходного кольца. II, III - кольца с двумя перекрутами, ширина 1 см, длина в 2 раза больше исходного листа. II и III кольцо сцеплены с I кольцом и между собой. 

(Приложение А. Эксперимент № 6).

Эксперимент № 7.

Исходный материал - лента шириной 6 см, на которой нанесен пунктир, отступив от края на 1 см, 2 см, 3 см, 4 см, 5 см. Сделаем из неё лист Мёбиуса. Разрезаем его по пунктиру (на 6 полосок).

Вывод: Результат разрезания- получим 3 больших  кольца.
(Приложение А. Эксперимент № 7)

Мы решили  занести  результаты в таблицу.

Результаты опыта

Вывод:  проведя эксперименты  мы заметили, что разрезая лист Мебиуса на четное число полос получаем только большие кольца, а если на нечетное – большие и маленькие. (Приложение А. 1.) Вашему вниманию представляем диаграмму. (Приложение А. 2.)

Глава III. Фокусы

     Для выполнения фокусов необходимы шарф, жилет,  бумажные полоски, клей и ножницы. Сначала ставим перед собой проблемную ситуацию. С помощью фокуса-эксперимента ищем выход из сложившейся ситуации.

Фокус 1. Рамка для фото.

Как сделать рамку для фотографии?

    Склеим обычное кольцо и ленту Мёбиуса под прямым углом и разрежем по пунктирной линии. В результате разрезания мы получим прямоугольник, который можно применить как фоторамку. Если проявить фантазию, и заменить ровный разрез бумаги на фигурный , то можно получить оригинальную рамку. (Приложение Б. Фокус 1.)

Фокус 2. Проблема завязывания узлов  

     Как завязать на шарфе узел, не выпуская из рук его концов? Это можно сделать так. Положите шарф на стол. Скрестите руки на груди. Продолжая держать их в таком положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу шарфа каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине шарфа сам собой получится узел. Пользуясь топологической терминологией, можно сказать, что руки зрителя, его корпус и шарф образуют замкнутую кривую в виде "трехлистного” узла. При разведении рук узел только перемещается с рук на платок. (Приложение Б.  Фокус 2.)

Фокус 3. Вывертывание жилета на изнанку, не снимая с человека.

Владельцу жилета необходимо сцепить пальцы рук за спиной. Окружающие должны вывернуть жилет наизнанку, не разнимая рук владельца. Для демонстрации этого опыта необходимо расстегнуть жилет и стянуть его по рукам за спину владельца. Жилет будет висеть в воздухе, но, конечно, не снимется, потому что руки сцеплены. Теперь нужно взять левую полу жилета и, стараясь не измять жилет, просунуть ее как можно дальше в правую пройму. Затем взять правую пройму и просунуть ее в ту же пройму и в том же направлении. Осталось расправить жилет и натянуть его на владельца. Жилет окажется вывернутым на изнанку.

(Приложение Б. Фокус 3.)

Заключение

     Математика замечательный предмет для удивления. В ходе математического исследования  мы узнали много нового и интересного, необычного. Чтобы проверить свою гипотезу, мы читала книги, работали с различными источниками информации в сети Интернет, проводили эксперименты, демонстрировали своим одноклассникам и родным фокусы. Изучение математики за страницами учебника расширило наши знания в области экспериментальной математики. Это исследование  помогло нам  приобрести навык самостоятельной работы  и сформировало компетентность в данном разделе математики.

      Поставленной цели мы достигли, так как  теперь знаем, что Мёбиус – это великий немецкий учёный, который внёс огромный вклад в развитие науки.  По ходу исследования мы узнали, что наука топология – это раздел математики, изучающий явление непрерывности и познакомились со свойствами листа Мёбиуса, узнали о применении его в технике, искусстве, литературе.  Разрезая лист на части  можно проводить различные увлекательные эксперименты.

Список литературы

1. Стройк Д.Я. (перевод с немецкого и дополнения Погребысского И.Б.)

           Краткий очерк истории.

2. Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Мёбиус, Август Фердинанд
3. Август Мёбиус  http://www.calend.ru/person/2637/|
4. Статья:  Что такое лист Мёбиуса?  http://www.genon.ru
5. .Лэнгдон Н., Снейп Ч. «С математикой в путь» Издательство «Педагогика»,

1987г., с. 42-43

6. Леонова О.А. Введение в топологию «Лист Мёбиуса».

          Статья: Трогаем бесконечность. Мебиус, Клейн и другие топологические    парадоксы        http://www.log-in.ru/articles/1360/

7. Видеоролик «Разрезание бутылки Клейна» (The Klein Bottle), http://video.yandex.ru/seapch.xml? Text
8. Статья: Элементы топологии на примере листа Мёбиуса        http://sola.narod.ru/top.htm
9. Кордемский Б.А, Топологические опыты своими руками. Квант. 1974

    Статья: Преобразования Мебиуса http://www.smartvideos.ru/mebius-transfor

10.  Искусство и технология     http://dik.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/

11.Лист Мёбиуса:      http://www.vevivi.ru/best/List-Mebiusa-ref172005.html

      12. Ж. Л. Лошер, В. Ф. Вельдхуизен. Магия М. К. Эшера.