Урок геометрии в 11 классе «Комбинация шара с многогранниками и круглыми телами »
план-конспект урока по геометрии (11 класс) на тему

Урок геометрии в 11 классе

Тема урока:  «Комбинация шара с многогранниками и круглыми телами »

        Задачи на вписанные, описанные шары (сферы) считаются самыми сложными в курсе стереометрии. При решении этих задах обучающиеся должны показать знание сразу нескольких разделов математики: планиметрии, стереометрии, алгебры, тригонометрии, математического анализа.

        Задачи на комбинацию тел вызывают затруднения при построении чертежа и определении зависимости радиуса описанного (вписанного) шара (сферы) от элементов многогранников и круглых тел.

        Учитывая сложность этих задач, изучение темы «Вписанные и описанные многогранники» предложено изучить методом проектов группой обучающихся, увлечённых математикой.

        Тема проекта: «Комбинация шара с многогранниками и круглыми телами».

        Тема исследования: «Выявление зависимости радиуса описанного (вписанного) шара от элементов многогранников и круглых тел».

Одной из задач исследования было: рассмотреть взаимное расположение элементов многогранников и круглых тел, вписанных в шар, построив сечение шара плоскостью большого круга, проведённой перпендикулярно плоскостям оснований вписанных тел.

В ходе рассмотрения возникла необходимость доказательства того, что сечения для пирамиды, призмы, цилиндра, конуса являются частными случаями сечений для усечённого конуса и усечённой пирамиды.

Используя доказанное, что общий вид сечения – это сечение для усечённого конуса и усечённой пирамиды, появилась возможность вывода обобщённой формулы для определения величины радиуса шара, описанного около многогранников и круглых тел.

Так как обобщённая формула радиуса описанного шара облегчает решения многих задач на комбинацию тел, возникла необходимость рассмотрения вывода её на уроке геометрии в 11 классе.

Цель урока: вывести обобщённую формулу радиуса описанного шара около многогранников и круглых тел через организацию исследовательской деятельности обучающихся на уроке.

Ход урока.

I.Актуализация знаний, необходимых для достижения цели урока.

Выяснить:

а) Около любого ли многогранника и круглого тела можно описать шар?

б) Где расположен центр шара, описанного около призмы, пирамиды, конуса, цилиндра, усечённого конуса, усечённой пирамиды?

II.Формулирование проблем,  гипотезы, доказательства.

1.Построить сечения пирамиды, вписанных в шар, плоскостью большого круга, проведённой перпендикулярно плоскостям оснований вписанных тел.

2.Сравнить сечения, установить сходства и различия их.

3.Распределить сечения по группам, выделяя в них сходственные признаки.

4. Показать, что сечения для пирамиды, призмы, цилиндра, конуса являются частными случаями сечений для усечённого конуса и усечённой пирамиды.

Действительно, в сечениях получили большой круг. Хорды этого круга изображают диаметры кругов, описанных около оснований призмы и цилиндра, пирамиды и конуса, усечённого конуса и усечённой пирамиды.

Для конуса и пирамиды     Для цилиндра и призмы   Для усечённого конуса и усечённой пирамиды                                                       

                   Рисунок 1                            Рисунок 2                                 Рисунок 3

На рис.3 NM – высота усечённого конуса или усечённой пирамиды. Изменяясь, NM достигнет величины отрезка ME, тогда CN = ND станет равной нулю, а сечение для усечённого конуса и усечённой пирамиды примет вид сечения для конуса и пирамиды (рис.1).

        Изменение высоты NM может привести к равенству радиусов AM=MB=CN=ND, высота остаётся больше нуля, но меньше диаметра шара. В этом случае сечение для усечённого конуса и усечённой пирамиды примет вид сечения для цилиндра и призмы (рис. 2).

5. Гипотеза. Существует обобщенная формула для определения радиуса шара, описанного около многогранников и круглых тел.

 Задача. Используя общий вид сечения многогранников и круглых тел, сечения для усечённого конуса и усечённой пирамиды, вывести обобщённую формулу для определения величины радиуса шара, описанного около данных тел.

        Пусть EN=x, NF=y, MN=H, AM=MB=a, CN=ND=b,  R- радиус шара.

1. 
2. Рассмотрим ∆EAF- прямоугольный  (так как   A опирается на дугу в 1800, то он равен 900).
3. Высота, проведённая из вершины прямого угла, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу, то есть AM2=EM·MF.
4. a2=(x+H) ·(y-H)
5. Аналогично: из прямоугольного ∆ECF

CN2=NE·NF; b2=x·y

6. Найдём x, y из системы уравнений:

   x 0  y> 0

x= - +y=+     

R =, ab

Чтобы найти радиус шара, описанного около конуса и пирамиды, полагаем в формуле R  b=0, тогда R=или R =

 – образующая конуса или длина бокового ребра пирамиды. Чтобы найти радиус шара, описанного около цилиндра и призмы, полагаем a = b, тогда R =

 Итак, гипотеза верна.  Обобщённая формула для вычисления радиуса описанного шара около призм, пирамид и круглых тел существует.

        Предложенный способ решения задач на вычисление величины радиуса шара, описанного около круглых тел, призм и пирамид прост и понятен, ускоряет процесс решения задач на комбинацию шара с многогранниками и круглыми телами.

3.Подведение итогов урока.

Что нового вы узнали на уроке?

Какие трудности были у вас при изучении нового материала?

Как вы с ними справились?

Насколько важна рассмотренная теория лично для тебя?

4.Домашнее задание. Подготовиться теоретически к решению задач на комбинацию шара с многогранниками круглыми телами.