Методическая разработка на тему "Комбинации шара с многогранниками и круглыми телами".
методическая разработка по геометрии (11 класс) на тему

§1. КОМБИНАЦИИ ШАРА С МНОГОГРАННИКАМИ.

       Т е о р е м а 1.1. Через любые четыре точки, не принадлежащие одной плоскости, можно провести одну и только одну сферу.

       Доказательство.

Пусть А, В, С, D– данные точки. Точка О, одинаково удаленная от всех точек, должна принадлежать плоскости α, перпендикулярной отрезку АВ и проходящей через его середину. Аналогичные утверждения верны для плоскостей β и γ, проведенных соответственно через середины отрезков ВDи ВС перпендикулярно к этим отрезкам. Докажем, что αβ. Действительно, если α׀׀β, то прямая ВD, перпендикулярная β, перпендикулярна и α. Тогда через точку В к плоскости α были бы проведены два различных перпендикуляра ВА и ВD, что невозможно. Аналогично можно доказать, что   βγ.

Пусть αβ = m, βγ = n. Прямые mи n, лежащие в плоскости β, не могут быть параллельны. Действительно, пусть m׀׀n. Так как mАВ и mВD, то m(АDВ). Аналогично убеждаемся, что n(ВDС). Но тогда получаем, что (АDВ)׀׀(ВDС), а это противоречит условию теоремы. Итак, мы показали, что прямые mи nпересекаются. Значит, плоскости α, β, γ имеют общую точку, и притом только одну. Эта точка и является центром сферы, проходящей через А, В, С, D.

       С л е д с т в и е. Через окружность и точку, не принадлежащую плоскости окружности, можно провести одну и только одну сферу.

Действительно, три произвольно взятые точки А, В, С окружности и данная точка Dобразуют четверку точек, не лежащих в плоскости. Сфера, проходящая через эти точки, пересекает плоскость (АВС) по данной окружности, так как через точки А, В, С нельзя провести две различные окружности.

       О п р е д е л е н и е. Сфера называется описанной вокруг многогранника, если все его вершины принадлежат сфере.

        Т е о р е м а 1.2. Для того, чтобы вокруг пирамиды можно было описать сферу необходимо и достаточно, чтобы вокруг основания пирамиды можно было описать окружность.

       Доказательство.

1. Достаточность.Пусть вокруг основания пирамиды описана окружность ω. Через вершину Sи окружность ω проходит единственная сфера σ (следствие). Эта сфера описана около данной пирамиды.
2. Необходимость.Пусть существует сфера σ, описанная вокруг пирамиды. Плоскость основания пирамиды пересекает сферу по окружности ω, описанной вокруг этого основания.

       Т е о р е м а 1.3. Для того, чтобы вокруг призмы  можно было описать сферу необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия: 1) призма была прямой; 2)вокруг ее основания можно было описать окружность.

       Доказательство.

1. Достаточность. Пусть вокруг основания АВСDпрямой призмы можно описать окружность ω. Через эту окружность и точку А₁ проходит единственная сфера σ. Плоскость боковой грани АВВ₁А₁ пересекает сферу по окружности ω₁, которая проходит через три вершины А, В, А₁ прямоугольника АВВ₁А₁. Вершина В₁ принадлежит этой окружности, следовательно В₁σ. Аналогично доказываем, что С₁σ и D₁σ.
2. Необходимость. Пусть существует сфера, описанная вокруг данной призмы АВСDА₁В₁С₁D₁. Плоскость основания призмы пересекает сферу по окружности ω, описанной вокруг этого основания. Плоскость боковой грани АВВ₁А₁ пересекает сферу по окружности ω_1, описанной вокруг параллелограммаАВВ₁А₁. Такой параллелограмм как известно является прямоугольником, следовательно АА₁АВ. Аналогично доказываем, что АА₁АD. Тогда АА₁(АВС) и АВСDА₁В₁С₁D₁ – прямая призма.

       О п р е д е л е н и е. Сфера называется вписанной в многогранник, если все грани многогранника касаются  сферы.

Решения задач на вписанные сферы основаны, по существу на следующих свойствах:

1. если плоскость (или прямая) касаются сферы, то расстояние от центра сферы до этой плоскости (или прямой) равно радиусу сферы;
2. если сфера касается двух пересекающихся плоскостей, то центр сферы лежит в биссекторной плоскости двугранного угла, образованного этими плоскостями;
3. если в многогранник вписана сфера, то

V=  rS,

где r– радиус сферы, Vи S– объем и полная поверхность многогранника.

       Докажем свойство 3) на примере сферы, вписанной в тетраэдр.

Пусть сфера σ с центром в точке О и радиусом rвписана в тетраэдр DАВС. Сфера касается всех граней тетраэдра и расстояние от точки О до граней равно радиусу сферы (свойство 1). Это расстояние равно высотам пирамид ОАВС, ОАВD, ОАDС, ОВСD. Имеем:

V_DАВС= V_ОАВС + V_ОАВD+ V_ОАDС + V_ОВDС ;

V_DАВС=  r S_ОАВС+  r S_ОАВD +  r S_ОАDС+  r S_ОВDС;

V_DАВС=  r (S_ОАВС+ S_ОАВD + S_ОАDС+ S_ОВDС)_;

V_DАВС = rS,где S– полная поверхность тетраэдра DАВС.

Для произвольного многогранника свойство 3) доказывается аналогично.

   Рассмотрим решение некоторых задач.

      З а д а ч а 1.1. Для правильного тетраэдра со стороной а, найдите: а) радиус вписанного шара; б) радиус описанного шара; в) докажите, что центры описанного и вписанного шаров совпадают.

      Р е ш е н и е.

а) Пусть SABC– данный тетраэдр, SН (АВС), Н – центр Δ АВС. Тогда АН – радиус окружности, описанной около Δ АВС, . По теореме Пифагора из ΔSАH. Имеем   с другой стороны , где r– радиус вписанного шара, S_п.п.– полная поверхность пирамиды, SН – высота пирамиды. Тогда ; S_п.п=4S_АВС; . (Мы не находили центр вписанного шара. Для нахождения радиуса шара воспользовались «методом объемов». Очевидно, что центр вписанного шара принадлежит высоте пирамиды – SH).

б)  В плоскости (SAН) через точку М – середину SAпроведем nSA. SHn= О. Точка О – центр шара, описанного около тетраэдра SAВC. SO - радиус шара, описанного около тетраэдра.

Δ SМО  подобен Δ SHAпо двум углам.

в) Заметим, что r+ R= . Значит, центры описанного и вписанного шаров совпадают и эта точка – центр тетраэдра -  делит высоту тетраэдра в отношении 3 : 1, считая от вершины тетраэдра.

      З а д а ч а 1.2. Две грани треугольной пирамиды – равные между собой прямоугольные треугольники с общим катетом, равным lУгол между этими гранями равен α. Две другие грани пирамиды образуют двугранный угол β. Найти радиус шара, описанного около пирамиды.

       Р е ш е н и е.

Пусть SABC– данная пирамида. По условию SA(АВС), SA=l. Проведем SК ВС, по теореме о трех перпендикулярах AК ВС. SKА – линейный угол двугранного угла при ребре ВС, SKА= β.

Из центра окружности, описанной около Δ АВС – точки О₁, восстановим перпендикуляр mк плоскости (АВС). Заметим, что m|| SA. В плоскости (SAK) через точку М – середину SAпроведем nSA. mn= О. Точка О – центр шара, описанного около пирамиды SAВC.

  Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью (SAK). Искомый радиус – АО можно найти из Δ АО₁О по теореме Пифагора: О₁О = , АО₁ – радиус окружности, описанной около Δ АВС. Из Δ SAK: АК= lctgβ. Из Δ АВС:

АО₁= .

R= AO= .

Ответ: радиус шара, описанного около пирамиды равен .

  З а д а ч а 1.3. В пирамиде ABCDимеем АВ = 6, CD= 8. Остальные ребра равны . Найти радиус шара, описанного около пирамиды.

       Р е ш е н и е.

В пирамиде ABCDимеем AD= ВD, следовательно, высота, опущенная из точки D, проецируется на серединный перпендикуляр к АВ, так как АВС – равнобедренный, то Dпроецируется на высоту треугольника АВС, проведенную из точки С. Пусть СМ АВ.    Δ АВС = Δ АВD(по трем сторонам), DМ АВ, СМ СМ = .

          Из центра окружности, описанной около Δ АВС – точки О₁, восстановим перпендикуляр mк плоскости (АВС). Заметим, что m|| DH(DH– высота пирамиды). В плоскости (DMC) через точку К– середину DCпроведем nDC. Так как СМ=DМ, то прямая  nсовпадет с МК. mn= О. Точка О – центр шара, описанного около пирамиды AВCD.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью (CMD). Искомый радиус – CО можно найти из Δ CО₁О по теореме Пифагора.

СО₁ – радиус окружности, описанной около Δ АВС.

СО₁=

Δ МО₁О  подобен Δ МКС по двум углам. .

. . КС = 4.

Из Δ CО₁О по теореме Пифагора:

Ответ: радиус шара, описанного около пирамиды равен 5.

       З а д а ч а 1.4. Через центр О данной сферы проведено сечение. Точка К выбрана на сфере, а точки А, В, С, D– последовательно на окружности сечения так, что объем пирамиды КАВСDнаибольший. Точка М – середина отрезка ВС. Найдите косинус угла между прямыми KMи BD.

       Р е ш е н и е.

      Пусть R– радиус сферы. Так как четырехугольник ABCDвписан в окружность сечения радиуса R, то его диагонали АС и BD– хорды этой окружности и поэтому и . Отсюда для определения площади четырехугольника  ABCDимеем неравенство

. При этом  , только если , то есть из всех четырехугольников, вписанных в данное сечение сферы, наибольшую площадь имеет квадрат ABCD.

         Пусть Н – высота пирамиды  КABCD, равная расстоянию от точки К сферы до плоскости (АВС). Так как точка К лежит на сфере, то . Поэтому для объема пирамиды имеем , если АС и BD– перпендикулярные диаметры сечения, а вершина К проектируется в центр О сечения. Таким образом, пирамида КABCDпри указанных условиях имеет наибольший объем, если ее основание ABCD– квадрат, вписанный в окружность сечения радиуса R, а вершина К проектируется в центр квадрата, то есть . Отсюда следует, что пирамида КABCDправильная.

       Пусть ML– средняя линия треугольника ОВС, параллельная ОВ. Тогда ML=0,5ОВ=0,5Rи так как ML|| BD, то угол KMLесть угол между прямыми KMи BD. Пусть .

        Из равенства треугольников ОКВ, ОКС, ОВС следует, что треугольник КВС – правильный со стороной ВС=ОС. Значит, его медиана КМ=. Так как  и , то  и значит, . Из прямоугольного треугольника KMLимеем .

Ответ: косинус угла между прямыми KMи BDравен .

       З а д а ч а 1.5. В шар радиусом 2вписана правильная треугольная призма АВСА₁В₁С₁. Прямая ВА₁ образует с плоскостью ВСС₁ угол . Найдите объем призмы.

       Р е ш е н и е.

       Пусть   - середина В₁С₁. Так как призма правильная, то и , и по признаку перпендикулярности прямой и плоскости . Значит, , как угол между прямой А₁В и плоскостью (ВСС₁).

      Пусть М и М₁ – центры оснований призмы, а О – середина ММ₁. Тогда точка О – центр описанного шара. Из условия радиус шара .

        Пусть АВ = а. Тогда . Но  прямоугольный и . Следовательно, . Из       . Отрезок . Отрезок . Поэтому из прямоугольного имеем . Следовательно, . Объем призмы находим по формуле . Но . Отсюда

Ответ: объем призмы равен 72.

       З а д а ч а 1.6. Доказать, что во всякую пирамиду, у которой двугранные углы при сторонах оснований равны, можно вписать сферу.

       Р е ш е н и е.

       Пусть SА₁А₂…Аn– данная пирамида. SH(А₁А₂А₃). Проведем SК₁А₁А₂, SК₂А₂А₃, …, SК_nА_nА₁. По теореме о трех перпендикулярах HК₁А₁А₂, HК₂А₂А₃, …, HК_nА_nА₁. Тогда SK₁H, SK₂H, …, SK_nH– линейные углы при сторонах основания пирамиды. По условию SK₁H=SK₂H= …=SK_nH. Прямоугольные треугольники SK₁H, SK₂H, …, SK_nHравны так как они имеют общий катет SHи равные острые углы, противолежащие этому катету.

            Впишем в SK₁Hполукруг, центр О которого лежит на высоте SH  и дуга касается сторон SK₁H. Тогда К₁О – биссектриса SK₁H. При вращении полученного полукруга вокруг оси SH  получим шар, вписанный в пирамиду. Точки касания сферы и боковых граней будут принадлежать высотам этих граней, проведенных из вершины S. Этот шар касается основания пирамиды в точке H, центр шара – точка пересечения высоты пирамиды и биссектрисы одного из линейных углов двугранного угла при основании пирамиды.

       З а д а ч а 1.7. Доказать, что в прямую призму можно вписать сферу тогда и только тогда, если: а) в основание призмы можно вписать окружность; б) высота призмы равна диаметру этой окружности.

       Р е ш е н и е.

       1. Достаточность. Через центр О₁ окружности, вписанной в основание призмы, проведем высоту О₁О₂ призмы. Из точек О₁ и О₂ проводим перпендикуляры О₁К и О₂М соответственно к ребрам ВС и В₁С₁. Рассмотрим окружность с центром в точке О – середине отрезка О₁О₂  и радиусом ОО₁. По условию ОО₁ = О₁К, поэтому окружность касается отрезка КМ в его середине. При вращении окружности вокруг О₁О₂ получим сферу, вписанную в данную призму.

       2. Необходимость. а) Спроектировав вписанную сферу на плоскость основания призмы параллельно ее боковому ребру, получим круг, вписанный в основание призмы.

б) Соединим центр О вписанной сферы и точку О₁ касания сферы с плоскостью (АВС). По свойству касательной плоскости ОО₁(АВС). Продолжим ОО₁ до пересечения с (А₁В₁С₁), получим высоту О₁О₂ призмы, равную диаметру сферы.

       З а д а ч а 1.8. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник с углом α при вершине, все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом β. Радиус шара, вписанного в пирамиду равен r.Найти объем пирамиды.

       Р е ш е н и е.

       Пусть SABC– данная пирамида. Так как все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом β, то высота пирамиды проецируется в точку Н – центр окружности, вписанной в основание. Проведем SК ВС, по теореме о трех перпендикулярах НК ВС. SKН – линейный угол двугранного угла при ребре ВС, SKН= β. Центр шара – точка О – точка пересечения высоты пирамиды и биссектрисы одного из линейных углов двугранного угла при основании пирамиды (см. задачу №4). , КО – биссектриса SKН.

В : , . . Из : , .

В : , , , , .

, , .

Ответ: объем пирамиды равен .

       З а д а ч а 1.9. Около шара описан прямой параллелепипед, у которого диагонали основания равны а и в. Определить полную поверхность параллелепипеда.

       Р е ш е н и е.

       Так как в параллелепипед вписан шар, то в основании параллелепипеда лежит параллелограмм, в который можно вписать окружность. Следовательно,  АВСD– ромб. Высота параллелепипеда равна диаметру вписанного шара: Н = 2r.

Имеем  с другой стороны , тогда

Ответ: площадь полной поверхности параллелепипеда равна .

       З а д а ч а 1.10. Основание пирамиды SABC– прямоугольный треугольник, катеты СА и СВ которого равны а. Боковое ребро SCперпендикулярно основанию и также равно а. Найти радиус сферы, вписанной в пирамиду.

       Р е ш е н и е.

       Имеем   с другой стороны , где r– радиус вписанного шара, S_п.п.– полная поверхность пирамиды, Н – высота пирамиды. Тогда ,   S_п.п.= S_ABC+ S_SAC+S_SBC;                                  ; ;

ΔASB– равносторонний со стороной , тогда ;                                           

Ответ: радиус шара, вписанного в пирамиду равен .

Задачи для самостоятельного решения.

1.Пирамида, основание которой прямоугольник со сторонами 6 и 7 дм, вписана в сферу. Высота пирамиды проходит через вершину основания и равна 6 дм. Найти радиус сферы.

Ответ: 5, 5 дм

2. Основанием пирамиды служит квадрат со стороной а , два двугранных угла при ребрах основания прямые, а два других равны . Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.

Ответ:.

3. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник с длиной стороны, равной а. Высота пирамиды проходит через середину одного из ребер основания и имеет длину . Найти радиус шара, описанного вокруг пирамиды.

Ответ:.

4. Найти радиус сферы, вписанной в тетраэдр, у которого пять ребер равны по 2, а шестое равно 1.

Ответ:.

5. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды, в 3 раза больше высоты пирамиды. Найдите квадрат отношения площади поверхности пирамиды к площади ее основания.

Ответ:  1,4.

6. В треугольной пирамиде SABCбоковая грань SBCобразует с плоскостью основания АВС двугранный угол, равный . Треугольники SBCи АВС – равнобедренные с общим основанием ВС = а. Высота пирамиды равна h. Центр шара, описанного около пирамиды, лежит в плоскости основания. Найдите радиус описанного шара.

Ответ:.

7. Дана треугольная пирамида, длины ребер которой равны 15, 9, 9, 12, 12, 3.Найдите радиус описанной вокруг пирамиды сферы.

Ответ:  7,5.

8. Грани АВС и АВDтетраэдра ABCD– равносторонние треугольники со стороной а. Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр, если плоскости данных граней взаимно перпендикулярны.

Ответ: .

9. В правильную четырехугольную пирамиду SABCD, у которой АВ=1дм,

SA=дм, вписан шар. Через точку шара, ближайшую к вершине S, проедена плоскость, параллельная стороне АВ. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.

Ответ:дм.

10. Найти площадь поверхности шара, вписанного в пирамиду, основанием которого служит треугольник со сторонами 13см, 14см, 15см, если вершина пирамиды удалена от каждой стороны основания на расстояние 5см.

Ответ:см².

11. Основанием пирамиды служит ромб с острым углом . Найти объем пирамиды, если боковые грани образуют с основанием один и тот же двугранный угол , а радиус вписанного в не шара равен r.

Ответ:.

12. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, равные стороны которого имеют длину b, соответствующие им боковые грани перпендикулярны плоскости основания и образуют между собой угол . Угол между третьей боковой гранью и плоскостью основания также равен . Найти радиус шара, вписанного в пирамиду.

Ответ: .

13. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, боковая грань составляет с плоскостью основания угол . Найти радиус описанного шара.

Ответ: .

14. Около шара описана прямая призма, основанием которой служит ромб. Большая диагональ призмы составляет с плоскостью основания угол . Найти острый угол ромба.

Ответ:.

15. Основанием пирамиды служит прямоугольник, у которого угол между диагоналями равен . Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, а наибольшее боковое ребро составляет с плоскостью основания угол . Радиус шара, описанного около пирамиды равен R. Найти объем пирамиды.

Ответ:.

16. Основанием прямой призмы, описанной около шара радиуса r, служит прямоугольный треугольник с острым углом .Найти объем призмы.

Ответ:.

17. Все ребра тетраэдра ABCDимеют равную длину. На ребрах АВ, АС и ADвыбраны соответственно точки K, L, M так, что КВ=12, MD=8. Известно, что радиус шара, описанного около тетраэдра ABCD, равен , а объем пирамиды AKLMравен . Найдите сумму радиусов двух шаров: вписанного в пирамиду AKLM и описанного около нее.

Ответ:.

18. Основанием четырехугольной пирамиды SABCDслужит квадрат ABCD, а высота пирамиды совпадает с ребром SA. Найти высоту пирамиды, если радиус вписанного в пирамиду шара равен 3см, а сторона квадрата ABCDравна 15см.

Ответ:8 см.

19. В шар вписана прямая призма, в основании которой – правильный треугольник, а высота призмы равна стороне основания. Найти отношение объема призмы к объему вписанной в тот же шар правильной шестиугольной пирамиды, боковое ребро которой равно удвоенной стороне основания.

Ответ:.

20. Ребро SAчетырехугольной пирамиды SABCDперпендикулярно плоскости основания ABCD. Длина ребра SAравна 1. Основанием служит квадрат ABCDсо стороной 8. Точки Р и М  - середины отрезков ADи CD. Найти радиус сферы, вписанной в пирамиду SDPM.

Ответ:.

21. Основанием пирамиды служит ромб, длина стороны которого  2 см, а величина острого угла равна . Шар, радиус которого равен см, касается плоскости каждой боковой грани в точке, лежащей на стороне основания пирамиды. Доказать, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания пирамиды. Найти объем пирамиды.

Ответ:см³.

22.       В сферу радиуса см вписан параллелепипед, объем которого равен 8 см³. Найти площадь полной поверхности параллелепипеда.

Ответ: 24см².

23. В прямую призму АВСDА₁В₁С₁D₁, нижним основанием которой является ромб АВСD, вписан шар радиуса R. Найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины А, В, С₁, если известно, что .

Ответ:.

24. Правильная треугольная призма АВСА₁В₁С₁ описана около шара радиуса r, М – середина ребра ВВ₁, N– середина ребра СС₁. В шар вписан цилиндр так, что его основание лежит в плоскости (AMN). Найти объем этого цилиндра.

Ответ:.

25. В правильный тетраэдр SABCс ребром а вписана сфера. На ребре SAвзята точка М так, что SM=AM, а на ребре ВС взята точка Nтакая, что 2CN=NB. Прямая MNпересекает сферу в двух точках Pи Q. Найти длину отрезка PQ.

Ответ:.

26. В пирамиде SABCоснование Н высоты SHлежит на медиане СМ основания АВС. Точка О, являющаяся серединой высоты SH, находится на одинаковом расстоянии от точки S, точки Е, лежащей на ребре SAи точки F, лежащей на ребре SB. Известно, что SH=8, АВ=, , угол SMCсоставляет не более , а расстояние между вершинами ребер АВ и SCравно . Найти радиус сферы, вписанной в пирамиду SABC.

Ответ:.

27. В тетраэдре длины двух непересекающихся ребер равны 12 и 4, а остальные имеют длину 7. В пирамиду вписана сфера. Найти расстояние от центра сферы до ребра длины 12.

Ответ:.

28. В основании пирамиды SABCлежит равнобедренный треугольник АВС такой, что , АС=АВ=. Основание Н высоты SHпирамиды расположено так, что , ВН ׀׀АС. Найти радиус описанного около пирамиды SABCшара, если .

Ответ:.

29. Все ребра тетраэдра ABCDимеют одинаковую длину. На ребрах АВ, АС,

ADвыбраны соответственно точки K, L, Mтак, что КВ=15, MD=10. Известно, что радиус шара, вписанного в тетраэдр ABCDравен, а объем пирамиды AKLMравен . Найти сумму радиусов двух шаров, вписанного в пирамиду и описанного около нее.

Ответ:.

30. Основанием вписанной в сферу четырехугольной пирамиды SABCDслужит параллелограмм ABCD. Найти диагональ SD, если SA=7, SB=3, SC=6 и .

Ответ: 6.

§2. ШАР, КАСАЮЩИЙСЯ РЕБЕР МНОГОГРАННИКА

     Пусть шар касается всех ребер некоторого многогранника. Тогда справедливы следующие утвержде­ния:

(1)каждая грань многогранника пересекаетповерхностьшара по окружности, касающейся ребер многогранника, то есть по окружности, вписаннойв грань; темсамымгранями многогранника будут такиемногоугольники, в которые можно вписать окружность;

(2) основание перпендикуляра, опущенногоиз центра шарана любуюгрань многогранника, является центромокружности, вписанной в этугрань;

(3) перпендикуляры, восставленные к плоскостям граней в центрахвписанных окружностей, пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех ребер многогранника- вцентре шара:

(4) отрезок перпендикуляра, опущенного из центра шарана ребро многогранника, равен радиусу шара.

Теперь рассмотрим некоторые типы многогранников, для которых существуетуказанный шар.

Шар, касающийся ребер призмы

Т е о р ем а 2.1.Шар, касающийсявсех ребер призмы, существует тогда и только тогда, когда эта призмаправильная и все ее ребра равны междусобой.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть искомыйшар существует. Сначала докажем, что тогда призма - пря­мая. Проведем через центр К шара, высоту  призмы: КO(АВС),  ().По свой­ству (2) точки Oи  являются центрамиокружностей, вписанных в равные основания призмы, следовательно,  = OM(, ) как радиусы равных окружностей. ТочкиO,,  M и  лежат в одной плоскости, проходя­щейчерез прямую , и перпендикулярнойк АВ, по­этому - прямоугольники

 (ABC). Далее, ∆ = ∆OMB, поэтому , то есть  - прямоугольник, || (ABC).

     Таким образом, боковые грани призмы являются прямоугольниками. Но по свойству (1) в эти грани можно вписать окружность, а если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник - квадрат; следовательно, бо­ковые грани призмы – квадраты. Отсюда АВ = ВВ= ВС=…, то есть в основании призмы лежит многоугольник с равными сторонами.Спроектируем призмус шаром наплоскость АВС; призма спроектируется в многоугольник АВС..., а шар - в окружность, описанную вокруг этого многоугольника. Но многоугольник с равными сторонами, вписанный в окружность, - пра­вильный, поэтому и призма     - правильная.

Теперь докажем, что дляправильнойпризмы с равными ребрамиуказанный шар существует. Для этого нужно показать, что существует точка, равноудаленная от всех ребер этой призмы.Такой точкой является середина К отрезка , соединяющего центры оснований.

В самом деле, заметим, что отрезки КМ, КМ,КN (и т. п. ) равны, как гипотенузы прямоугольных треугольников, один катет которых равен КО, а другой - апофеме правильного многоугольника АВС..., и равны перпендикулярам, опущенным из точки К на боковые ребра призмы: KF= ОА, вимеем AM=   AB=   BB = OO = KO,   OM- апофема (аналогичнорассматриваютсяостальные боковые реб­ра).

Таким образом, теорема доказана. Причем доказано даже, что радиусшара, касающегося ребер такой призмы, равен радиусу окружности, описаннойвокруг основания призмы. На этом утверждении базируется решение задач на шар, касающийся ребер призмы.

З а д а ч а 2.1. В n-угольную призму вписаны два шара: один касается всехее граней, адругой- всехее  ребер.Какаяэто призма?

  Р е ш е н и е.

По теореме 1 эта призма - правильная. Далее, с одной стороны, MM = OM+  , поскольку в данную призму можновписать шар; с другой стороны, MM = AB, посколькусуществует шар, касающийся всех ребер призмы.Отсюда OM+  = AB, 2OM= AB.

Но OM= , поэтому  = 1, n= 4. Следовательно, призма представляет собойкуб.

Шар, касающийся ребер пирамиды.

З а д а ч а 2.2. Шар касается всехребер тетраэдра. Доказать, что суммы противоположных ребер этого тетраэдра равны.

       Р е ш е н и е.

Пусть шар касается ребер тетраэдраSAВСв точках M, N, K,F, Р, E. Касательные, проведенные из одной точки к данному шару, равны, поэтому  

SM=SN=SK,                                                                                    AM=AP=AF,                                                               

BP=BK=BE,                                                              

CN=CF=CE.                                                              

     В каждую из суммAS+ BC, AC+ BS, AB+ CSвходит ровно по одному отрезку из групп (1) – (4), следовательно, эти суммыравны.

     Т е о р е м а 2.2. Если центр шара, касающегося всех  ребер пирамиды, лежит на ее высоте, то такая пирамида - правильная.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

 Пусть центрК шара лежит на высоте SO.Прямоугольные треугольники, (и т.д.) имеютобщуюгипотенузу SKи равные катеты: (радиусы шара), поэтому они равны. Отсюда∆SK = .

     Прямоугольныетреугольники ASO, BSO (ит. д.) имеют общий ка­тет SOи равные острые углы при вершине S, поэтому они равны и ОА = ОВ = ОС=….Следовательно, О - центрокружности,описанной вокруг основания пирамиды.

     По свойству (2) точка О является также центром окружности, вписанной в основание пирамиды. А если описаннаявокруг многоугольникаивписанная в многоугольник окружности являются концентрическими, то этот многоугольник - правильный (докажите!). Следовательно, исходная пирамида – правильная, теорема доказана.

При решении задач на шар, касающийсяребер правильной пирамиды, полезно использовать подо­бие прямоугольных треугольников и АSО ( - общий, ).

З а д а ч а 2.3. Сторона основанияправильнойчетырехугольнойпирамиды равна а, двугранный угол при боковомребреравен φ. Определить радиус шара, касающегося всехребер этойпирамиды.

     Р е ш е н и е.

     Легко доказать, что искомый шар существует; обозначим его центр че­рез К. Пусть . Проведем  и (SCD). Соединимточки F и Р. Изтеоремы о трех перпендикулярах следует, что , и поскольку пирамидаправильная, ра­вен половине линейного угла двугранного угла при боковом ребре пирамиды, то есть . Заметим,что  KF- радиус шара, касающегося ребер пирамиды, а P- центрокружности, вписанной в боковую грань SDC, поэтому PD- биссектриса , , PM= PF. Из  и  находим: PM= , KF= .

     Теперь найдем связь между углами φ и х. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники ONDи DNC: , DN= DCsinx.

Отсюда  .  Находя теперь  (с учетом неравенства  0 < x</2), получаем ответ .

<

       З а д а ч а 2.4. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, боковое ребро пирамиды равно в. Найдите радиус сферы, касающейся всех ребер пирамиды.

       Р е ш е н и е.

Пусть SK– высота данной пирамиды, О – центр сферы, . Заметим, что , как две касательные к сфере, проведенные из точки В. Из подобия треугольников SOMи SBKнаходим

Ответ: радиус шара, вписанного в пирамиду равен .

З а д а ч а 2.5. Найти объем части правильного тетраэдра с ребром длины а, заключенной междудвумя сферами; одна сфера касается всехграней тетраэдра, другая - всех ребер.

       Р е ш е н и е.

Обозначим искомый объем черезV, тогда V= V - 4 V - V, где V­ - объем шара радиусаR, касающегося всех ребер тетраэдра,  V - объем шарового сегмента, отсекаемого од­ной гранью тетраэдра от этого ша­ра, V-объем шара радиуса r, вписанного в тетраэдр.

Заметим, что если шар вписан в куб, то он касается всех ребер правильного тетраэдра, образованного диагоналями граней куба. Если диагональ грани куба равна а, то его ребро равно , а радиус шара,вписанного в куб, равен половине этого ребра, .

Теперь из  находим радиус r  шара, вписанного в тетраэдр:  , и высоту сегмента: .

Подставив найденные значения R,  rи  hв выражение

V=   и упрощая, получаем: V= .

Шар, касающийся ребер правильной усеченнойпирамиды

       Если шар касается всех ребер правильной усеченной пирамиды, то, как следует из утверждений (1) - (4), центр этого шара лежит на высоте пирамиды, соединяющей центры   оснований, и шар ка­сается ребер оснований пирамиды в их серединах М, М_1, ..., причем  - трапеция, , иперпендикуляр, опущен­ный из центра К шара на боковую грань, попадает в точку Р - сере­дину апофемы  Это построение и теорема 2.2 (применимая и к усеченной пирамиде) лежат в основе решения задач на шар, касающийся всех ребер усеченной пирамиды.

     З а д а ч а 2.6.  В правильную n-угольную усеченную пирамиду вписан шар; известно также, что существует шар, касающийся всех ребер этой пирамиды. Найти n.

       Р е ш е н и е.

Рассматривая трапецию OOMM  и треугольники MOBи, находим:  (как отрезки двух касательных  к шару, вписанному в пирамиду), (как отрезки двух касательных  к шару, касающемуся ребер пирамиды), , . Но <, отсюда <1, >, n< 4. Следовательно, n= 3.

     З а д а ч а 2.7. На каком расстоянии от боковой грани находится центр шара, касающегося всех ребер правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если стороны оснований соответственно равны 4см и 2см?

     Р е ш е н и е.

     Рассмотрим трапецию , в ней OM= 2 (см),  = 1 (см), KM= KM как радиусы шара, касающегося ребер усеченной пирамиды. Как и в предыдущей задаче, = 3 (см). Теперь находим высоту трапеции (см), и высоту трапеции   (см).

     Обозначим OKчерез x, тогда ,

 Но , получается  уравнение относительно x; решая его, находим: .

Осталось найти  и  (см).

Задачи для самостоятельного решения.

          1. Шар касается всех ребер куба. Найти площадь поверхности шара, лежащей внутри куба, если ребро куба равно 1 см.

     2.Шар касается всех ребер куба. Найти объем общей части шара и куба, если ребро куба имеет длину а.

     3.В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный . Где находится центр шара, касающегося всех ребер?

     4. Шар радиуса Rкасается каждого ребра правильного тетраэдра. Найти объем их общей части.

     5. Шар радиуса rкасается всех ребер треугольной пирамиды. Центр шара лежит внутри пирамиды на ее высоте на расстоянии r от вершины. Доказать, что пирамида правильная.. Найти высоту пирамиды.

      6. Боковое ребро правильной n-угольной пирамиды образует с плоскостью основания угол α. На каком расстоянии от плоскости основания находится центр шара, касающегося всех ребер пирамиды, если сторона ее основания равна а?

     7. Сфера касается  ребер AS, BS, BC, и АС треугольной пирамиды  SABCв точках  K, L, M, Nсоответственно. Найти длину отрезка KL, если MN= 7, NK= 5, LN= , KL= LN.

§3.ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ШАРОВ, ШАРОВ И ПЛОСКОСТЕЙ.

       Рассмотрим некоторые типовые задачи, в которых речь идет о взаимном расположении шаров или шаров и плоскостей. Во многом приемы их решения схожи с приемами, используемыми при решении задач на взаимное расположение окружностей на плоскости.

Так расстояние между центрами шаров, касающихся внешним образом, равно сумме их радиусов и точка касания принадлежит линии, соединяющей центры шаров. Если шары касаются внутренним образом, то точка касания принадлежит линии, соединяющей центры, а расстояние между центрами равно разности радиусов этих шаров.

       З а д а ч а 3.1. В пространстве даны четыре одинаковых шара, имеющие радиус R, и попарно касающиеся друг друга внешним образом. Найти радиус пятого шара, содержащего данные шары внутри себя и имеющего с каждым из них внутреннее касание.

       Р е ш е н и е.

       Ключом к анализу подобной комбинации пространственных тел может служить рассмотрение многогранника О₁О₂О₃О₄ с вершинами в центрах данных шаров. Полученный многогранник является правильным тетраэдром с длиной ребра 2R. Центр пятого, описанного, шара находится в центре правильного тетраэдра О₁О₂О₃О₄  и имеет место равенство О₁О₅ = х – R, где х – радиус искомого шара. Точка О₅ делит высоту тетраэдра в отношении 3 : 1, считая от вершины тетраэдра (см. задачу №1.1). Если учесть, что длина высоты тетраэдра с ребром 2Rравна , то радиус пятого шара определяется выражением

Ответ: радиус шара равен

       З а д а ч а 3.2. Три одинаковых шара радиуса Rкасаются некоторой плоскости и друг друга внешним образом. Четвертый шар касается каждого из трех данных шаров и той же плоскости. Найти его радиус.

       Р е ш е н и е.

Рассмотрим правильную пирамиду О₁О₂О₃О₄ с вершинами в центрах данных шаров, причем О₄ – центр четвертого шара. Длины сторон основания этой пирамиды равны 2R, а длины боковых ребер – (R+x), где х – радиус четвертого шара. Очевидно, что расстояние от плоскости основания правильной пирамиды О₁О₂О₃О₄ до данной плоскости равно R, поэтому высота пирамиды равна (R– x). Запишем выражение для связи высоты правильной пирамиды, высоты ее основания и длины бокового ребра: , откуда находим :

Ответ: радиус шара равен .

       З а д а ч а 3.3. Внутри прямого кругового конуса расположены четыре шара одинакового радиуса R, попарно касающиеся друг друга внешним образом, причем три из них лежат на основании конуса и касаются его боковой поверхности, а четвертый – только боковой поверхности конуса. Найти высоту конуса.

       Р е ш е н и е.

Очевидно, что высота такого конуса содержит высоту правильного тетраэдра О₁О₂О₃О₄ с вершинами в центрах данных шаров. Рассмотрим сечение конуса и вписанной в него системы шаров плоскостью, проходящей через высоту конуса и центр одного из шаров, например, первого, т.е. рассмотрим одну из плоскостей симметрии данной пространственной конфигурации  тел. Нетрудно понять, что окружности с центрами в точках О₁ и О₄, получившиеся вследствие пересечения плоскости симметрии и первого и четвертого шаров, касаются образующей АС конуса. Поэтому О₁О₄ || АС.

Длина высоты СЕ конуса равна сумме трех отрезков: СЕ = СО₄ +О₄D+DE, причем О₄D= h=  - высота тетраэдра О₁О₂О₃О_4, СО₄  = , где  - угол при вершине конуса, DE= R. Из : . Причем длина отрезка О₁Dравна  длины высоты основания тетраэдра О₁О₂О₃О₄: О₁D= . Таким образом, .

Ответ: высота конуса равна .

       З а д а ч а 3.4. Три шара радиуса rлежат на нижнем основании цилиндра, причем каждый из них касается двух других  и боковой поверхности цилиндра. Четвертый шар лежит на этих трех шарах, касаясь поверхности цилиндра и его верхнего основания. Определить высоту цилиндра.

       Р е ш е н и е.

Так как три шара имеют одинаковые радиусы и лежат на нижнем основании цилиндра, то центры О₁, О₂ и О₃ находятся в одной плоскости α, параллельной плоскости основания цилиндра. Поскольку четвертый шар касается боковой поверхности цилиндра и верхнего основания, то его радиус равен радиусу основания цилиндра R. Центр шара О₄ лежит на оси цилиндра и проектируется в точку О – центр сечения цилиндра плоскостью α. Легко усмотреть, что высота цилиндра Н = r+ h+ R, где h= ОО₄.

Рассмотрим пирамиду О₁О₂О₃О₄. Очевидно, что эта пирамида правильная, длины сторон основания равны 2r, длины боковых ребер – (r+ R), следовательно, вершина пирамиды, точка О₄, проектируется в центр Δ О₁О₂О₃. Теперь легко подсчитать, что

   Высоту hопределяем из прямоугольного ΔОО₁О₄: . Окончательно находим

.

Ответ: высота цилиндра равна  .

Задачи для самостоятельного решения.

1. Три шара радиуса R лежат на нижнем основании правильной треугольной призмы, причем каждый из них касается двух других шаров и двух боковых граней призмы. На этих шарах лежит четвертый шар, который касается всех боковых граней и верхнего основания призмы. Определить высоту призмы.

Ответ:            

2. Три шара касаются плоскости треугольника АВС в его вершинах и попарно между собой. Найти радиусы шаров, если известны длина с стороны АВ и прилежащие к ней углы А и В.

Ответ:     r₁ = сsin В/2 sin A;  r₂ = c sin A/2sin В;   r₃ = сsin A sin В/2sin² (А+ В).

3. В шар вписан прямой круговой цилиндр. Во сколько раз объем шара больше объема цилиндра, если известно, что отношение радиуса шара к радиусу основания цилиндра вдвое меньше, чем отношение поверхности шара к боковой поверхности цилиндра?

Ответ:     16 : 9.

4. Две одинаковые сферы касаются друг друга и граней двугранного угла. Третья сфера, меньшего радиуса, также касается граней этого двугранного угла и обеих данных сфер. Дано отношение т радиуса меньшей сферы к радиусу одной из одинаковых сфер. Найти величину   двугранного угла. В каких пределах может меняться параметр т?

Ответ:  = 2arcsin [(l – m) /];     0,25 <т<1.

5. В прямом круговом конусе угол при вершине осевого сечения равен 60⁰. В этом конусе расположены три одинаковых шара радиуса R, касающиеся изнутри боковой поверхности конуса, плоскости основания конуса и попарно друг друга. Найти площадь боковой поверхности другого конуса с той же вершиной, высотой и плоскостью основания, которого данные шары касаются внешним образом.

Ответ: 

6.      На плоскости лежат, не пересекаясь, два шара радиусов rи R. Расстояние между центрами шаров равно. Найти минимально возможный радиус шара, который лежал бы на этой плоскости и касался заданных шаров.

Ответ:   

7. В правильную треугольную пирамиду помещены три шара так, что первый шар касается всех боковых граней пирамиды и второго шара, второй шар касается боковых граней и третьего шара, третий шар касается боковых граней, основания пирамиды и второго шара. Какую долю объема пирамиды занимают три шара, если ее боковые грани наклонены к основанию под углом а?

Ответ:    (tg³а/2 + tg⁹а+ tg¹⁵а/2) / 9 tga.

8. В прямой круговой конус, у которого образующая составляет с осью угол а, помещены три шара так, что первый шар касается боковой поверхности конуса и второго шара, второй шар касается боковой поверхности, первого и третьего шаров, а третий шар касается боковой поверхности, основания конуса и второго шара. Какую долю объема конуса занимают все три шара?

Ответ: 4(tg³a/2 + tg⁹a/2 + tg¹⁵a/2) / tg a.

9.      Три одинаковых прямых круговых конуса, радиусы оснований которых равны r, а высоты равны 4r/3, расположены по одну сторону от плоскости Р, а их основания лежат в этой плоскости. Окружности оснований каждых двух из этих конусов касаются. Найти радиус шара, лежащего между конусами и касающегося как плоскости Р, так и всех трех конусов.

Ответ:   2r(2  – 3) /3.

10. В правильной четырехугольной пирамиде расположены два шара О₁ и О₂. Шар О₁ вписан в пирамиду и имеет радиус 2, шар О₂ касается внешним образом шара О₁ и боковых граней пирамиды. Радиус шара О₂ равен 1. Найти площадь боковой поверхности пирамиды и величину двугранного угла при боковом ребре пирамиды.

Ответ:     96;  .

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

1. В.М. Клопский, З.А.Скопец, М.И. Ягодовский. Геометрия. 9 – 10 классы.  – М.:, «Просвещение», 1982.

1. М.В. Лурье. Геометрия. Техника решения задач. Учебное пособие. – М.: Издательский отдел УНЦ ДО, ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 240 с. – (Серия «В помощь абитуриенту»).

1. В.В. Ткачук. Математика – абитуриенту. – М.: МЦНМО, 2003. – 910 с.

1. В.В.Прасолов, И.Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. – М.: «Наука», 1989.

1. И.Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии. Стереометрия. Библиотечка «Квант». – М.: «Наука», 1984.

1. Н.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский, Т.Н. Маслова, И.Ф. Орловская, Р.И. Позойский, Г.С. Ряховская, Н.М. Федорова – под общей редакцией М.И. Сканави. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы.  Минск, изд-во «Вышейшая школа», 1990.