Внеклассное занятие "Лист Мёбиуса. Секреты топологии"
методическая разработка по теме

Внеклассное занятие: «Лист Мёбиуса. Секреты топологии»

Цели:

Реализация принципа умственного развития учащихся.

Развитие познавательной и творческой деятельности учащихся; привитие навыков самостоятельного поиска новых закономерностей, пробуждение их любознательности; Развитие культуры коллективного умственного труда.

Формирование и развитие интереса учащихся к занятиям математикой, расширение кругозора учащихся.

 Дидактическое оснащение: компьютер, таблицы, карточки, лист эксперимента,

 набор бумажных лент, клей, ножницы, лист гипотез,  портрет Мёбиуса, высказывание ученых математиков, репродукции картин М. Эшера, жилет, платок или галстук, компьютерные презентации.

                                 Ход занятия.

Учитель: Сегодня тема нашего сегодняшнего занятия « Лист Мёбиуса».Скажите, что бы вы хотели узнать на этом занятии.(студенты высказывают пожелания , преподаватель выписывает их на доску; предположительно : кто такой Мёбиус; что это за лента Мёбиуса; история создания этой ленты, её свойства, применение ленты Мёбиуса в науке и культуре).

Учитель: Итак пожелания высказаны. Попрошу моих помощников немного рассказать об учёном Августе Фердинанде Мебиусе.(рассказ ведущих сопровождается компьютерной презентацией)

1 вед. 17 ноября 1790 года 215 лет назад в Германии родился мальчик – здоровый и крепкий малыш. Как и все дети, он сначала научился ползать, потом ходить, позже говорить. Все шло и развивалось своим чередом. Школа, университет.

2 вед.  Мальчику повезло: астрономию ему преподавал сам Гаусс, математику – Пфафф. Как-то незаметно для окружающих в 26 лет он стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили. Он любил ошарашивать их неожиданными задачками и назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Возможно, имя этого человека за 215 лет растворилось в истории, если бы ни одно ненастное утро…

1 вед. На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса.

2 вед.  На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

1 вед. Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: “Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!”

2 вед.  Эта история произошла либо в 1863, либо в 1865 году. Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома. Лента вдохновила на подвиги не одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса. Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени.

1 вед. Чудесные ее свойства тут же породили множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также многочисленных фантастических рассказов о которых мы поговорим позже.

2 вед.  Игрушка эта очень полюбилась не только математикам. Не зря ведь, наверное, сейчас у входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит памятник ленте Мебиуса – на пьедестале медленно вращается стальная лента, закрученная на полвитка.

1 вед. Лента Мебиуса положила начало новой науке – топологии. Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета, который почти в тоже время, что и его лейпцигский коллега, предложил в качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам, единожды перекрученную, ленту. Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его интересует?

 2 вед.  Самые общие свойства фигур, которые не меняются ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы – “взрыва” фигуры. Поэтому иногда топологию называют “геометрией непрерывности”. Она известна и под именем “резиновая геометрия”, потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии, например, стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично.

Учитель: Спасибо мои помощники, но а мы с вами, что бы понять, лучше представить что же это такое давайте с вами сделаем ленты Мёбиуса

Далее учитель с помощником показывают, как склеить ЛМ. Надо взять прямоугольник :        

и склеить его концы, предварительно повернув один из них на , так, что точки  и  совместятся с точками  и  соответственно. Студенты склеивают 1 кольцо и три листа Мёбиуса.

Учитель: Какие же необычные свойства фигур изучает топология? До сих пор речь шла всего об одном свойстве – односторонности. Если двигаться по поверхности ленты Мебиуса в одном направлении, не пересекая ее границ, то, в отличие от двусторонних поверхностей (например, сферы и цилиндры), попадаешь в место, перевернутое по отношению к исходному. Если двигать по этой ленте окружность, одновременно обходя ее по часовой стрелке, то в начальном положении направление обхода станет против часовой стрелки. О других свойствах расскажут и пояснят их с помощью компьютерной презентации мои помощники.

3 вед.  Непрерывность – это ещё одно топологическое свойство. Если вы сравните схему самолётных маршрутов и географическую карту, то убедитесь, что масштаб аэрофлотом далеко не выдержан – скажем, Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И всё-таки что-то общее между географической картой есть. Москва действительно связана со Свердловском, а Свердловск – с Владивостоком. И, поэтому, тополог может как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом муравью на гравюре Эшера ни разу не придётся переползать через край “ленты”. Разрывов нет – непрерывность полная.

4 вед.  Но куда интереснее другое свойство – связность. Если квадрат полоснуть бритвой от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы разделить кольцо на две части, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. Телефонный диск можно десять раз рассечь ножом от одной замкнутой кривой до другой, а он останется единым целым. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат и ромашка – односвязны, кольцо и оправа от очков – двусвязны, а всяческие решётки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры – многосвязны. Ну, а наш лист Мёбиуса? Конечно двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту. Если перекрутить ленту на два оборота, то лист становится односвязным. Три оборота – связность снова равна двум. А четыре? Да, вы уже догадались, как дальше станут развиваться события.

3 вед.  Ориентированность. Конечно, можно было подробно рассказать, что это такое. Но лучше дать определение “от противного”. Это то, чего нет у листа Мёбиуса! Вообразите, что в нём заключён целый плоский мир, где есть только два измерения, а его обитатели – несимметричные рожицы, не имеющие, как и сам лист никакой толщины. Если эти несчастные создания пропутешествуют по всем изгибам листа Мёбиуса и вернутся в родные пенаты, то в изумлении обнаружат, что превратились в своё собственное зеркальное отображение. Конечно, всё это случится только, если они живут в листе, а не на нём.

4 вед.  И, наконец, то, что носит название “хроматический номер”. Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Так вот, на листе бумаги, даже если его склеить в кольцо, ещё никому не удалось расположить пять цветных пятен любой формы, которые имели бы всеобщую границу. И на сфере, и на цилиндре их может быть не более четырёх. Это и значит что хроматический номер этих поверхностей – четыре. А на бублике число соответствующих цветов равняется семи. Каков же хроматический номер листа Мёбиуса? Он, как ни поразительно, равен шести.

Учитель: Спасибо, теперь посмотрим как вы усвоили свойства листа Мёбиуса. Возьмите в руки лист гипотез и самостоятельно, используя модель ленты Мёбиуса, заполните его.

Фамилия, Имя  _________________________________________________________

Лист гипотез.

1. Что будет если разрезать кольцо вдоль пополам?

2  Что получится, если разрезать ЛМ вдоль, отступив треть от края?

1. На разных сторонах Листа Мебиуса сидят паук и муха. Сможет ли паук подкрасться к мухе, не переходя через край ленты?

2. Если начать закрашивать Лист Мебиуса с одной стороны, не переходя через край, то какая часть Листа Мебиуса окажется в результате закрашенной?

3. Что получиться, если перекрутить ленту дважды, а потом разрезать вдоль посередине?

Учитель: Отложите листы гипотез в сторону. Возьмите в руки листы эксперимента и выполняя поэтапно каждое задание заполните его.

Фамилия, Имя  _________________________________________________________

Лист эксперимента.

1 Что будет если разрезать кольцо вдоль пополам?

2. Что получится, если разрезать ЛМ вдоль посередине?

1. Что получится, если разрезать ЛМ вдоль, отступив треть от края?

2. На разных сторонах Листа Мебиуса сидят паук и муха. Сможет ли паук подкрасться к мухе, не переходя через край ленты?

3. Если начать закрашивать Лист Мебиуса с одной стороны, не переходя через край, то какая часть Листа Мебиуса окажется в результате закрашенной.

4. Что получиться, если перекрутить ленту дважды, а потом разрезать вдоль посередине?

5. Предложите свой эксперимент с Листом Мебиуса.

Вовремя того как студенты проверяют выдвинутые гипотезы, учитель помогает в проведении эксперимента затрудняющимся, попутно выясняя что же получилось в результате каждого эксперимента.

  После заполнения листов эксперимента, учитель просит  сверить результаты с листа гипотез с результатами с листа эксперимента и за каждый совпавший ответ поставить 2 балла, за неверный 1 балл, за отсутствие ответа 0 баллов, за выдвинутую идею эксперимента 4 балла.

Обобщение результатов эксперимента.

А сейчас мы с вами  рассмотрим где находит применение свойства листа Мёбиуса.

Вот  одна довольно известная головоломка топологического характера: как завязать на платке узел, не выпуская из рук его концов. Это можно сделать так. Скрутите платок жгутом и положите его на стол. Скрестите руки на груди. Продолжая держать их в этом положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу платка каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине платка сам собой получится узел. Пользуясь топологической терминологией, можно сказать, что руки зрителя, его корпус и носовой платок образуют замкнутую кривую в виде «трехлистного» узла. При разведении рук узел только перемещается с рук на платок.

Занимательный вариант этой головоломки можно демонстрировать с помощью шнура, шарфа или галстука. Уложите, например, галстук на столе так, как это изображено на рисунке. Возьмите конец В правой рукой и попросите зрителя внимательно следить за тем, как вы завязываете узел. Пропустите теперь левую руку под конец В ладонью вниз, а затем выверните ее назад, как это показано на, и подберите конец А. После того как вы разведете руки, на галстуке получится узел. Как ни странно, но такие движения довольно трудно воспроизвести. Вы можете снова и снова показывать фокус присутствующим, но когда они попытаются проделать его сами, узлы завязываться не будут.

Вывертывание жилета на изнанку, не снимая с человека.

Владельцу жилета необходимо сцепить пальцы рук за спиной. Окружающие должны вывернуть жилет наизнанку, не разнимая рук владельца. Для демонстрации этого опыта необходимо расстегнуть жилет и стянуть его по рукам за спину владельца. Жилет будет болтаться в воздухе, но, конечно, не снимется, потому что руки сцеплены. Теперь нужно взять левую полу жилета и, стараясь не измять жилет, просунуть ее как можно дальше в правую пройму. Затем взять правую пройму и просунуть ее в ту же пройму и в том же направлении. Осталось расправить жилет и натянуть его на владельца. Жилет окажется вывернутым на изнанку.

Тот же самый эксперимент можно провести и, не расстегивая жилета. Единственное неудобство будет заключаться в том, что жилет слишком узок для снятия через голову. Поэтому жилет можно заменить свитером. Манипуляции со свитером в точности повторяются. Этот эксперимент можно демонстрировать и на себе, для чего нужно соединить шнуром кисти рук, оставляя между ними сантиметров 50, чтобы обеспечить свободу движений, и руки сцепить впереди.

Можно вывернуть жилет наизнанку со связанными руками, даже не снимая предварительно пиджака. Для этого нужно поднять пиджак кверху, пронести его над головой и оставить повисшим на руках. Затем поднять над головой жилет, через одно из его рукавных отверстий пропустить пиджак и вывернуть жилет наизнанку так, как это описывалось выше.

А теперь обратимся к презентации и посмотрим примеры примененения листа Мёбиса в науке, технике, культуре, искусстве.

Наше занятие подходит к концу и я хочу обратится к записям-ожиданиям от занятия. Поставим «+» там, где наши цели выполнены. Видими, что все цели занятия достигнуты. Спасибо. Для тех кому интересно больше узнать об объектах топологии могут обратится к следующей литературе(слайд).