Материалы для проведения летней математической школы
олимпиадные задания по математике (5, 6 класс)

Классная комбинаторика

1.  В магазине «Все для чая» есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?
2. В магазине «Все для чая» есть еще 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить комплект из чашки, блюдца и ложки?
3. В стране Чудес есть три города А, В, С. Из города А в город В ведут 6 дорог, а из города В в город С – 4 дороги (см. рисунок). Сколькими способами можно добраться из А в С?
4. В стране Чудес построили еще один город – Д и несколько новых дорог (см. рисунок). Сколькими способами можно добраться из А в В?
5. В магазине «Все для чая» по-прежнему продаются 5 разных чашек, 3 разных блюдца и 4 чайные ложки (разные). Сколькими способами можно два предмета с разными названиями?
6. Назовем натуральное число «Симпатичным», если в его записи встречаются только нечетные цифры. Сколько существует 4-значных «симпатичных» чисел?
7. А сколько существует не «несимпатичных 4-значных натуральных чисел»?
8. Монету подбрасывают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно получить?
9. Незнайка решил попробовать себя в качестве предсказателя и спрогнозировать итог 13 футбольных матчей. Сколько существует вариантов прогнозов?
10. Алфавит племени Мумбо - Юмбо состоит из трех букв – А, В и С. Словом является любая последовательность, состоящая не более чем из 4 букв. Сколько существует слов в языке племени Мумбо – Юмбо?

Домашняя комбинаторика

1. Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосками одинаковой ширины, если имеется материя 6 различных цветов?
2. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей, чтобы получалась допустимая правилами игры позиция?
3. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?
4. Сколькими способами можно переставить буквы в имени «Павел» и «Татьяна»?
5. В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?
6. Бусы – это кольцо, на которое нанизаны бусины. Бусы можно поворачивать, но не переворачивать. Сколько различных бус можно сделать из 13 бусин?
7. Сколько существует шестизначных чисел, все цифры которого имеют одинаковую четность?
8. На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)

Тема Признаки делимости

При решении задач этого занятия вам пригодятся следующие признаки делимости:

Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда его сумма цифр делится на 3.
Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда его сумма цифр делится на 9.
Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра чётна.
Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0 или 5.
Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, образованное его двумя последними цифрами (в том же порядке), делится на 4.
Натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное его тремя последними цифрами (в том же порядке), делится на 8.

1. Вовочка написал в тетради число 65349*0712 в качестве примера числа, которое делится: а) на 9; б) на 3. (На месте звёздочки когда-то была написана цифра, а теперь там пятно от сладкого чая.) Помогите Вовочке восстановить пропущенную цифру. Укажите все возможные варианты!

2. Запишем подряд цифры от 1 до 9, получим число 123456789. Простое оно или составное? Изменится ли ответ в задаче, если каким-то образом поменять порядок цифр в этом числе?

3. Делится ли число 32561698 на 12? Решите эту задачу:

а) с помощью признака делимости на 4;

б) с помощью признака делимости на 3.

4. Даша и Таня по очереди выписывают на доску цифры шестизначного числа. Сначала Даша выписывает первую цифру, затем Таня — вторую, и так далее. Таня хочет, чтобы полученное в результате число делилось на три, а Даша хочет ей помешать. Кто из них может добиться желаемого результата независимо от ходов соперника?

5. В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, составленное из цифр — названий этих городов, делится на 3. Можно ли добраться из города 1 в город 9?

6. Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — семизначное число, состоящее из двоек и троек. Сейф откроется, если двоек в коде больше, чем троек, а сам код делится и на 3, и на 4. Какой код может открывать сейф?

7. Замените звездочки в записи числа 72*4* цифрами так, чтобы это число делилось на 45. Укажите все возможные варианты!

8. а) Докажите, что произведение двух последовательных чётных чисел всегда делится на 8.

    б) Может ли произведение четырех последовательных натуральных чисел оканчиваться на 116?

9. Докажите, что из любых семи различных цифр можно составить число, которое делится на четыре.

10. Может ли произведение числа и суммы его цифр равняться 4704?

11. Может ли натуральное число, записываемое с помощью 10 нулей, 10 единиц и 10 двоек, быть квадратом некоторого другого натурального числа?

12. Натуральное число В обладает следующим свойством: для любого числа A, которое делится на В, на В также делятся и все числа, полученные из А перестановкой цифр. Докажите, что В может быть равно только 1, 3 или 9.

Дополнительные задачи

1.

Приведите пример числа, которое: а) делится на 3 и делится на 4; б) делится на 11 и делится на 12.

2.

Может ли сумма трёх различных натуральных чисел делиться на каждое из слагаемых?

3.

Дети ходили в лес за орехами и теперь, возвращаясь домой, идут парами. В каждой паре идут мальчик и девочка, причём у мальчика орехов в 2 раза больше, чем у девочки. Может ли всего у детей быть 100 орехов?

4.

В магическом квадрате суммы цифр в каждой строке, в каждом столбце и на обеих диагоналях равны. Можно ли составить магический квадрат 3×3 из первых 9 простых чисел?

5.

Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — число, состоящее из семи цифр: двоек и троек. Сейф откроется, если двоек больше, чем троек, а код делится и на 3, и на 4. Придумайте код, открывающий сейф.

6.

Можно ли расставить числа а) от 1 до 7; б) от 1 до 9 по кругу так, чтобы любое из них делилось на разность своих соседей?

7.

На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стёрли одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2011. Какое число стёрли?

8.

Номер телефона у Джейн — 395322, а у Ирэн — 435903. Если разделить эти номера на трехзначный код города, где они живут, получатся одинаковые остатки, равные двузначному коду страны, где они живут. В какой стране живут девушки? Найдите хотя бы её код.

Тема  Принцип Дирихле.

Рассмотрим принцип Дирихле на примере:

Упражнение. Пусть есть 10 клеток, в которых надо разместить 11 зайцев. Докажите, что по крайней мере в одной клетке будет 2 зайца.

Решение. Разделим 11 на 10 с остатком: 11=10⋅1+1. В худшем случае посадим в каждую клетку по одному зайцу (частное). Таким образом рассадим 10 зайцев (делитель), один окажется лишним (остаток). Он и будет вторым в какой-то клетке.

Для запоминания удобна следующая формулировка принципа Дирихле: если в N клетках сидит не менее N + 1 зайцев, то в какой-то из клеток сидит не менее двух зайцев.

Задача 1.  В мешках лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вытянуть из мешка так, чтобы среди них заведомо оказалось два шарика одного цвета?

Задача 2.  На 12-ти книжных полках требуется разместить 315 книг. Докажите, что по крайней мере на одной книжной полке будет стоять не менее 27 книг.

Задача 3.  Шесть гроссмейстеров одержали победу в 20 шахматных партиях, каждый выиграл хотя бы одну встречу. Докажите, что хотя бы два из них одержали одинаковое число побед.

1.

В магазин привезли 25 ящиков яблок трех сортов. В каждом ящике лежат яблоки одного сорта. Продавец утверждает, что у него нет девяти ящиков с яблоками одного сорта. Не ошибся ли он?

2.

В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему а) 16 лет б) 17 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки?

3.

В школе учатся 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них отмечают день рождения в один и тот же день.

4.

Сможете ли вы разложить 44 шарика на 9 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным?

5.

Занятия математического кружка проходят в девяти аудиториях. Среди прочих, на эти занятия приходят 19 учеников из одной и той же школы.
а) Докажите, что как их не пересаживай, хотя бы в одной аудитории окажется не меньше трех таких школьников.
б) Верно ли, что в какой-нибудь аудитории обязательно окажется ровно три таких школьника?

6.

Докажите, что в любой компании из 5 человек есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании.

7.

Несколько футбольных команд проводят турнир в один круг. Докажите, что в любой момент турнира найдутся команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое количество матчей.

8.

Каждая грань куба окрашена в черный или белый цвет. Докажите, что найдутся две грани с общим ребром, которые одинаково окрашены.

9.

Докажите, что никакая прямая не может пересекать все три стороны треугольника.

10.

            Осенью отряд из 21 белки пополнял запасы и собрал 200 орехов. Докажите, что какие-то 2 белки собрали одинаковое число орехов.

11.

            Олимпиаду писали 70 школьников. Аркаша набрал 33 балла, остальные меньше. Докажите, что по крайней мере три школьника набрали одинаковое количество баллов.

12.

             Докажите, что в любой компании есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании.

13.

             Докажите, что из 6 сидящих за столом человек всегда найдутся трое попарно знакомых или трое попарно незнакомых.

14.

             Докажите, что если a, b, c — нечётные числа, то хотя бы одно из чисел ab − 1, bc − 1, ca − 1 делится на 4.

Для самых умных математиков!

              Можно ли таблицу 5×5 заполнить числами −1, 0, 1 так, чтобы суммы во всех строках, во всех столбцах и на главных диагоналях были различны?

Тема . Игры.

В этой части летней школы вы познакомитесь с задачами - играми. Во всех играх предполагается, что играют двое, ходы делаются по очереди (игроки не могут пропустить ход). Ответить всегда надо на один и тот же вопрос – кто побеждает: начинающий (первый) или его партнер (второй) ?

Способ игры, обеспечивающий выигрыш одному из партнеров в любом случае, как бы ни играл  его противник, называется “выигрышной стратегией”. Это тот секрет , обладая которым вы сможете выиграть у самого сильного противника. Наша цель – научится находить “ключ к победе” в различных играх, грамотно формулировать стратегию и доказывать, что она действительно ведет к выигрышу.

Анализ игры с ее конца.

Задача 1.  Напишите в тетради в ряд числа от 0 до 14 в порядке  возрастания. обведите каждое число в кружок. Один из кружков закройте фишкой. За ход разрешается передвинуть фишку влево на один, два, три, или четыре кружка. Проигрывает тот, кому некуда ходить. При каком начальном положении фишки выигрывает начинающий ?

Задача 2.  Из кучи камней двое играющих по очереди берут 1, 2, 3 или 4 камня. Выигрывает тот,  кто возьмет последний камень. При каком начальном количестве камней выигрывает начинающий ?

А если камней можно взять 1,2 или 3?

Как изменится стратегия, если тот, кто возьмет последний камень, проиграет?

Задача 3. Игра начинается с числа 0. За ход разрешается прибавить к имеющемуся числу любое натуральное число от 1 до 10. Выигрывает тот, кто получит число 100. Какой игрок выиграет и при какой стратегии ?

А если мы начнем с числа 1?

Задача 4.  Игра начинается с числа 2. За ход разрешается прибавить к имеющемуся числу любое, меньше его, натуральное число. Выигрывает тот, кто получит 1000. Кто выиграет при правильной игре?

Существует так называемые игры - шутки, исход которых не зависит от того, как играют соперники. Для решения такой игры не нужно указывать выигрышную стратегию. Достаточно лишь доказать, что выигрывает тот или иной игрок (независимо от того, как они будут играть). Приведем пример такой игры.

Задача 1. Каждый из двух игроков по очереди разрезает данную фигуру. За один ход разрешается любую из имеющихся частей разрезать прямолинейно по границе двух цветов на новые две части. Проигрывает тот, кто не может сделать разрез. Какой игрок выигрывает ?

Задача 2. Имеются 3 букета цветов: в первом – 10, во втором – 15, в третьем – 20 цветков. За ход разрешается разбить любой букет на 2 меньших; проигрывает тот, кто не может сделать ход. Какой игрок выиграет и почему ?

“Симметричная стратегия”.

Задача. Имеется 2 коробки конфет – по 20 в каждой. За  ход разрешается взять любое количество конфет, но только из одной коробки. Проигрывает тот, кому нечего брать.