План-конспекты учебных занятий по учебной дисциплине ОУДу.04 Математика
план-конспект урока по математике (11 класс)

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

Государственное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение города Москвы

«ЮРИДИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

(ГБПОУ Юридический колледж)

ПЛАН-КОНСПЕКТ учебного занятия

по учебной дисциплине ОУДу.03 Математика

для обучающихся гр.107,108 курс 1

специальность 40.02.01 Право и организация социального обеспечения

   40.02.02 Правоохранительная деятельность

(набор 2015 г.)

дата проведения 4 июня 2016 г.

форма проведения дистанционно

преподаватель Н.В.Васильева

Тема: Корни, степени, логарифмы

Цель занятия: расширение представления обучающихся о степенных зависимостях, формирование понятий: степень, корень, логарифм, применение полученных знаний для решения задач.

 Задачи занятия:

Обучающая: научить применять полученные знания для решения степенных и логарифмических уравнений и неравенств.

Воспитательная: воспитывать ответственность за выполняемую работу, выполнять её точно, аккуратно и вовремя.

Развивающая: развивать умение самостоятельной работы с учебной литературой, с электронными носителями.

Информационно-справочное оснащение

Основная литература:

1.Алгебра и начала математического анализа. Учебник 10-11 классы. Под редакцией

               А.Н.Колмогорова,  Просвещение, 2010 г.

Дополнительная литература:

1. Математика. Учебник. 11 класс А.Г. Мордкович, И.М.Смирнова,

Мнемозина, 2009 г.

          2. Математика. Учебник для начального  и среднего проф. Образования,

              М.И.Башмаков, Академия,2010  г.

          3. Математика. Наглядный справочник с примерами. Л.Э.Генденштейн, А.П.Ершова,

              А.С.Ершова, ИЛЕКСА, 2015 г.

Интернет-ресурсы:

Междисциплинарные связи: естествознание.

Внутридисциплинарные связи: Раздел 1 «Алгебра».

Тема 1.4 «Корни, степени, логарифмы».  Занятие № 8-21.

1. АКТУАЛИЗАЦИЯ РАНЕЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА УЧЕБНОГО КУРСА

(ответить на вопросы (тестовые задания) и провести самооценку усвоенного материала)

Таблица 1

2. ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Вопрос 1. Корни, степени, логарифмы.

Определение: Корнем n – ной степени из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число а

а- подкоренное выражение, n – показатель степени.

Определение: Корнем нечетной степени n из отрицательного числа а называют такое отрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число а

а- подкоренное выражение, n – показатель степени.

Свойства корня:

1. .               2. .                   3.              4. (

5.                     6.                     7.

Чтобы выполнить сложение и вычитание корней, сначала корни приводят к простейшему виду, а затем выполняют приведение подобных членов.

Логарифмом  числа  b  по основанию  a  называется показатель степени,
в которую надо возвести  a,  чтобы получить число  b.

Основное логарифмическое тождество
Подставляя в равенство  ax = b  запись числа  x  в виде логарифма, получаем равенство, называемое основным логарифмическим тождеством:  

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ  «КОРНИ, СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ»

Вариант 1

1.   Решите уравнение: ;

2.   Решите уравнение: 2х = 128;    

3.  Решите уравнение: 5х + 1 – 5х – 1  =24;    

4.  Решите неравенство: 54х – 7 > 1;  

5.  Вычислите: ;  

6.  Вычислите:  ;

7.  Определите  х, если :  

8.  Решите неравенство:    log2(x -5) ≥ 1;  

9.  Решите уравнение: 2 2х – 5 ∙ 2 х + 4 = 0

Вариант 2

1.   Решите уравнение: ;    

2.   Решите уравнение: 3х = 81;    

3.  Решите уравнение: 7х + 2 + 2∙7х – 1  = 345;  

4.  Решите неравенство: 22х – 9 < 1;

5.  Вычислите: ;  

6.  Вычислите:  ;

7.  Определите  х, если :  

8.  Решите неравенство:    log5 (5 –2x) < 1;  

9.  Решите уравнение:     2 2х – 6 ∙ 2 х + 8 = 0;    

Контрольные задания по Вопросу 1.

Таблица 2

3. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

(ответить на вопросы и провести самооценку усвоенного материала)

Таблица 3

4.ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ НА СЛЕДУЮЩЕЕ ЗАНЯТИЕ

Задание 1. Решить задачи разного уровня сложности.

1 уровень сложности:  №3(1,2), стр.30, №3(1), стр.34, Математика. Учебник для начального  и среднего проф. Образования, М.И.Башмаков, Академия,2010  г., оценка «3».  

2 уровень сложности:  № 3(3), стр.30, №1 (2), стр.37, Математика. Учебник для начального  и среднего проф. Образования, М.И.Башмаков, Академия,2010  г., оценка «4».

3 уровень сложности: №5(1), стр.34, №2(3), стр.37, Математика. Учебник для начального  и среднего проф. Образования,

М.И.Башмаков, Академия,2010  г. Оценка «5».

Задание 2. В рабочих тетрадях представить ответы на контрольные задания в таблицах 1,2,3.

Преподаватель                                                                              Н.В. Васильева

СОГЛАСОВАНО

Протокол заседания

Цикловой комиссии дисциплин

циклов ОО, ОГСЭ и МиОЕН

ГБПОУ Юридический коллеж

от 04 мая  2016 г. № _18_

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

Государственное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение города Москвы

«ЮРИДИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

(ГБПОУ Юридический колледж)

ПЛАН-КОНСПЕКТ учебного занятия

по учебной дисциплине ОУДу.03 Математика

для обучающихся гр.107 курс 1

специальность 40.02.01 Право и организация социального обеспечения

(набор 2015 г.)

дата проведения 4 июня 2016 г.

форма проведения дистанционно

преподаватель Н.В.Васильева

Тема: Функции и их свойства

Цель занятия: расширение представления обучающихся о числовой функции, способах задания, области определения, множестве значений, основных свойствах функции: монотонность, ограниченность, периодичность, четность – нечетность, формирование понятий: об обратной функции, приращении аргумента и приращении функции, применение полученных знаний для решения задач.

 Задачи занятия:

Обучающая: научить применять полученные знания для решения простейших задач, строить графики элементарных функций, находить область определения и множество значений несложных функций, находить приращение функции в указанной точке и в общем виде, проводить простейшие преобразования графиков функций, применять теорию пределов к решению задач.

Воспитательная: воспитывать ответственность за выполняемую работу, выполнять её точно, аккуратно и вовремя.

Развивающая: развивать умение самостоятельной работы с учебной литературой, с электронными носителями.

Информационно-справочное оснащение

Основная литература:

1.Алгебра и начала математического анализа. Учебник 10-11 классы. Под редакцией

               А.Н.Колмогорова,  Просвещение, 2010 г.

Дополнительная литература:

1. Математика. Учебник. 11 класс А.Г. Мордкович, И.М.Смирнова,

Мнемозина, 2009 г.

          2. Математика. Учебник для начального  и среднего проф. Образования,

              М.И.Башмаков, Академия,2010  г.

          3. Математика. Наглядный справочник с примерами. Л.Э.Генденштейн, А.П.Ершова,

              А.С.Ершова, ИЛЕКСА, 2015 г.

Интернет-ресурсы:

Междисциплинарные связи: естествознание.

Внутридисциплинарные связи: Раздел 1 «Алгебра».

Тема 1.4 «Функции их свойства и графики».  Занятие № 35-42.

1. АКТУАЛИЗАЦИЯ РАНЕЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА УЧЕБНОГО КУРСА

(ответить на вопросы (тестовые задания) и провести самооценку усвоенного материала)

Таблица 1

2. ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Вопрос 1. Функции и их свойства.  

Понятие функции является центральным понятием математики и не только математического анализа. Вспомним  определение функции.

Если каждому элементу x множества D ставится в соответствие единственный элемент y множества E,  то говорят, что на множестве D задана функция .

 х – аргумент – независимая переменная; y – зависимая; она находится по закону: f. 

Множество D называется областью определения функции, множество E называется множеством  значений функции.

Множество значений аргумента – Ваши личности, множество значений функции – Ваши фамилии. Вот так мы продемонстрировали понятие функции: каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, человек не может иметь две фамилии.

Но математика рассматривает числовые функции, т.е. множества D и Е – числовые множества, которые Вы изучали в теме 1. При этом можно дать и такое определение числовой функции: числовая функция – это множество пар (х, у), среди которых нет пар с одинаковым первым элементом. Вдумайтесь.

Как определяется, задается функция? Прежде всего, формулой, по которой по заданному х находится у. Например: f(x) = x2 +x +3. Подставим х = 2,  получим у = 9

Функция может задаваться не одним аналитическим выражением, а несколькими, например:

Очень часто зависимость одной переменной величины от другой невозможно выразить аналитически, но такая зависимость существует о определяется она в виде таблицы.

               В таком случае говорят о таблично заданной функции, общепринятая аббревиатура: ТЗФ Обратите внимание, что среди заданных пар чисел (х;у) нет пар с одинаковым первым элементом, в таком случае ТЗФ не являлись бы функцией.

        Еще одно определение числовой функции: числовая функция – множество пар (х;у), среди которых нет пар с одинаковым первым элементом.

И, наконец, когда не удается найти аналитического выражения для , найти множество пар (х;у), то функцию можно задать графически, т.е. ее графиком. Вспомните свою кардиограмму, перо самописцев в самых различных приборах.

        Рассмотрим понятия, выражающие т.н. общие свойства функций.

Монотонность. Если для х1, х2 , принадлежащих интервалу (a;b) и удовлетворяющих условию  х1, < х2 следует  f(х1) < f(х2), то, говорят, что  на (a;b) эта функция возрастает. Или, как говорили в школе, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция возрастает. Самостоятельно сформулируйте определение убывающей функции. Если функция только возрастает или только убывает в области определения, то о такой функции говорят, что она монотонна. Так линейная функция, степенная с нечетным показателем являются монотонными, а популярная у = х2 монотонной не является, т.к. при x < 0 она убывает, а при x > 0 она возрастает.

Ограниченность. Пусть на D задана функция . Если существуют такие числа m и M, что для всех х  D, что m ≤ ≤ M, то говорят, что функция ограничена в области определения. Различают и такие понятия, как ограниченность снизу и ограниченность сверху. Так,  у = х3 – неограниченная функция, у = х2 – ограничена снизу, т.к. она неотрицательна в области определения. у = Sinx и y = Cosx – ограниченные функции, т.к. они принимают значения только из отрезка [-1; 1] – это их множество значений

Четность и нечётность. Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно х = 0 и ;

Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно х = 0 и .

График чётной функции симметричен относительно оси ординат, а нечётной – относительно начала координат.

Яркие «представители» четных функций: у = х2, y = Cos x, , нечетных  у = х3,

у = Sinx,  ,  . Для многих функций нет смысла говорить об их четности – нечетности. Так функция   не относится ни к четным, ни к нечетным, потому как ее область определения несимметрична относительно нуля. Такие функции называют функциями общего вида.

Какова методика определения четности – нечетности функции? Рассмотрим примеры.

Подставим в функцию вместо х  -х, будем иметь:

   Получили определение нечетной функции, вывод: функция нечетная.

 Подставим в функцию вместо х  -х, будем иметь:

   Получили определение четной функции, вывод: функция четная.

Периодичность. Функция  называется периодической, если существует такое число Т, что для всех х из области определения выполняется равенство:

Очевидно, что если существует такое число Т, называемое периодом, то число nT, где n – целое число, также является периодом этой функции. Важнейшие представители периодических функций – тригонометрические функции, которые Вы будете изучать подробно в теме 4. В качестве дополнительного домашнего задания  попробуйте построить график функции: дробная часть числа х: это разность между аргументом х и ближайшим к нему целым числом, стоящем на числовой прямой слева от него.

        Рассмотрим практические задачи на отыскание области определения некоторых функций. Заметим, что многочлен определен на всем множестве действительных чисел:       D = R. Так для функции у = х2 + 6х – 7   D = R. Дробно – рациональная функция определена для всех х, при которых ее знаменатель отличен от нуля. Например:

 областью определения будет все множество действительных чисел, отличных от  -1 и 1. На языке интервалов D = (-∞; -1)(-1; 1)(1; ∞)

Рассмотрим другие примеры. Найти область определения функций.

   Очевидно, что функция существует только для тех значений х, которые удовлетворяют неравенству:  > 0    

    Ответ: D = (-4; 3). Воспользовались методом интервалов, изученным в прошлой теме.

  Очевидно, что функция существует только для тех значений х, которые удовлетворяют системе неравенств

        x + 5 ≥ 0

        x – 1 ≠ 0      Откуда х  ≥ -5 и  x ≠ 1 Объединяя эти

неравенства, имеем ответ: D = [-5; 1) (1; ∞).

Самостоятельно выполните упражнения из сборника: с.24 № 1.8 – 1.13  

Понятие об обратной функции. Очень важное и глубокое понятие. Будьте внимательны.

Пусть дана функция у = х3 Вспомним, что она монотонная: каждому значению аргумента соответствует единственное значение аргумента и наоборот: каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента (только для монотонных функций!). Будем далее считать  независимой переменной у, а х – его функцией, выразим х через у.  

 и заменим, как то принято обозначать аргумент и функцию, х на у и у на х, получим

. Вот эти две функции у = х3 ,   и называются взаимно обратными.

Построим графики этих функций и убедимся, что они симметричны относительно биссектрисы 1-3 координатных углов. Запомните это свойство графиков всех взаимно обратных функций. В дальнейшем Вы будете строить обратные функции по мере их изучения.

Но как быть, если функция, для которой надо построить обратную не является монотонной?  Например, необходимо построить обратную для у = х2, которая немонотонна. Для этого необходимо так задать область определения исходной функции, на которой она стала бы монотонной. Если для функции  у = х2 положить D = [0; ∞), то на этом луче она монотонно возрастает, а значит имеет обратную. Очевидно, это  Построим их графики и убедимся, что они симметричны относительно биссектрисы 1-3 координатных углов.

Поработайте самостоятельно.

Постройте обратную функцию для монотонной линейной функции у = 3х, постройте их графики.

Определив функцию  на

D = [0; ∞), постройте для нее обратную функцию.

И заключительный вопрос настоящего урока: приращение аргумента и приращение функции.

Пусть задана функция  . При х = х0  она принимает значение .

х0  - на оси ОХ в точке А, у0 – на оси ОУ в точке N. Дадим х приращение Δх = АВ, получим новое приращенное значение аргумента (в точке В) х = х0 + Δх

Вычислим приращенное значение  функции  на оси ОУ – точка М, т.е. длина отрезка ВЕ.

Естественно, что отрезок DE и будет являться приращением функции в точке х0, если приращение аргумента равно Δх.

Т.е. Δf(x0) = -

Итак, приращение функции есть разность между приращенным значением функции и первоначальным (отрезок DE).

Обратите внимание, что для возрастающей функции DE > 0, а для убывающей функции АС будет больше DE, поэтому разность DE – АС < 0 и Δf(x0) < 0.

Сделайте самостоятельно схематический чертеж убывающей функции и укажите Δf(x0).

Вычислим приращение функции  f(x) = х2 + 2х +5  при x0 = 2 и Δx = 0,1    x0 + Δx = 2,1

По формуле  Δf(x0) = -  = (будем иметь) = -  =

2,12 + 2*2,1 + 5 – (22 + 2*2 +5 ) = (применяем микрокалькулятор) = 0,61

Поставим задачу отыскать приращение функции не в конкретной точке  x0, а в произвольной х, т.е. выведем формулу приращения в общем виде: 

Δf(x) = -  = (х + Δx)2 +2(х + Δx) + 5 - х2 - 2х -5 =  х2 + 2х Δx + (Δx)2 +2х Δx +5 - х2 - 2х -5 =  2х Δx + (Δx)2 +2 Δx = 2х Δx + 2 Δx + (Δx)2 = 2(х + 1)Δx + (Δx)2 – это и есть приращение функции в общем виде:  Δf(x) =  2(х + 1)Δx + (Δx)2. Подставим х = 2,  Δx = 0,1 получим Δf(x) = 0,61 – все верно.

Контрольные задания по Вопросу 1.

Таблица 2

3. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

(ответить на вопросы и провести самооценку усвоенного материала)

Таблица 3

4.ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ НА СЛЕДУЮЩЕЕ ЗАНЯТИЕ

Задание 1. Решить задачи разного уровня сложности.

1 уровень сложности:  №73, стр.286, Алгебра и начала математического анализа. Учебник 10-11 классы. Под редакцией А.Н.Колмогорова,  Просвещение, 2010 г., оценка «3».  

2 уровень сложности:  № 74, стр.286, №77 (а), стр.287, Алгебра и начала математического анализа. Учебник 10-11 классы. Под редакцией А.Н.Колмогорова,  Просвещение, 2010 г. стр.190, оценка «4».

3 уровень сложности: №51(б), Алгебра и начала математического анализа. Учебник 10-11 классы. Под редакцией А.Н.Колмогорова,  Просвещение, 2010 г. Оценка «5».

Задание 2. В рабочих тетрадях представить ответы на контрольные задания в таблицах 1,2,3.

Преподаватель                                                                              Н.В. Васильева

СОГЛАСОВАНО

Протокол заседания

Цикловой комиссии дисциплин

циклов ОО, ОГСЭ и МиОЕН

ГБПОУ Юридический коллеж

от 04 мая  2016 г. № _18_

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ГОРОДА МОСКВЫ

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение города Москвы

«ЮРИДИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

(ГБПОУ Юридический колледж)

ПЛАН-КОНСПЕКТ учебного занятия

по ОУДу.04 Математика

учебной дисциплине/междисциплинарному курсу

для обучающихся группа 108 курс 1

специальность 40.02.02 Правоохранительная деятельность

(набор 2019 г.)

(базовая подготовка)

дата проведения занятия по расписанию

                       пятница                                    26.06.2020                                                         1

                  день недели                                                         дата                                            номер пары

форма проведения дистанционно

преподаватель Н.В.Васильева

                                                                         фио преподавателя

Занятие 65. Уравнения. Неравенства.

(Повторение).

Цель занятия: повторение теоретического материала по теме: уравнения и неравенства.

Задачи занятия:

Обучающая: Основные приемы и методы решения задач по теме: уравнения и неравенства.

Воспитательная: воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов, формирование умения рационально, аккуратно оформить задание в тетради;

Развивающая: развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, развивать логическое мышление, исследовательские навыки, функционального мышления, математической речи.

 Базовый учебник: 

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений / Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю. В. Сидоров и др. М., Просвещение, 2019.

Дополнительная литература:

1. Башмаков М.И. Математика. М., «Академия», 2014

2.  Богомолов Н.В. Сборник задач (учебное пособие) – М.: Дрофа, 2015.

Интернет-ресурсы:

Междисциплинарные связи: алгебра и начала анализа, физика, естествознание

Внутридисциплинарные связи: геометрия.

УРАВНЕНИЯ  И НЕРАВЕНСТВА

 – линейное уравнение I степени с одной переменной

 – уравнение II степени с одной переменной

Решить уравнение – значит найти множество его корней или доказать, что их нет. это множество называют решением уравнения.

Два уравнения называются равносильными если решение (корень) одного уравнения является решением (корнем) другого уравнения и наоборот.

Уравнения  равносильны, так как оба имеют единственный корень .

Уравнения  и  – неравносильны, так как  является корнем первого уравнения, но не удовлетворяет второму уравнению.

Уравнения  и  неравносильны, так как корень первого уравнения , а второе уравнение кроме этого корня имеет еще корень , который не является корнем первого уравнения.

Решим уравнения:

раскроем скобки, применяя формулы сокращенного умножения  и

приведем подобные члены, получим

                Ответ:  – корень уравнения.

 разложим  на множители

перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем дроби к общему знаменателю

дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, т. е.

Решаем уравнение

 (корни можно найти по теореме Виета)

Так как  – посторонний корень и решением уравнения будет . Ответ: .

уравнение не имеет действительных корней. Найдем мнимые корни.

 (мы знаем, что  – мнимая единица)

 – неравенства I степени с одной переменной

 – неравенства II степени с одной переменной

Решить неравенство – значит найти множество значений переменной, при которых это неравенство является верным.

Два неравенства называются равносильными, если множество решений этих неравенств совпадают.

Решим неравенства

а)

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю. общий знаменатель 10; так как знаменатель не содержит переменной, то есть сразу видно что он не равен нулю, то в дальнейшем его можно не писать (опустить).

б)

, то есть

3

–3

Используя свойства числовых неравенств, имеем

, знак неравенства меняется на противоположный

1

4

Ответ:

Или можно записать в виде системы неравенств

1

4

Ответ:

в)

–5

5

Решаем две системы

Ответ: .

г)  

умножим на (–1)

квадратное неравенство

Найдем корни уравнения

Графиком функции  является парабола, ветви которой направлены вверх, а точки пересечения параболы и оси OX

Изобразим геометрически:

–

+

1

+

–

+

1

+

или

или

получаем три интервала, в которых определяем знак трехчлена. Так как мы решаем неравенство , то решением неравенства будет промежуток (интервал)

–

+

+

1

действительных корней нет, так как ветви параболы направлены вверх, то парабола не пересекает ось и расположена выше её, где всегда > 0,

+

а мы решаем неравенство , значит данное неравенство не имеет решения.

уравнение не имеет действительных корней, т.е. парабола не пересекает ось, ветви параболы направлены вверх,

+

а так как мы решаем неравенство , то оно имеет множество решений, т.е. .

ж)  – дробно–рациональное неравенство, которое может быть решено или через системы неравенств или методом интервалов. Перенесем правую часть в левую, приведем подобные члены

Решим через системы неравенств. Дробь < 0, если числитель и знаменатель имеют разные знаки, т.е.

(Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю).

При решении системы неравенств надо решить каждое неравенство и выбрать общие промежутки.

Решаем

система не имеет решения. Следовательно, решением данного неравенства является .

Метод интервалов позволяет ускорить процесс решения неравенства  корни  и .

+

+

–

Метод интервалов позволяет решать не только неравенства II степени, дробно–рациональные но и более высоких степеней.

 находим корни многочлена

 всегда, т.е. действительных корней нет.

Отметим корни на числовой прямой, учитываем, что числитель может быть равен нулю.

только определяем знак выражения в каждом промежутке

+

+

–

–

0

3,5

2

–

и тогда решением неравенства является .

Можно несколько ускорить процесс определения знака в промежутках.

–

+

–

+

0

2

3,5

–

В промежутке больше большего корня всегда выражение больше нуля, а затем, если корень повторяется нечетное число раз (кратность его нечетная), то знаки в промежутках справа и слева от корня изменяются, а если кратность корня четная, то знак справа и слева от корня не изменяется.

+

–

–

+

–

+

–3

0

1

2

, так как , то  можно записать

и тогда

Уравнения, приводимые к квадратным

1. Биквадратные уравнения
2. Двучленные уравнения
3. Иррациональные уравнения
4. Вычисления на МК

Биквадратное уравнение

 решается сведением к квадратному уравнению с помощью введения новой переменной. пусть , тогда имеем  и решается квадратное уравнение относительно y.

Например.

и тогда , решаем эти уравнения:

 получили четыре действительных корня. Ответ:

Решить самостоятельно:

Двучленные уравнения

 уравнение третьей степени и имеет 3 корня. Как их найти? Разложим левую часть уравнения на множители.

Применяем формулу:

 произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю, т.е.

 действительных корней нет, найдем мнимые

 т.е. уравнение имеет один действительный корень  и два мнимых

 разложим на множители  имеем:

         или  

                 действительных корней нет, введём мнимую единицу

         есть два мнимых корня

Ответ: .

 группируем члены

 выносим общий множитель из каждой скобки

Вынесем  за скобки

 и тогда

         или        

                                                Ответ: .

Самостоятельно:

Иррациональные уравнения

Уравнения, содержащие переменную под знаком корня, называются иррациональными. При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать:

1. При извлечении корня четной степени берется только арифметическое его значение
2. При возведении выражения, содержащего переменную, в степень может быть нарушена равносильность выражений

Рассмотрим на примерах:

перенесем x в правую часть

возведем обе части уравнения в квадрат. Так как , то получаем

так как при решении уравнения мы возводили в квадрат, то корень  требует проверки. Итак  подставляем в данное уравнение

уравнение содержит два корня, перенесем один из корней в правую часть

возведем обе части уравнения в квадрат

остался один корень. Перенесем его в левую часть, остальные члены – в правую

сократим обе части на 2

и опять возведем в квадрат обе части уравнения:

Проверка

Ответ: x = 13; x = 6.

Можно было

22

–3

указать сразу ОДЗ и получив корни,

сравнить с ОДЗ

полученные корни x = 13 и x = 6 удовлетворяют ОДЗ  и следовательно

Ответ: x = 13; x = 6

3)

Из того, что  делаем вывод, что  и  являются корнями уравнения. Однако проверка показывает, что  в данном случае является посторонним корнем

                Ответ: 5.

Решим уравнения:

Отсюда  и

Проверим корни:

Ответ: 0; 1; 2.

 или                 ОДЗ:

Проверяя полученные корни, видим, что  удовлетворяют ОДЗ, а вот  – посторонний корень. Ответ: .

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Определитель второго порядка, его свойства. Правило Крамера при решении систем уравнений.

Вычисления с помощью МК

1. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными
2. Определитель второго порядка, его вычисление
3. Правило Крамера при решении систем уравнений
4. Свойства определителя второго порядка
5. Вычисления при помощи МК.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

в общем виде имеет вид

Решением системы уравнений называется упорядоченная пара чисел, удовлетворяющая каждому уравнению этой системы. При решении такой системы могут быть использованы известные методы: 1) подстановки; 2) алгебраического сложения; 3) графически.

Но существует ещё метод решения, который особенно удобен в том случае, когда коэффициенты  отличны от единицы или содержат буквенные выражения.

Имеем систему уравнений

        Число  называется определителем второго порядка. Вертикальные прямые – знак определителя. Обозначается определитель знаком  (дельта).

Итак определитель – это число, которое вычисляется по определенному правилу

– первый столбик (коэффициенты при переменной x)

– второй столбик (коэффициенты при переменной y)

 – первая строчка (коэффициенты при переменных первого уравнения)

– вторая строчка (коэффициенты при переменных второго уравнения)

Определители при переменных  и  получаются из определителя системы путем замены соответствующего столбика столбиком из свободных членов.

Для нахождения значений переменных x и y используются формулы , которые называются формулами Крамера.

Исследуем

1. Если  – система имеет единственное решение
2. Если , но  или  система не имеет решения
3. Если  и  и  – система имеет множество решений.

Например

         Ответ: (1; –1).

Основные свойства определителя

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот

2. При перестановке двух столбцов (строчек) определитель меняет свой знак на противоположный.
3. Определитель, имеющий два одинаковых или пропорциональных столбца (строчки) равен нулю.
4. Общий множитель столбца (строчки) определителя можно вынести за знак определителя.

Рассмотрим примеры:

Решить систему уравнений:

  система имеет единственное решение

Ответ: (1; –2).

Более рационально систему решить через определитель второго порядка

Система имеет единственное решение при условии, что  т.е.

При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными следует помнить, что решение можно выполнить любым из известных методов решения, просто следует выбрать каким методом более рационально для данной системы.

3)

Решим систему всеми способами, т.е. убедимся, что результат получается одинаковый и определимся, какой из методов более рационально применим для данной системы.

1) Способ подстановки.

Решаем второе уравнение относительно «y»: , приведем к общему знаменателю и так как , то

 Ответ: x = –3;        y = 5.

2) Способ алгебраического сложения

уравняем по модулю коэффициенты при x, для этого умножим первое уравнение на 10, а второе – на 3.

                 почленно сложим

подставим y = 5 в любое из уравнений системы, например в первое, и найдем x

получаем x = –3; y = 5, как и в первом случае.

3) графически (следует помнить, что результаты могут быть получены приближенно, что можно объяснить нашим зрением, умением проводить линии, выбором масштаба, неудобством записи числа и т.д.)

графиком каждого уравнения является прямая, а прямая определяется двумя точками.

4) C помощью определителя:

                 единственное решение

Ответ: (–3; 5).

Каким же способом более рационально можно было решить эту систему? Вы правы, конечно с помощью определителя.

Самостоятельно (любым способом)

Контрольные вопросы.

1. Что называется определителем II порядка?
2. Как вычисляется определитель II порядка?
3. Какими свойствами обладает определитель?
4. При каких значениях a система  имеет решение, для которого x = 4.

Вычислить при помощи МК.

 Преподаватель                                                                                         Н.В.Васильева