Фрагмент  методического пособия «Проблема обучения математике в профильных классах на примере темы «Логарифмические уравнения».

Анализ стандартов среднего (полного) общего образования по математике базового и профильного уровней

Сравнивая стандарты базового и профильного уровней, следует отметить, что различия содержания, обязательного минимума основных образовательных программ, обязательных умений учащихся обусловлены различием целей базового и профильного уровня обучения математике.

Цели изучения математики на базовом уровне предполагают формирование представлений о математике как универсальном языке науки и лишь об общих идеях и методах математики; развитие логического мышления и пространственного воображения лишь на уровне необходимом для будущей профессиональной деятельности и дальнейшего обучения, не ставится цель развития математического мышления, творческих способностей и самостоятельной деятельности в области математики; овладение математическими знаниями, не требующее углубленной математической подготовки; понимание математики, как части общечеловеческой культуры.

Изучение математики на профильном уровне среднего (полного) общего образования направлено на достижение следующих целей:

• Формирование представлений об идеях и методиках математики, о математике, как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;

• Овладение языком математики в устной и письменной форме, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественнонаучных дисциплин, продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне;
• Развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, математического мышления и интуиции, творческих способностей, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и её приложений в будущей профессиональной деятельности;
• Воспитание средствами математики культуры личности через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимания значимости математики для научно-технического прогресса.

Обязательный минимум содержания основных образовательных программ профессионального уровня при изучении логарифмических уравнений:

Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы, число e.

Преобразования выражений, включающих арифметические операции, а также операции возведения в степень и логарифмирования.

Решение логарифмических уравнений и неравенств и их систем.

Требования к подготовке школьников, изучающих математику по программе базового уровня, не предусматривают детального изучения логарифмических уравнений; от учащихся требуется умение решения простейших логарифмических уравнений, в большинстве случаев без глубокого анализа полученного ответа.

Требования к изучению математики на профильном уровне предусматривают умения:

решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;

доказывать несложные неравенства;

решать текстовые задачи с помощью составления уравнений, и неравенств, интерпретируя результат с учетом ограничений условия задачи;

изображать на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем;

находить приближенные решения уравнений и их систем, используя графический метод;

решать уравнения, неравенства и системы с применением графических представлений, свойств функций, производной.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для построения и исследования простейших математических моделей.

В целом, содержание материала темы "Логарифмические уравнения" на базовом и профильном уровнях остается практически одинаковым, однако глубина изучения материала на этих уровнях существенно различается.

Какой учебник выбрать для  изучения темы "Логарифмические уравнения"?

Чем дольше работаешь, тем ответственнее  относишься к выбору  учебного материала. На курсах,   опытные преподаватели всегда ссылаются на разные источники информации,  а ты с уважением относишься к мнению таких специалистов, потому, что понимаешь – Учитель учится всегда!  Работая по разным учебникам, обращаешь внимание на изложение материала. Где-то  теоретический  материал изложен лучше, понятнее,  где-то практический – разнообразнее, интереснее. В зависимости от уровня подготовки класса, и при наличии дополнительных учебных часов вносишь  коррективы в учебное планирование.

 Рассмотрим примеры распределения времени на изучение темы логарифмические уравнения:

Выполним сравнительный анализ содержания школьных учебников по математике.

Логико-дидактический анализ представляет последовательность действий: определение цели обучения теме; логический и математический анализ содержания темы (теоретического и задачного материала); постановка основных учебных задач и выбор соответствующих учебно-познавательных действий; отбор основных средств, методов и приёмов обучения; определение форм контроля и оценки процесса и результата учебной деятельности учащихся.

Логический анализ темы, прежде всего, сводится установлению логической организации учебного материала в ней с учётом специфики аксиоматического метода. Математический анализ сводится к выяснению основной математической идеи темы (ответ на вопрос, о чём в этой теме узнаем), к выяснению математических обоснований выполняемых преобразований, исследований, доказательств, к осмыслению применяемых в теме математических методов и приёмов. Результатом выполнения логико-математического анализа будет определение "ядерного" материала, логической строгости его изучения и математических методов и приёмов изучения этого материала. На основе логико-математического анализа теоретического материала темы выполняется анализ математических задач. Результатом анализа математических задач будет в каждой теме своя типология; основные задачи, которые необходимо решать в классе; методическое отношение к остальным задачам.

Проведём логико-математический анализ темы "Логарифмические уравнения" в различных школьных учебниках. С этой целью выясним:

1. какие новые понятия рассматриваются, даются ли им определения;
2. какие новые утверждения изучаются, что они отражают, каковы основные идеи доказательств;
3. какие новые виды задач и примеров рассматриваются в объяснительном тексте, каково их назначение, приводятся ли алгоритмы их решения;
4. какие задачи приводятся в задачном материале пункта.

В рассматриваемых учебниках исследуемой теме отводится разное место. Так, в учебнике А.Н. Колмогорова тема "Логарифмические уравнения" изучается в десятом параграфе пункт 39 главы "Показательная и логарифмическая функции". В учебнике С.М. Никольского  она изучается в шестом параграфе пункт 6.2 главы "Корни, степени, логарифмы". В учебнике Н.Я. Виленкина  во втором параграфе пункты 3-4 главы "Показательная, логарифмическая и степенная функции". А в учебнике А.Г. Мордковича  данная тема изучается в пятьдесят втором параграфе главы "Показательная и логарифмическая функции".

Проанализируем учебный материал.

В учебнике А.Н. Колмогорова тема "Логарифмические уравнения" объединена с логарифмическими неравенствами в пункте "Решение логарифмических уравнений и неравенств". Сразу (без определения) даётся простейшее логарифмическое уравнение и рассматриваются его свойства на примере логарифмической функции, из определения логарифма делается вывод, что его решением является . Затем рассматриваются примеры решения логарифмических уравнений и неравенств.

В учебнике С.М. Никольского тема "Логарифмические уравнения" выделена отдельным пунктом. Логарифмическое уравнение вводится следующим образом:

"Пусть a - данное положительное, не равное 1 число, b - данное действительное число. Тогда уравнение

называют простейшим логарифмическим уравнением".

далее в параграфе рассматриваются различные примеры решения уравнений.

В учебнике Н.Я. Виленкина данная тема разбита на два пункта и рассматривается одновременно с логарифмическими неравенствами:

1.        "Простейшие логарифмические уравнения и неравенства", где вводится понятие логарифмического уравнения, корня уравнения и рассматриваются простейшие примеры:

"Простейшим логарифмическим уравнением (т.е. уравнением, содержащим неизвестное под знаком логарифма) является , где , . Так как равенство  равносильно равенству , то получем:

Если ,  то корень уравнения  равен ".

2.        "Решение логарифмических уравнений и неравенств", где формулируется теорема:

Уравнение , где , , равносильно системе:

состоящей из уравнения и двух неравенств.

Даётся краткий алгоритм для решения логарифмических уравнений:

Для решения уравнения  при , нужно:

1) решить уравнение f (x) =g (x);

2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенству f (x) >0 (или, то же самое, неравенству g (x) >0; обычно используют более простое из этих неравенств), а остальные корни отбросить, так как они являются для данного уравнения посторонними.

Далее рассматриваются примеры решения логарифмических уравнений, но в данном учебнике они более сложные.

В учебнике А.Г. Мордковича тема "Логарифмические уравнения" выделена отдельным пунктом. Понятие логарифмического уравнения дано следующим образом:

"Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида

,

где a - положительное число, отличное от 1, и уравнения, водящиеся к этому".

Сформулирована теорема:

Если  и , то логарифмическое уравнение  (где , ) равносильно уравнению .

Выделяются три основных метода решения логарифмических уравнений:

1) Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функции (он был рассмотрен ранее при изучении свойств функции).

2) Метод потенцирования. Он основан на теореме, изложенной в параграфе.

3) Метод введения новой переменной.

Все методы решения логарифмических уравнений рассмотрены в данном параграфе на примерах, или в предыдущих параграфах.

Задачный материал включает: простейшие логарифмические уравнения, а также более сложные, содержащие в подлогарифмическом выражении квадратный трёхчлен и иррациональность, содержащие в основании дробные числа, выражения с переменной и иррациональность, дробные логарифмические уравнения, уравнения, содержащие логарифм в степени, логарифмические неравенства и системы уравнений. В учебниках Колмогорова и Мордковича выделены обязательные задания и задания повышенного уровня. Профильное различие заключается в количестве практического материала и в сложности предлагаемых заданий.

Сравнительный анализ содержания школьных учебников показал, на наш взгляд, что для работы в классе с углубленным изучением математики, т.е. для естественно-математических классов, больше всего подходит учебник  А. Г. Мордковича, для общеобразовательных классов учебники С.М. Никольского и Н. Я. Виленкина, для гуманитарных классов, в которых математика изучается по минимуму учебник А.Н. Колмогорова.

Специально разработанные учебники по математике для разных профилей не получили широкого распространения, поэтому при подготовке к уроку  я пользуюсь несколькими учебниками и различными методическими пособиями. Например, при подготовке к уроку математики в классе естественно-математического профиля  использую одновременно учебники А.Г. Мордковича и С.М. Никольского, А.Н. Колмогорова и  Ш.А. Алимова,  что обусловлено полнотой содержания по данной теме и трудностью подобранного задачного материала. В этом состоит одна из проблем обучения математике в классах разного профиля.

Модульная карта изучения темы "Логарифмические уравнения"

        Примерное содержание карточек.

1) Решите уравнения:   Оценка "3"

 ,

 ,

,

,

,

 Оценка "3"

,

,

.

Решите уравнения:

,

,

,

Найдите больший корень уравнения.

Решите уравнения: на "4"

,

.

Решить уравнения:  на "5"

,

,

,

Самостоятельная работа "Логарифмические уравнения".

Решить уравнения:

На "3":

,

,

.

На "4":

,

,

.

На "5":

,

,

.

На данном этапе решаются задания аналогичные заданиям в контрольной работе.

Все задания поделены на три уровня. Со слабыми учениками решение всех заданий осуществляется на доске.

Учащиеся, имеющие более высокие знания, решают самостоятельно, а затем проверяют своё решение по листу самоконтроля.

Контрольная работа предполагает задания на "3", "4" и "5".

Приведём примеры заданий:

На "3":

Найти x, если: .

Найти область определения функции: .

Решите уравнение:

На "4":

Найти x, если: .

Найти область определения функции: .

Решите уравнение: .

На "5":

Найти x, если: .

Найти область определения функции: .

Решите уравнение:    

Модульная карта изучения темы "Логарифмические уравнения"

        Содержание карточек.

1) Решите уравнения: , ,

,

,

,

 на "3"

,

,

.

2) Решите уравнения:

,

,

,

Найдите больший корень уравнения.

Решите уравнения: на "4"

,

.

3) Решить уравнения: на «5»

,

,

,

 Самостоятельная работа "Логарифмические уравнения".

Решить уравнения:

На "3":

,

,

.

На "4":

,

,

.

На "5":

,

,

.

На данном этапе решаются задания аналогичные заданиям в контрольной работе.

Все задания поделены на три уровня. Со слабыми учениками решение всех заданий осуществляется на доске.

Учащиеся, имеющие более высокие знания, решают самостоятельно, а затем проверяют своё решение по листу самоконтроля.

Контрольная работа предполагает задания на "3", "4" и "5".

Приведём примеры заданий:

На "3":

Найти x, если: .

Найти область определения функции: .

Решите уравнение:

На "4":

Найти x, если: .

Найти область определения функции: .

Решите уравнение: .

На "5":

Найти x, если: .

Найти область определения функции: .

Решите уравнение:

Методические рекомендации к изучению темы "Логарифмические уравнения"

1. Естественно -математический профиль

Цели: раскрыть понятие "логарифмическое уравнение"; ознакомить учащихся с основными приёмами и методами решения уравнений этого вида; обеспечить овладение всеми учащимися основными алгоритмическими приёмами решения логарифмических уравнений.

Урок 1:  "Решение логарифмических уравнений".

Тему лучше изложить лекционно. Содержание лекции может быть следующим:

Простейшим логарифмическим уравнением (то есть уравнением, содержащим неизвестное под знаком логарифма) является , где , .

Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на промежутке  и принимает на этом промежутке все действительные значения. По теореме о корне: пусть функция  возрастает (или убывает) на промежутке , число  - любое из значений, принимаемых  на этом промежутке. Тогда уравнение  имеет единственный корень в промежутке . Отсюда следует, что для любого  данное уравнение имеет и притом только одно решение. Из определения логарифма числа сразу следует, что  является таким решением.

То есть если , , то корень уравнения  равен .

Основной способ решения логарифмических уравнений - это потенцирование, в результате чего получаем обычное алгебраическое уравнение. Найденные корни необходимо проверить, так как возможны случаи появления посторонних корней.

При решении логарифмических уравнений и неравенств используйте свойства логарифмической функции. Для этого левую и правую части представляйте в виде логарифмов с одинаковыми основаниями. Необходимым шагом в решении является учёт области определения логарифмической функции.

Теорема: Уравнение , где , , равносильно системе:

состоящей из уравнения и двух неравенств.

(В этой системе можно опустить одно из неравенств, так как каждое из них вытекает из уравнения и другого неравенства).

Таким образом для решения уравнения  при , нужно:

1) решить уравнение f (x) =g (x);

2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенству f (x) >0 (или, то же самое, неравенству g (x) >0; обычно используют более простое из этих неравенств), а остальные корни отбросить, так как они являются для данного уравнения посторонними.

Итак, логарифмическим называется уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком логарифма.

Выделяют следующие основные методы решения логарифмических уравнений:

1.        На основании определения логарифма.

Так решаются уравнения вида .

Приведём пример такого уравнения и решим его.

Пример: Решить уравнение .

Решение: ОДЗ: .

По определению логарифма имеем:  (по формуле ).

Отсюда:

Проверка:  - верно.

 - верно.

Ответ:

2.        Метод потенцирования.

Суть метода заключается в следующем: с помощью формул уравнение привести к виду . Это уравнение (при , ) равносильно системе

Пример: Решить уравнение .

Решение:

ОДЗ:

Перенесём из правой части в левую: , а из левой в правую: , получим:

Применим свойства логарифмов:

; .

Проверка:

1) ,  - корень.

2)  - не существует.

Ответ: .

3.        Метод подстановки.

Обычную замену (подстановку) производят после некоторых преобразований

Пример: Решить уравнение .

Решение:

ОДЗ:

Используя формулы, запишем уравнение так:

, то есть   .

Заменяем . Тогда , то есть .

Отсюда ,.

Поэтому  и .

Отсюда  и

Сделав проверку можно убедиться, что оба корня - корни данного уравнения.

Ответ: , .

4.        Метод приведения к одному основанию.

Обычно условие примера подсказывает, к какому основанию следует перейти. Используются формулы:

.

Как правило, метод приведения к одному основанию "работает" с методом подстановки.

Пример:

Решить уравнение .

Решение:

ОДЗ:

, перейдём к основанию 2:

, то есть

.

Обозначим . Тогда , то есть

,

.

Значит, .

Ответ: .

5.        Метод логарифмирования.

Обычно логарифмируют уравнения вида . Поясним этот метод на примере.

Пример: Решить уравнение .

Решение:

Область допустимых значений переменной x дана в условии задания.

Логарифмируем по основанию 10:

, то есть

.

Обозначим . Тогда , то есть

 и

Получаем:  и  и .

Ответ: , .

6.        Графический метод.

Пример: Решить графически уравнение .

Решение:

ОДЗ:

В одной и той же системе координат строим графики функций  и

Абсцисса точки пересечения графиков функций  и  равна примерно двум. Нетрудно проверить, что это точный корень данного уравнения.

Проверка:

Ответ: .

Домашнее задание можно предложить следующее: составьте опорный конспект по теме "Логарифмические уравнения".

Заполните следующую таблицу:

Таблица "Методы решения логарифмических уравнений".

Решите примеры из заполненной таблицы.

Урок 2-3: Следует начать с письменной проверки опорного конспекта (не более 10 минут). После чего можно предложить выполнить следующие задания.

Задание 1: Определите, каким методом следует решить уравнение.

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

Задание 2: Проверьте по листу самоконтроля, правильно ли вы определили метод решения.

Задание 3: Решите уравнения задания 1, используя правильный метод решения.

Задание 4: Осуществите взаимопроверку задания 3 по листу самоконтроля.

Задание 5: Тестовое задание: Решите предложенные уравнения и выберите правильный ответ из предложенных четырёх.

1)

а) 1; - 5  б) - 2; 1   в) - 5; 4    г) 1.

2)

а) – 2     б) 2    в)        г) - 1.

3)

а) - 5; 5   б) – 5   в)         г) 5.

4)

а) 4; 8  б)       в) 2; 3   г) 8; 2.

Задание 6: Сдайте учителю на проверку ответы предложенных заданий.

Задание 7: Решите следующие уравнения, сложность которых оценена в баллах.

 (3 б), (3 б),

 (4 б), (4 б),

 (5б).

 (5б),

 (5б).

Задание 8: Проверьте решение уравнений по листу самоконтроля, и в соответствии с набранными баллами поставьте себе оценку.

-29 баллов - оценка "5",

-25 баллов - оценка "4",

-19 баллов - оценка "3".

Задание 9: Выполните предложенную самостоятельную работу, выбирая тот вариант, который вы решите сами (самостоятельная работа находится в модульной карте и рассчитана на три уровня: на "3", "4", "5").

В дальнейшем, при окончании изучения темы "Логарифмические уравнения", необходимо рассмотреть уравнения с параметрами, которые включаются в задания ЕГЭ, например: "Найдём все значения , при которых уравнение  имеет единственный корень”.

При наличии времени на уроках рекомендуется рассмотреть так называемые "нестандартные уравнения". Приведём пример такого уравнения: "Решить уравнение ”.

Общеобразовательный и гуманитарный профиль

Для классов общеобразовательного профиля излагать тему можно аналогичным образом. При этом раскрываются подробно три основных метода решения логарифмических уравнений:

1)Функционально-графический метод.

2)Метод потенцирования.

3)Метод введения новой переменной.

Из-за уменьшения количества часов, выделяемых на изучение данной темы, остальные методы можно назвать для ознакомления учащихся, не уделяя им много времени.

На уроке должно больше внимания уделяться практической работе и решению более лёгких уравнений (чтобы лучше разобрались отстающие ученики).

В гуманитарных классах меньше внимания уделять теоретическому аспекту, нужно познакомить учащихся с тремя выше названными методами решения. Далее отрабатываются умения решать наиболее распространённые логарифмические уравнения.

Задания составляются с учётом уровня подготовки учащихся и требованиями стандарта образования.

Использование компьютерных технологий при изучении темы "Логарифмические уравнения"

При объяснении темы "Логарифмические уравнения", во время раскрытия методов решения логарифмических уравнений можно воспользоваться мультимедийной программой "Математика. Решение уравнений и неравенств". Её курс построен на визуальном и фонематическом восприятии информации. На экране воспроизводится уравнение и его решение. Объяснение решения сопровождается при помощи звукового ряда и выделения основных моментов решения.

Современный учебно-методический комплекс "Алгебра и начала анализа. Итоговая аттестация выпускников" предназначен для отработки умений решать различные типы уравнений, в том числе логарифмических. Он может служить для отработки навыков решения логарифмических уравнений, снабжён подсказками и ссылками на теоретическую часть.

При помощи этой программы, используя компьютерное обеспечение, можно проводить уроки по отработке навыков решения уравнений. В данном случае учитель будет играть роль контроллера учебного процесса. Помощником при решении уравнений будет само программное обучение.

Обе программы содержат теоретический и практический материал.

Заключение

Данная работа посвящена проблемам обучения математике в профильных классах.

Проделанная работа позволяет сделать вывод о реальности возникающих проблем при введении профильного обучения в России, а также актуальности их решения на современном этапе развития общества.

Рассмотрев изучение темы "Логарифмические уравнения" в классах различных профилей, мы можем сделать вывод, что  не только количество часов, отводимых на изучение конкретной темы, влияет на глубину и объём изучаемого материала, но и  методы их преподавания.

Проведён анализ методической литературы и школьных учебников с точки зрения обучения решению логарифмических уравнений в профильных классах.

Разработан модуль "Логарифмические уравнения" и урок модульного обучения для естественно-математического профиля.

Даны рекомендации по обучению теме в общеобразовательных и гуманитарных профильных классах.

Рассмотрены мультимедийные программы, которые можно применять при обучении учащихся теме: "Логарифмические уравнения".

Работа может быть интересна как с теоретической, так и практической точки зрения для  педагогов  и молодых специалистов.

Литература

1.        Алгебра и математический анализ.11 кл.: Учеб. пособие для шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. - 8-е изд., стереотип. - М.: Мнемозина, 2001. - 288 с.

2.        Алгебра и начала анализа.10-11 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. / А.Г. Мордкович. - 5-е изд. - М.: Мнемозина, 2004. - 375 с.

3.        Алгебра и начала анализа.10-11 кл.: В двух частях. Ч.2: Задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская; Под ред.А.Г. Мордковича. - 5-е изд. - М.: Мнемозина, 2004. - 315 с.

4.        Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразоват. учреждений/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2001. - 383 с.

5.        Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. сред. шк. /А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.: Под ред.А.Н. Колмогорова. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1991. - 320 с.

6.        Башмаков М. Профили и уровни обучения математике. \\ Математика. - 2006. - №14 - с.18-21.

7.        Данищева Л.О., Краснянская К.А. Профильный экзамен по математике. \\ Оценка качества образования. - 2007. - №1 - с.41-47.

8.        Дорофеев Г.В., Кузнецов Л.В., Седова Е.А. Об учебнике "Алгебра и начала анализа" для профильного курса математики в 10 классе. \\ Народное образование. - 2002. - №9 - с.38-39.

9.        Ермаков Д., Петрова Г. Элективные учебные курсы для профильного обучения. \\ Народное образование. - 2002. - №2 - с.114-118.

10.        Завич Л.И., Чинкина М.В. Классы с углубленным изучением материала. \\ Математика в школе. - 2004. - №6 - с.17-23.

11.        Колягин Ю.М., Оганесян В.А., Саннинский В. Я, Луканкин Г.Л. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учебное пособие для студентов физ. - мат. пед. институтов. М.: "Просвещение", 1975. - 462с.

12.        Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия.: Учебное пособие физ. - мат. спец. пед. институтов. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: ABF, 1995. - 352 с.

13.        Министр образования России В.М. Филиппов. Об утверждении концепции профильного обучения на старшей ступени общего развития. \\ Народное образование. - 2002. - №9 - с.29.

14.        Новожилова Н., Фирсова М. Курсы по выбору: отбор содержания и технологии проведения. \\ Народное образование. - 2004. - №2 - с.29.

15.        Профильное обучение: вопросы и ответы. \\ Математика. - 2006. - №14 - с.2-9.

16.        Рушель Р. О попытках введения профильной дифференциации в русской школе в 19-начале 20 века. \\ Математика. - 2006. - №14 - с.16-18.

17.        Саакян С.М., Дудницин Ю.П. Примерное планирование учебного материала по математике в 10-11 классах. \\ Математика в школе. - 2004. - №7 - с.2-9.

18.        Смирнова И.М. Профильная модель обучения математике. \\ Математика в школе. - 1997. - №1 - с.32-35.

19.        Стандарт среднего (полного) общего образования по математике. \\ Математика. - 2006. - №14 - с.9-16.

20.        Тульчинская Е.Е. Поурочное планирование и контрольные работы по алгебре и началам анализа. \\ Математика в школе. - 2005. - №8 - с.32-35.

21.        Мультимедийная программа: "Алгебра и начала анализа. Итоговая аттестация выпускников"

22.        Мультимедийная программа: "Математика. Решение уравнений и неравенств"

23.        Электронный ресурс: http://do. rksi.ru

24.        Электронный ресурс: http://festival.1september.ru

25.        Электронный ресурс: http://portfolio.1september.ru

26.        Электронный ресурс: www.1september.ru