Формулы длинны вектора, угла между векторами
план-конспект урока по геометрии (10, 11 класс)

Длина вектора. Угол между векторами

Заголовок статьи дает много информации о материале который будет изложен далее. Он достаточно прост для понимания, однако важный и нужный в дальнейшем обучении. На его основе будут формулироваться все следующие понятия и решаться различные задачи на плоскости, осуществляться вычисления.

Координаты вектора  равны разнице соответствующих координат конца и начала вектора. Если  и - соответственно начало и конец вектора, то

Длиной или нормой вектора (обозначают ) называют неотрицательное значение квадратного корня из суммы квадратов координат вектора

Например, если  то

.

Углом между ненулевыми векторами

и 

называется значение угла , которое определяется из равенства

Задача

Найти длину векторов и , если их начала и концы заданные вершинами

Решение.

Найдем векторы и 

Вычислим длину векторов

Найдем скалярное произведение векторов

Найденные значения подставляем в формулу для вычисления угла между векторами

Отсюда окончательно находим значение угла 

Задания для самостоятельной работы

Задача 1.

Определить угол между векторами и , если А (1; -3; -4),

В (-1; 0; 2), С (2; -4; -6), D (1; 1; 1).

Задача 2.

Найти скалярное произведение векторов , если , = 30°.

Задача 3.

При каких значениях длины векторов  и  будут равны?

Задача 4.

Вычислить угол между векторами  и  

Задача 5.

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

 и .

Задача 6.

Найти равнодействующую двух сил 1 и 2, если = 5H; = 7H, угол между ними  = 60°.

Задача 7.

Вычислить работу, которую производит сила  = (6; 2), если ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения А (-1; 3), в положение В (3; 4).

Задача 8.

Пусть – скорость материальной точки, – сила, действующая на нее. Чему равна мощность, развиваемая силой , если  = 5H,  = 3,5 м/с;

 = 45°

Задача 9.

Векторы  и  взаимно . Какой угол образуют векторы и , если ?