Методическая разработка урока геометрии в 10 классе "Теорема о трех перпендикулярах" (с применением методики УДЕ)
план-конспект урока по геометрии (10 класс) на тему

Этапы урока и их содержание

Деятельность

учителя

учащегося

I.Орг. момент

Организационная

Сообщают об отсутствующих

II. Постановка цели

Сегодня на уроке мы введем понятия расстояния от точки до плоскости, рассмотрим и докажем важнейшую теорему о трех перпендикулярах.
Также сформулируем и докажем обратную теорему.

В конце урока решим несколько задач с использованием теоремы о трех перпендикулярах.

Сообщает дату проведения урока, тему урока, цель урока.

Записывают в тетради.

III Актуализация знаний.

Устная работа: (слайд презентации № 2)

1. Угол между прямыми равен 900. Как называются такие прямые?

Ответ: Перпендикулярными

2. Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости.

Ответ: Нет.

3. Продолжите предложение: «Прямая перпендикулярна плоскости, если она …»

Ответ: … перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости

4. Что можно сказать о двух прямых, перпендикулярных к одной плоскости?

Ответ: эти прямые параллельны

5. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, …

Ответ: параллельны друг другу

6. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости?

Ответ: как длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

7. Вспомним, как называются отрезки АН, АМ, НМ, точки Н и М. (слайд № 3)

                                 А            АН  ┴ а, Н – основание перпендикуляра

                                               АМ- наклонная,     М – основание наклонной                   

     A                                            МН – проекция наклонной АМ на а

          М                         Н

Проводит беседу.

Принимают активное участие в устном опросе.

IV. Изучение нового материала.

1. Вводится понятие перпендикуляра к плоскости, наклонной, проекции наклонной на плоскость. (слайд № 4)

                                   А                              АН  ┴ α        

                                                                    Н – основание перпендикуляра

                                                                    АМ- наклонная

                                                                    М – основание наклонной

                                                                    МН – проекция наклонной АМ на

                                                                    плоскость α

                М                      Н

         α

Проводит беседу с учащимися, основываясь на их знания планиметрии

Принимают активное участие в устном опросе.

2. Докажите, что АН < АМ. Чему равен < МНА?

АН  ┴ α , МН ϵ α  =>  АН ┴ МН => < МНА = 900 =>       МНА – прямоугольный  => АН – гипотенуза, МН – катет => АН < АМ.

Вывод:  Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из этой же точки к  этой плоскости.  (слайд № 5)

3. Сформулируем одновременно и прямую, и обратную теорему, используя методику УДЕ (укрупнения дидактических единиц):

Теорема. Если из некоторой  точки А проведены к плоскости  α перпендикуляр АА1 и наклонная АВ, и в этой плоскости проведена прямая СD, перпендикулярная к , то данная прямая СD соответственно перпендикулярна   к . (слайд 6)

                                                 А                                                                                                                                  

                                                 β

                                                                                        C

                                         А1                                    В

                                                                         D

                           α

(Красным цветом обозначена прямая теорема, а синим – обратная теорема).

  (Слайд № 7)  АА1 ┴ α                                              CD ┴ АВ

                                                  CD ┴ А1В      

Доказательство: (слайд № 8)

                       АА1 ┴ α                                                     CD ϵ α      

                       CD ┴ АА1                                                  CD ┴ АВ

                       CD ┴ β                                                         АВ ϵ β

                                                                                             А1В ϵ β                                                                                                                                                                            

                                                       CD ┴ А1В

Словесное изложение доказательств обеих теорем, которое также можно записать совместно:

 (слайд № 9):

1. Так как по условию прямая АА1 перпендикулярна  плоскости α, то она перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности и  прямой CD.
2. Прямая CD, перпендикулярная двум прямым   , перпендикулярна к плоскости β = (АА1В), образуемой этими прямыми.
3. Но в плоскости β лежит третья , к которой будет перпендикулярна прямая СD.

Корректирует рассуждения учащихся.

Объясняет, используя презентацию. (слайд презентации № 6).

Использует граф-схему (Слайд №7), объясняет условие прямой и обратной теорем.

Доказывает прямую теорему (сплошные стрелки красного цвета  в граф-схеме), используя презентацию

(Слайд № 8)

Учитель при необходимости задает наводящие вопросы.

(Слайд № 8)

Учащиеся рассуждают, используя знания планиметрии.

Самостоятельно делают вывод, сравнивая длину наклонной и перпендикуляра, проведенных из одной точки к данной плоскости.

Внимательно слушают объяснение учителя и записывают в тетрадь.

Внимательно слушают объяснение учителя и записывают в тетради условия теорем.

Учащиеся доказывают  под руководством учителя обратную теорему

(пунктирные  стрелки синего  цвета  в граф-схеме). (Слайд № 8)

После окончания доказательства обучающиеся отвечают на вопрос: «О каких же трех перпендикулярах идет речь?»

V. Формирование умений и навыков учащихся

1. Применение знаний в стандартной ситуации.

1. Решение задачи № 145   (самостоятельно).

Через вершину А прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая AD, перпендикулярная к плоскости треугольника.

а) Докажите, что        CВD  прямоугольный.                                                               D

б) Найдите BD, если ВС = а, DC = b.

Дано:

     АВС – прямоуг.                                                                                 в

     С = 900                                                                                 В                                                                   А      

АD  ┴  (АВС)                                                                                                                  

ВС = а, DC = b                                                         а

а) Доказать:    СВD - прямоугольный                

б) Найдите BD                                                         С

Решение:  

а)

1. DA ┴(АВС), DC – наклонная, АС – проекция наклонной DC на плоскость  (АВС).

                                                                         ТТП

2.     АВС – прямоуг. =˃ АС (проекция)  ┴  ВС  => DC (наклонная) ┴  ВС =>

3. =>     CВD -  прямоугольный.

    б)                                                                     т. Пиф.

    1.      CВD -  прямоугольный, ВD – гипотенуза  = >    ВD = √ CD2 + ВС2

         ВD = √ b2 +а2      (ед.)

                                                         Ответ:      СВD – прямоугольный;

                                                                                      ВD = √ b2 + а2      (ед.)

Следит за верностью рассуждений учащихся, проверяя ход решения задачи учеником у доски и учеников класса на местах.

1 ученик решает эту задачу самостоятельно.

Остальные решают в тетрадях.

Проверяют верно ли они решили задачи.

VII. Итог урока. 

Устно:

1. Ответить на вопросы:

а)  Сравните длины перпендикуляра и  наклонной, проведенных из одной точки к заданной плоскости.

б)  Как  формулируется прямая теорема о трех перпендикулярах? Почему она так называется?

в)  Как формулируется обратная  теорема о трех перпендикулярах?

2. Как  доказать, что диагональ куба В1D перпендикулярна прямой AC? (слайд № 10).

Подводит итог урока, выставляет оценки.

Отвечают на вопросы

VIII. Рефлексия

Оценивают свою деятельность на уроке.

 IX.  Домашнее задание. п.19-20,  № 140, № 144

Поясняет домашнее задание

Внимательно прослушав пояснение учителя, записывают домашнее задание.

X. Конец урока