"Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии"
план-конспект занятия по геометрии (10 класс)

Тема: Предмет стереометрии

Аксиомы стереометрии

Цель: Ввести понятие стереометрии, познакомить с основными понятиями стереометрии и аксиомами стереометрии.

Развивать пространственное воображение, логическое мышление, интерес к предмету, аккуратность.

Показать, что в жизни нас окружают математические объекты.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Изучение нового материала (рассказ с элементами беседы).

        (Слайд № 1)

Курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. С планиметрией вы уже знакомы.

Что она изучает?

Где расположены фигуры, которые изучает планиметрия?

Мы начинает изучать второй раздел геометрии – стереометрию. Зачем она нужна?

1) Стереометрия формирует необходимые пространственные представления, знакомит с разнообразием пространственных форм, позволяет правильно ориентироваться в окружающем нас мире.

2) Стереометрия даёт метод научного познания, способствует развитию логического мышления.

3) Наконец, стереометрия и сама по себе очень интересна. Она имеет яркую историю, связанную с именами знаменитых учёных: Пифагора (слайд № 2), Евклида (слайд № 3), Архимеда (слайд № 4), Декарта (слайд № 5) и многих других.

В стереометрии изучаются красивые математические объекты. Их формы находят широкое применение в искусстве, архитектуре, строительстве.

Архитектор Корбюзье писал: «Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии, а греческая архитектура – внешнее выражение геометрии Евклида».

(Слайд № 6)

Как вы думаете, что означает слово стереометрия? (формулировка понятия на основе ответов учащихся)

«Стерео» - объёмный, «метрео» - измерять.

Давайте запишем определение:

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве (слайд № 7).

Запишем: (слайд № 8)

Геометрия:

- планиметрия

- стереометрия

Назовите простейшие фигуры планиметрии (то есть те, которым нельзя дать определение: точка, прямая)

В стереометрии вводится ещё одно понятие: плоскость. Дать определение плоскости, так же как и точки, прямой, невозможно. Можно лишь дать представление о плоскости: лист бумаги, поверхность стола, пола. Плоскость как геометрическая фигура бесконечна.

Какие фигуры из курса планиметрии вам известны? (Треугольники, четырёхугольники (параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапеция), окружность, многоугольники).

Стереометрия изучает геометрические тела, составленные из многоугольников. Такие тела называются многогранниками (слайд № 9).

К тому же стереометрия изучает геометрические тела, полученные при вращении определённым образом многоугольников. Такие тела называются телами вращения.

Какую фигуру имеет футбольный мяч?

Консервная банка?

Вывод: в жизни нас часто окружают тела сложной формы, составленные, например, из нескольких многогранников или из нескольких тел вращений (слайд № 10, 11).

На первом курсе мы с вами будем изучать взаимное расположение прямых и плоскостей, а на втором – многогранники и тела вращения.

При изучении геометрических тел нам придётся изображать их на  плоскости.

Как обозначаются видимые линии? (сплошной чертой)

Как обозначаются невидимые линии? (пунктирной чертой)

(Слайд № 12)

Плоскость изображается в виде параллелограмма или произвольной областью.

Точки: А, В, С, … Как обозначаются точки? (одной заглавной латинской буквой)

Прямые: a, b, c, … DB, BF, … Как обозначаются прямые? (одной маленькой латинской буквой или двумя заглавными латинскими буквами)

Плоскости: α, β, γ, …DBC, MNL (обозначаются одной греческой буквой или тремя заглавными латинскими буквами, то есть тремя точками, которые лежат в этой плоскости).

Давайте запишем некоторые обозначения для краткой записи:

(Слайд № 13)

A ∉ α (тока не принадлежит плоскости);

Β ∈ α  (точка принадлежит плоскости);

b ⊂ α (прямая принадлежит плоскости);

c ∩ α (прямая пересекает плоскость);

a ∩ b = M (прямые пересекаются в точке…);

α ∩ β = a (плоскости пересекаются по прямой…).

Основные свойства точек, прямых, плоскостей, касающихся их взаимного расположения,  выражены в аксиомах.

Что такое аксиома? Можно ли её доказать?

Приведите пример аксиомы планиметрии.

1) Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие ей, и не принадлежащие ей.

2) Через любые две точки можно провести прямую и при том только одну.

Сейчас мы сформулируем три аксиомы стереометрии.

(Вопросы сопровождаются показом с помощью пластилина и моделей прямых и плоскостей)

Как вы думаете, сколько плоскостей можно провести:

а)  через одну точку? (бесконечное количество)

б) через две точки? (бесконечное количество)

в) через три точки? (бесконечное количество)

г) а через три точки, не лежащих на одной прямой? (одну)

Запишем аксиому первую и сделаем к ней рисунок.

(Слайд № 14)

Если две точки прямой лежат в плоскости, что можно сказать обо всех остальных точках этой прямой?  (они тоже лежат в этой плоскости)

Запишем аксиому вторую и сделаем к ней рисунок.

(Слайд № 15)

Что говорят в случае, если плоскость и прямая имеют одну общую точку? (прямая пересекает плоскость)

Давайте посмотрим, что будет, если две плоскости имеют общую точку.

Посмотрите на две пересекающиеся плоскости. Что получилось при пересечении? (прямая) На этой прямой лежат все общие точки этих двух плоскостей и больше общих точек нет.

Приведите пример двух пересекающихся плоскостей в окружающей действительности (лист бумаги, согнутой пополам, пересечение стены и потолка).

Запишем аксиому третью и сделаем рисунок к ней.

(Слайд № 16)

3. Закрепление: решение задачи.

Решим задачу из учебника геометрии (автор Л.С. Атанасян)

(Слайд № 17)

№ 1

По рисунку назовите:

а) плоскости, в которых лежат прямые PE, MK, DB, AB, EC;

б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ADB , прямой CE с плоскостью ADB;

в) точки, лежащие в плоскостях ADB и DBC;

г) прямые, по которым пересекаются плоскости  ABC и DCB, ABD и CDA, PDC и ABC.

4. Домашнее задание.

а) Пункты учебника 1,2 (Знать определение стереометрии, основные понятия стереометрии, как обозначаются точки, прямые и плоскости в пространстве, выучить формулировки аксиом)

б) № 3 (подумать над ответами, уметь обосновать свои ответы)

5. Итоги урока.

Давайте подведём итоги урока.

1. Дайте ответы на вопросы:

1) из каких разделов состоит геометрия?

2) что изучает стереометрия?

3) каковы основные понятия стереометрии?

4) как изображаются плоскости?

5) как обозначаются плоскости?

2. Сформулируйте первую аксиому стереометрии.

3. Сформулируйте вторую аксиому стереометрии.

4. Сформулируйте третью аксиому стереометрии.