ЭУП Многоугольники
презентация к уроку по геометрии (8 класс)

Слайд 1

Слайд 2

2

Слайд 3

3

Слайд 4

4

Слайд 5

5 А В С D ABCD – параллелограмм AB ║ CD, DC ║ AD Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны

Слайд 6

6 А В С D Свойства параллелограмма 1 В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. и ∠1 = ∠2 , ∠ 3 = ∠ 4 ВС = AD , АВ = С D ∠1 ∠2 ∠ 3 ∠ 4

Слайд 7

7 А В С D Свойства параллелограмма 2 Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. О ВО = О D , АО = ОС О – точка пересечения диагоналей

Слайд 8

8 А В С D Признаки параллелограмма 1 Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм Дано: Доказать: АВС D – четырехугольник, АВ = CD, АВ ∥ CD АВС D – параллелограмм

Слайд 9

9 А В С D 1 Доказательство Пусть АВ = С D и АВ ∥ С D , проведем диагональ АС. Рассмотрим треугольники ∆ А BC и ∆ ACD : ∆ А BC = ∆ CDA – по двум сторонам и углу между ними (АС – общая, АВ = С D – по условию, ∠1 = ∠ 2 как накрест лежащие при АВ ∥ С D и секущей АС) => ∠3 = ∠ 4 ; 1 2 3 4 Но ∠3 и ∠ 4 – накрест лежащие углы при пересечении прямых ВС и AD секущей – АС => ВС∥ AD ; Таким образом, если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны, то этот четырехугольник АВС D - параллелограмм .

Слайд 10

10 А В С D Признаки параллелограмма 2 Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм. Дано: Доказать: АВС D – четырехугольник, АВ = CD, ВС = А D АВС D – параллелограмм

Слайд 11

11 А В С D 2 АВС D - четырехугольник, АВ = CD, ВС = А D . Доказательство Рассмотрим треугольники ∆ А BC и ∆ ACD : ∆ А BC = ∆ CDA – по трем сторонам (АС – общая, АВ = С D , ВС = А D – по условию); 1 4 3 2 Из равенства треугольников:∠1 = ∠ 2, а это накрест лежащие при секущей АС => АВ ∥ С D ; Проведем диагональ АС. Так как АВ ∥ С D и АВ = С D , то четырехугольник АВС D – параллелограмм (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм).

Слайд 12

12 А В С D 3 О Признаки параллелограмма Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм. Дано: Доказать: АВС D – четырехугольник, ВО = О D, АО = ОС АВС D – параллелограмм

Слайд 13

13 А В С D 3 О АВС D – четырехугольник, ВО = О D, АО = ОС. Доказательство 1 2 3 4 Проведем диагонали АС и BD. Рассмотрим треугольники ∆ АО B и ∆ C О D : ∆ АО B = ∆ C О D – по первому признаку равенства треугольников (ВО = О D, АО = ОС – по условию, ∠ АО B = ∠ C О D – как вертикальные); Из равенства треугольников АВ=С D и ∠1 = ∠2 , а это накрест лежащие углы =>АВ ∥ CD ; Так как в четырехугольнике АВС D стороны АВ = CD и АВ ∥ CD , то АВС D – параллелограмм (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм).

Слайд 14

14 Дано: Доказать: 1 АВС D – четырехугольник, ∠ B А C = ∠ ACD, ∠CAD =∠BCA АВС D – параллелограмм . Доказательство А В С D Задача

Слайд 15

15 Рассмотрим треугольники ∆ А BC и ∆ ACD : 1. ∠ B А C = ∠ ACD, ∠CAD =∠BCA – по условию, АС – общая; следовательно ∆ А BC = ∆ CD А – по стороне и двум прилежащим углам; поэтому ВС = AD. 2 .Так как ∠ B А C = ∠ ACD – накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС, AD и секущей - АС, то ВС ∥ AD . 3.Так как ВС = AD и ВС ∥ AD , то по 1-му признаку параллелограмма АВС D – параллелограмм, что и требовалось доказать. А В С D

Слайд 16

Особое свойство ромба В А С D 1 2 Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. BD перпендикулярно AC, ∠1 = ∠ 2 Доказательство: О Рассмотрим ∆АВС: АВ=ВС (по определению ромба) => ∆АВС – равнобедренный. Точка О – точка пересечения диагоналей параллелограмма, значит, т. О середина АС => ВО – медиана, биссектриса и высота ∆АВС => ∠1 = ∠ 2 и B О ꓕ AC (значит, BD ꓕ AC ).

Слайд 17

Квадрат э то параллелограмм , у которого все стороны равны и все углы равны э то ромб , у которого все углы прямые э то прямоугольник , у которого все стороны равны 90° 90° 90° 90°

Слайд 18

А В С D О Так как квадрат это параллелограмм , прямоугольник и ромб , то для него справедливы все свойства этих фигур: 1. В квадрате противоположные стороны равны и противоположные углы равны; 2. Диагонали квадрата делятся точкой пересечения пополам; 3. Диагонали квадрата равны; 4. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят углы пополам.

Слайд 19

В выпуклом четырехугольнике АВС D AB=BC и AD=CD , ∠В=60°, ∠ D =110 °. Найдите ∠А. А В С D Задача 1.

Слайд 20

А В С D Проведем диагональ АС ∆ ADC - равнобедренный => ∠ DCA= ∠ CAD=(180° - ∠ D) : 2 = ( 180 ° - 110° ) : 2 = 35° 3 . ∆ ABC - равнобедренный => ∠ DCA = ∠ DA С = ( 180° - ∠ B ) : 2 = = ( 180° - 60 ° ) : 2 = 60 ° 4 . ∠ DAB= ∠ CAB + ∠ DAC = 35° + 60 ° = 95° Ответ: 95° 110° 60° 35° 60° Решение задачи 1.

Слайд 21

Задача 2. Диагональ BD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 65° и 50°. Най­ди­те мень­ший угол параллелограмма. А В С D 50° 65°

Слайд 22

А В С D 50° 65° Решение задачи 2. ∠ А + ∠ В = 180° (односторонние); ∠ А = 180 ° − ∠ В = 180 °- ( 50 ° + 65 °)= 65°; ∠ А = ∠ С = 65°, ∠ В = ∠ D = 115° => меньший угол параллелограмма равен 65°. Ответ: 65°

Слайд 23

Разность углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не параллелограмма, равна 40°. Най­ди­те больший угол параллелограмма. Задача 3. А В С D

Слайд 24

Решение задачи 3. А В С D Пусть ∠ А = х, тогда ∠ В = х + 40° ∠ А + ∠ В = 180° (односторонние углы) => х + (х + 40°) = 180 ° => 2х = 140° => х = 70°, то есть ∠ А= ∠С = 70°, а ∠ В= ∠ D = 110° . Ответ: 110° х Х + 40°

Слайд 25

Задача 4. Найдите мень­ший угол рав­но­бед­рен­ной трапеции, если два ее угла от­но­сят­ся как 1:2. А В С D

Слайд 26

Решение задачи 4 . А В С D Пусть ∠ D = х, тогда ∠ А = 2х; ∠ А + ∠ D = 180° (односторонние углы) => х + 2 х = 180 ° => 3 х = 1 8 0° => х = 6 0°, то есть ∠ А= ∠ B = 12 0°, а ∠ C = ∠ D = 60° ( в равнобедренной трапеции углы при основании равны). Ответ: 60° х 2х

Слайд 27

Задача 5. Сто­ро­на ромба равна 34 см, а ост­рый угол равен 60° . Вы­со­та ромба, опу­щен­ная из вер­ши­ны ту­по­го угла, делит сто­ро­ну на два от­рез­ка. Ка­ко­вы длины этих от­рез­ков? В А С D

Слайд 28

Решение задачи 5 . В Пусть ∠ А - тупой, тогда ∠ В – острый и ∠В = 60°, АН – высота ромба; ∆ АВН - прямоугольный и ∠В = 60 ° => ∠ВАН = 3 0 ° => ВН = ⅟ 2 АВ (катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы) => ВН = 17 см, НС = ВС – ВН = 34 – 17= 17 см. А С D Н 34 см 60° Ответ: 17 см и 17 см

Слайд 29

Биссектриса угла A прямоугольника ABCD пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну D C в точке K . Най­ди­те пе­ри­метр параллелограмма, если D K = 6, CK = 8 . Задача 6. D А В С K

Слайд 30

В С K Решение задачи 6. D А 6 8 1. ∠КАВ = ∠ DAK , так как АК – биссектриса; 2. DC=A В =6 + 8 = 14 см; 3 . ∠ ВАК= ∠АК D как накрест лежащие углы при AB ║ DC и секущей АК; 4 . ∆ ADK – равнобедренный по признаку, так как ∠АК D = ∠ DAK => DA=DK= 6 см, но DA=BC => ВС = 6 см; 5. Р = AD + DC + CB + AB = 6 + 14 + 6 + 14 = 40 см 6 6 14 Ответ: 40 см