Материалы для проведения II летней математической школы
олимпиадные задания по математике (6, 7, 8 класс)

Деление с остатком

Если число  при делении на  даёт частное  и остаток , то можно записать:

При этом остаток удовлетворяет следующему ограничению:  .

Пример 1. Число  - чётное. Может ли остаток от деления числа  на 6 быть равным 1 или 3?

Пример 2.  Число  кратно 3. Может ли остаток от деления числа  на 12 быть равным 2?

Пример 3. Число  при делении на 12 дает остаток 7. Чему равен остаток от деления числа  на 2; 3; 4; 6?

Пример 4. Число  при делении на 5 дает остаток 1, а при делении на 3 дает остаток 2. Чему равен остаток от деления числа  на 15?

Пример 5. Генерал построил солдат в колонну по 4, но при этом солдат Иванов остался лишним. Тогда генерал построил солдат в колонну по 5. И снова Иванов остался лишним. Когда же в колонне по 6 Иванов остался лишним, генерал посулил ему наряд вне очереди, после чего в колонне по 7 Иванов нашел себе место и никого лишнего не осталось. Какое наименьшее число солдат могло быть у генерала?

Пример 6. Известно, что  делится на 3. Докажите, что  делится на 3 и  делится на 3.

Пример 7. Может ли быть квадратом целого числа число, десятичная запись которого состоит:

а) из 300единиц и нескольких нулей;

б) из 302 единиц и нескольких нулей?

Пример 8. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 7. Найдите это число.

Задания для любителей математики:

1. Нечетное число  кратно 3. Чему равен остаток от деления числа  на 6?
2. Четное число  при делении на 3 дает остаток 1. Чему равен остаток от деления числа  на 6?
3. Известно, что число  при делении на 3 дает остаток 1, а при делении на 7 дает остаток 6 . Чему равен остаток от деления числа  на 21?
4. Известно, что число  при делении на 3 дает остаток 1, а при делении на 4 дает остаток 3. Чему равен остаток от деления числа  на 12?
5. Существует ли такое целое число, которое при делении на 12 дает остаток 11, а при делении на 18 – остаток 1?
6. Доказать, что квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток 1.
7. Доказать, что если число  не делится на 5, то или  делится на 5, или  делится на 5.
8. Найдите двузначное число, которое при делении на цифру единиц дает в частном цифру единиц, а в остатке – цифру десятков.
9. Когда трехзначное число  разделили на однозначное число, в остатке получили 8. Найдите делимое, делитель и частное.
10.  При делении на 3 некоторое число дает в остатке 1, а при делении на 3 – остаток 2. Какой остаток дает это число при делении на 6?
11.  Найдите наименьшее число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 – остаток 2, при делении на 4 – остаток 3, при делении на 5 – остаток 4, при делении на 6 – остаток 5.
12.  Когда Петя разбил свою копилку, в ней было меньше 100 монет. Петя разложил их на кучки по 2 монеты, но одна осталась лишней. Тогда он разложил их на кучки по 3 монеты, и снова одна осталась лишней. Тоже произошло, когда Петя разложил их на кучки по 4 монеты, и когда – по 5. Сколько монет было в копилке?
13. Докажите, что среди любых семи натуральных чисел найдется два, разность которых делится на 6
14.  Известно, что  делится на 7. Докажите, что  делится на 7 и  делится на 7.
15.  Известно, что  делится на 7. Докажите, что  делится на 49.

Для домашних рассуждений

 У Ивана-царевича есть два волшебных меча. Первым он может отрубить Змею Горынычу 21 голову. Вторым – 4 головы, но при этом у Змея Горыныча отрастает 2006 голов. Может ли Иван отрубить Змею Горынычу все головы, если в самом начале у него было 100 голов? (Если, например, у Змея Горыныча осталось лишь три головы, то рубить их ни тем, ни другим мечом нельзя.)

Арифметика сравнений или конгруэнции

Определение. Делитель в теории чисел называется модулем, а числа, дающие при делении на модуль одинаковые остатки, называются сравнимыми по модулю (конгруэнтными):

Свойства сравнений

Мы доказали, что если числа сравнимы по модулю m, то их разность делится на модуль m.

Верно и обратное утверждение: если разность двух чисел делится на m, по эти числа сравнимы по модулю m.

Доказательство. Рассмотрим разность:

Следовательно, , что и требовалось доказать.

Доказательство. Рассмотрим разность:

Следовательно, , что и требовалось доказать.

1. Изменятся ли частное и остаток, если делимое и делитель увеличить в 3 раза?
2. Найдите все натуральные числа, при делении которых на 7 в частном получится то же число, что и в остатке.
3. При делении некоторого числа m на 13 и 15 получили одинаковые частные, но первое деление было с остатком 8, а второе без остатка. Найдите число m.
4. Известно, что a + 1 делится на 3. Докажите, что 4 + 7a делится на 3.
5. Известно, что 2 + a и 35 – b делятся на 11. Докажите, что a + b делится на 11.
6. Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из данных чисел делится на 5.
7. Может ли сумма трёх последовательных натуральных чисел быть простым числом?
8. Сумма трёх натуральных чисел, являющихся точными квадратами, делится на 9.
   Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых также делится на 9.
9. Найдите остаток от деления 2100 на 3.
10.  Найдите остаток от деления 6100 на 7.
11.  Доказать, что 4323 + 2343 делится на 66.
12.  Найти остаток 1316 – 255·515 от деления на 3.
13.  Проверьте, делится ли 776776 + 777777 + 778778   на 3?
14.  Доказать, что n³ + 5n делится на 6 при любом целом n.
15.  Известно, что p и q – простые числа, большие 3. Доказать, что p² – q² делится на 24.
16.  При каких n   n² – 6n – 4 делится на 13?
17.  Доказать, что число вида n4 + 2n2 + 3 не может быть простым.
18.  Докажите, что для любого натурального n 10n + 18n – 1 делится на 27.
19.  Докажите, что для любого натурального n  25n+3 + 5n·3n+2  делится на 17.
20.  Докажите, что для любого натурального n  62n+1 + 1  делится на 7.
21.  На какую цифру оканчивается число 19891989? А на какие цифры оканчиваются числа 19891992, 19921989, 19921992?
22.  В магазине было 6 ящиков, массы которых соответственно 15, 16, 18, 19, 20 и 31 килограммов. Две фирмы приобрели пять ящиков, причём одна из них взяла по массе яблок в два раза больше, чем другая. Какой ящик остался в магазине?
23.  Найти наибольший общий делитель чисел 2n + 13 и n + 7.
24.  Докажите, что дробь   несократима ни при каком натуральном n.
25.  Докажите, что 3099 + 61100 делится на 31.
26.   Проверьте, какое из чисел (4343 - 1717) или (4343 + 1717) делится на 10.
27.  Если от некоторого трёхзначного числа отнять 6, то оно разделится на 7, если отнять 7, то оно разделится на 8, а если отнять 8, то оно разделится на 9. Определите это число.
28.  Из книги вырвали 25 страниц. Может ли сумма 50 чисел, являющихся номерами (с двух сторон) этих страниц, быть равной 2001?

Ответы домино

(0:0) 385024 : 376 = 1024

(0:1) Миша старше на месяц.

(0:2) Тетрадь была под диваном, шпаргалка — на столе, плеер — под подушкой, кроссовки — под столом.

(0:3) 11 оленьих и 19 медвежьих.

(0:4) 1162 куста.

(0:5) Например, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 8.

(0:6) Например, 1024675. Годится любое число с суммой цифр 25 и оканчивающееся на 25 или 75. Пример проверять!

(1:1) 100, 99, 98, 97, 96.

(1:2) Андрей — Глеб — Петя — Тимур — Митя

— Соня — Вася — Даша — Андрей.

(1:3) Например, 2 · 2 – 2 : 2 = 5 – 5 : 5 – 5 : 5 или

22 : 22 = 55 : 5 – 5 – 5. Или так: 2 : 2 + 2 + 2 = 5 +

5 – 5 + 5 – 5:

(1:4) В 3 раза.

(1:5) Положим на одну из клеток центрального квадрата 2 × 2 стопку из девяти серебряных монет, а на остальные клетки доски — по одной золотой монете. Тогда в каждом квадрате 3 × 3 будет 9 серебряных монет и 8 золотых, а на всей доске — 15 золотых и 9 серебряных.

(1:6) 3.

(2:2) 10 г.

(2:3) 4.

(2:4) 4/3 или 1час 20минут.

(2:5) 9.

(2:6) 24.

(3:3) 560 форинтов.

(3:4)        6.

(3:5) 8 по 17 и 7 по 10.

(3:6) Проверять.

(4:4) 1458 = 2 · 36

(4:5) 2222232

(4:6) 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63

(5:5) 4

(5:6) 182.

(6:6) при делении на 3 квадрат числа дает

 остаток 1 или 0, значит а2+1 дает остаток 2 или 1

 и не делится на 3

Инвариант

Инвариант – это величина или свойство, не меняющееся при заданной операции.

Примеры: разрезание и перестановка частей фигуры не меняет суммарной площади. Умножение любого целого числа на 5 не меняет его четности. Если в некотором числе, делящемся на 3, переставить цифры, то новое число тоже будет делиться на 3.  

Инвариант - четность

Пример 1.  На доске написано десять плюсов и пятнадцать минусов. Разрешается стереть любые два знака и написать вместо них плюс, если они одинаковые, и минус в противном случае. Какой знак останется на доске в конце?

Пример 2. На столе стоят 5 стаканов вниз дном. Разрешается выбрать любые 4 из них и перевернуть. Затем снова можно выбрать 4 из этих пяти стаканов и перевернуть и т.д. можно ли после нескольких таких операций добиться того, чтобы все пять стаканов стояли вверх дном?

Пример 3. На чудо-яблоне садовник вырастил 25 бананов и 30 апельсинов. Каждый день он срывает два плода и тут же на яблоне вырастает новый, причем если он срывает два одинаковых плода, то вырастает апельсин, а если два разных – банан. Каким окажется последний плод на дереве?

Пример 4. Даны 6 чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается к любым двум числам добавить  1. Можно ли все числа сделать равными?

Пример 5. 15 пятаков лежат гербом вверх. Разрешается за один ход перевернуть любые 14 из них. Можно ли за несколько ходов перевернуть все пятаки гербом вниз?

Инвариант – остаток

Пример 6. Петя разорвал листок бумаги на 10 кусков. Некоторые из них он снова разорвал на 10 частей и т. д. Мог ли Петя получить таким путем 1998 кусочков бумаги?

Пример 7. В стране Серобуромалин живут 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Когда встречаются два хамелеона разного цвета, они одновременно приобретают окраску третьего цвета (например, серый и бурый становятся малиновыми). Может ли через некоторое время оказаться, что все хамелеоны имеют один цвет?

Пример 8. В кульке 1994 конфеты. Малыш и Карлсон делят их следующим образом: если Малыш берет одну конфету, Карлсон берет две конфеты, а если Малыш берет 4 конфеты, Карлсон – 5 конфет. Смогут ли они разделить все конфеты, или в кульке что-нибудь останется?

Пример 9. В вершинах куба написаны целые числа. Разрешается два числа, стоящие в концах одного ребра куба одновременно увеличить на 1. Можно ли с помощью таких операций добиться, чтобы все числа делились на 3, если сначала в одной из вершин была 1, а в остальных – нули?

Пример 10. Хулиганы Вася и Петя порвали стенгазету, причем Петя рвал каждый кусок на 5 частей, а Вася – на 9. При попытке собрать стенгазету нашли 100 обрывков. Докажите. Что нашли не все обрывки.

Пример 11. Разменный автомат меняет одну монету на пять других. Можно ли с его помощью разменять металлический рубль на 26 монет?

Пример 12. Из тройки чисел (а; b; c) за один шаг можно получить тройку (а+b; b+c; a). Можно ли через несколько шагов получить из тройки (3; 6; 9) тройку (115; 81; 99)?

Задача ЕГЭ 2022. Есть три коробки: в первой коробке 64 камня, во второй – 77, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) могло ли в первой коробке остаться 64 камня, во второй 59, а в третьей – 18?

б) мог ли в третьей коробке оказаться 141 камень?

в) в первой коробке оказался 1 камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

Разминка

1. Можно ли ходом коня обойти все клетки шахматной доски, начав с клетки a1, закончив в клетке h8 и на каждой клетке доски побывав ровно один раз?
2. Двое по очереди ломают шоколадке 6х8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет в этой игре?
3. Является ли число 12345678926 полным квадратом и почему?
4. Докажите, что число  делится на 48 для любого четного натурального  .
5. Является ли число  точным квадратом?
6. Можно ли целые числа от 1 до 2021 включительно разбить на группы так, чтобы в каждой группе самое большое число равнялось сумме всех остальных чисел?

Делимость. Остатки. Диофантовые уравнения

1. Определите количество натуральных решений уравнения:

2. Решите уравнение в целых числах:

3. Решите уравнение в натуральных числах:

3. .

4. Решите уравнение в целых числах, разложив на множители:

5. Решите уравнение в целых числах, выполнив оценку:

6. Используя разложение на множители и метод остатков, докажите, что уравнение не имеет решений:

7. Решите уравнение в натуральных числах:
8. Доказать, что уравнение 2x+6y=23 не имеет решений в целых числах
9. Доказать, что уравнение x2 = 3y + 2 не имеет решений в целых числах.
10. Доказать, что уравнение x2– 3у = 17 не имеет целых решений.

Разминка

1. Можно ли ходом коня обойти все клетки шахматной доски, начав с клетки a1, закончив в клетке h8 и на каждой клетке доски побывав ровно один раз?
2. Двое по очереди ломают шоколадке 6х8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет в этой игре?
3. Является ли число 12345678926 полным квадратом и почему?
4. Докажите, что число  делится на 48 для любого четного натурального  .
5. Является ли число  точным квадратом?
6. Можно ли целые числа от 1 до 2021 включительно разбить на группы так, чтобы в каждой группе самое большое число равнялось сумме всех остальных чисел?

Делимость. Остатки. Диофантовые  уравнения

1. Определите количество натуральных решений уравнения:

2. Решите уравнение в целых числах:

3. Решите уравнение в натуральных числах:

3. .

4. Решите уравнение в целых числах, разложив на множители:

5. Решите уравнение в целых числах, выполнив оценку:

6. Используя разложение на множители и метод остатков, докажите, что уравнение не имеет решений:

7. Решите уравнение в натуральных числах:
8. Доказать, что уравнение 2x+6y=23 не имеет решений в целых числах
9. Доказать, что уравнение x2 = 3y + 2 не имеет решений в целых числах.
10. Доказать, что уравнение x2– 3у = 17 не имеет целых решений

Клетчатые доски в олимпиадных задачах

Пример 1. Из шахматной доски вырезали две угловые клетки. Можно ли покрыть оставшиеся клетки доски доминошками («доминошка» - прямоугольник, покрывающий две соседние по стороне клетки), если это

а) угловые клетки, примыкающие к одной стороне доски;

б) угловые клетки на диагонали доски.

Пример 2. Можно ли прямоугольник а) 5х6; б) 3х11 разрезать на трехклеточные уголки?

Пример 3. Можно ли доску 6х6 разрезать на прямоугольники 1х4?

Пример 4. Фигуру на рисунке разрезали на трехклеточные уголки, нарисованные справа от нее. Сколько трехклеточных уголков можно получить?

Пример 5. Можно ли доску а) 8х8; б) 10х10 разрезать на четырехклеточные фигурки, показанные на рисунке?

Пример 6. Можно ли доску а) 6х8; б) 6х6 разрезать на четырехклеточные фигурки, показанные на рисунке?

Пример 7. Можно ли прямоугольник 5х9 разрезать на трехклеточные уголки?

Пример 8. В прямоугольнике 6х7 закрашены какие-то 25 клеток. Доказать, что можно найти квадрат 2х2, в котором закрашено не менее трех клеток.

Пример 9. В клетчатом прямоугольнике размером 5х7 произвольно окрасили 22 клетки. Доказать, что при этом будет окрашен трехклеточный уголок.

Пример 10. Прямоугольник 6х4 покрыт плитками размеров 2х2 и 1х4. Доказать, что если одну из плиток 2х2 заменить на плитку 4х1, то теперь прямоугольник покрыть не удастся.

Пример 11. Из противоположных углов доски 10х10 выпилили два квадрата размерами 3х3. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть прямоугольными плитками размерами 2х1?

Пример 12. В левый нижний угол шахматной доски 8х8 поставлено в форме квадрата 3х3 девять фишек. Фишка может прыгать на свободное поле через рядом стоящую фишку по диагонали. Можно ли за некоторое количество таких ходов поставить фишки в форме квадрата 3х3: а) в левом верхнем углу; б) в правом верхнем углу?

Пример 13. В таблице 9х9 две фишки стоят в соседних клетках, причем фишка первого игрока находится в угловой клетке. Двое игроков ходят по очереди – каждый своей фишкой. Ходить можно по горизонтали и по вертикали через клетку, а также по диагонали на одну клетку. Клетки, на которых стояли фишки, закрашиваются. По закрашенным клеткам ходить нельзя. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто победит?

Пример 14. На каждой клетке доски 5х5 сидит жук. В некоторый момент времени все жуки переползают на соседние по стороне клетки. Докажите, что при этом хотя бы одна клетка окажется пустой.

Пример 15. Шахматист сделал 5 ходов конем. Может ли конь оказаться на той же клетке, с которой он начинал?

Комбинаторика

Правило сложения: если некоторое действие А можно выполнить m способам, а другое действие В можно выполнить n способами, то действие «А или В» можно выполнить  способами.

Правило умножения: если некоторое действие А можно выполнить m способам, а другое действие В можно выполнить n способами, то действие «сначала А, потом В» можно выполнить  способами.

1. В комнате есть люстра, настольная лампа и два разных настенных светильника. Сколькими способами можно включить свет в комнате, если все осветительные приборы можно включать независимо друг от друга? Порядок включения неважен.

2. В деревне Бездорожье три разных тома о Васе Слоттере продаются в трёх разных магазинах (I том в магазине 𝐴, II том — в 𝐵 и III том — в 𝐶). От магазина 𝐴 к магазину 𝐵 ведут три дороги, а от 𝐵 к 𝐶 — пять дорог. Недавно II том стал продаваться также в магазине 𝐷. От 𝐴 к 𝐷 ведут две дороги и от 𝐷 к 𝐶 ведут две дороги. Сколько различных путей можно пройти с целью купить все три тома, если начать с магазина 𝐴?

3. На балу собрались 5 дам и 5 кавалеров. Сколькими способами они могут разбиться на пары «кавалер + дама»?

4. Сколько существует четырёхзначных чисел:

а) состоящих только из нечётных цифр;

б) состоящих только из чётных цифр;

в) в записи которых найдётся хотя бы одна нечётная цифра;

г) в записи которых чётных цифр хотя бы две?

5. У Остапа Бендера есть десять поддельных паспортов. В целях конспирации очередному милиционеру он показывает не тот паспорт, который показывал прошлому, и не тот, который позапрошлому. Сколькими способами он может пообщаться с десятью стражами порядка?

6. Сколько всего различных делителей (включая единицу и само число) у числа:

а) 101; б) 91; в) 30; г) 720?

7. В купе железнодорожного вагона лицом друг к другу стоят два пятиместных дивана. Из 10 пассажиров четверо хотят сидеть лицом по ходу движения, трое — лицом против хода движения, а остальным всё равно как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры в купе с учётом своих пожеланий?

8. Клавдия Семёновна сохранила в телефоне семизначный номер своего внука. Однако, позвонив ему, она обнаружила, что записала семизначный номер неправильно — пропустила какую-то одну цифру. Сколько номеров придётся обзвонить

Клавдии Семёновне, чтобы наверняка дозвониться до внука?

9. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску: а) чёрную и белую ладью; б) чёрного и белого короля так, чтобы они не били друг друга? (Ладьи бьют все клетки на своей горизонтали и на своей вертикали, а короли бьют все соседние со своей клетки, в том числе по диагонали.)

10. Сколькими способами можно разложить 5 монет в два кармана брюк?

11. Сколькими способами можно составить расписание на день из 6 уроков, если ведется 14 предметов?

12. Сколькими способами можно расставить учебники по алгебре, геометрии, физике и литературе на полке?

13. Сколькими способами можно расставить учебники по алгебре, геометрии, физике и литературе на полке так чтобы алгебра и геометрия стояли рядом?

14. На прямой отметили 5 точек. Сколько есть отрезков с концами в отмеченных точках?

15. Мальвина велела Буратино выписать все двузначные числа, у которых обе цифры нечётны и не повторяются. Если он пропустит хотя бы одно, то Мальвине придётся посадить его в чулан. Посоветуйте Буратино, как организовать работу так, чтобы не попасть в чулан. Сколько всего чисел ему придётся выписать?

16. Тем временем Мальвина выписала все трёхзначные числа, у которых все цифры нечётны и не повторяются. Сколько времени она потратила, записывая по одной цифре в секунду?

17. На праздник заготовили 10 видов конфет. Маша собирает подарки – по три конфеты каждого вида, а Витя – по семь конфет каждого вида. У кого окажется больше подарков, если подарки не повторяются.