Интегрированный урок

"Применение производной при решении физических задач"

 (11-й класс)

Цели:

• Повторить, обобщить и систематизировать знания о производной.
• Проверить уровень сформированности навыка нахождения производных, способствовать выработке навыков в применении производной к решению физических задач.
• Развивать логическое мышление, память, внимание, самостоятельность, коммуникативные навыки во время совместной работы

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование:

• Презентация;
• Мультимедийный проектор;
• Карточки с задачами;
• Справочный материал с основными формулами и правилами.

План урока:

1. Организационное начало урока,  целеполагание (6 мин.).

Работа с кроссвордом

2. Повторение: определение производной, геометрический смысл производной,  значение и применение производной . (8мин)
3. Актуализация знаний. Фронтальный опрос:  повторение теоретических вопросов кинематики( 10мин)
4. Решение задач: а) физическим способом, б) с помощью производной

Устная фронтальная работа (10мин)

5. Самостоятельная работа: работа по карточкам в группах(10мин).
6. Подведение итогов урока. Заключительное слово учителей.( 2мин.)..

Ход урока

I этап . Организационный момент

Математик : Здравствуйте. У нас сегодня необычный урок. Он будет объединять математику с физикой. Тему урока мы пока не раскроем, мы хотим, чтобы вы сами разгадали ее. Итак, начнем. Перед вами кроссворд. И то слово, которое выделено и которое вы должны разгадать будет являться ключевым в нашей теме урока.

(Слайд1)

Физик: Здравствуйте, ребята.  На прошлом уроке домашнем заданием было ответить на вопросы к кроссворду.

1. Длина траектории за определенный промежуток времени. (Путь.)
2. Физическая величина, характеризирующая быстроту изменения скорости. (Ускорение.)
3. Одна из основных характеристик движения. (Скорость.)
4. Немецкий философ, математик, физик, один из создателей математического анализа. (Лейбниц.)
5. Наука, изучающая общие закономерности явлений природы, состав и строение материи, законы ее движения. (Физика.)
6. Изменение положения тела в пространстве относительно некоторой системы отсчета с течением времени. (Движение.)
7. Выдающийся английский физик, именем которого названы основные законы механики. (Ньютон.)
8. Что определяет положение тела в выбранной системе отсчета. (Координаты.)
9. Учение о движении и силах, вызывающих это движение. (Механика.)
10. Наука, изучающая методы и способы решения уравнений. (Алгебра.)
11. То, чего не достает в определении: производная от координаты по … есть скорость. (Время.)

Итак, какое ключевое слово у нас получилось? «производная».

 Математик:  Мы отгадали ключевое слово “производная”. Но вернемся к началу нашего урока. Вспомним, что перед нами стояла задача сформулировать тему урока, использовав это слово. Следовательно, чем мы будем заниматься на уроке? (Решать задачи на нахождение производной.) – А какие задачи? Т.е. тема нашего урока “Применение производной при решении физических задач”

Сформулировать тему и  цели урока (Слайды 2-3) 

II этап. Повторение материала.  (10 минут)

                  Повторение  проходит с использованием презентации, во время которой учащимся предлагается вспомнить определение производной, рассмотреть типовые задания на применение производной, ее геометрический смысл (Слайды4-6)

Что называется производной функции в точке?

Ответ: производной функции у = f(x) в точке х0 называется предел отношения

приращения функции в точке х0 к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в 18 веке. Независимо друг от друга И.Ньютон и Г.Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления. Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к произвольной линии, объяснив этим ее геометрический смысл.  

В чем заключается геометрический смысл производной?

Ответ: Геометрический смысл производной заключается в следующем: если к графику функции y=f(x) в точке  x o можно провести касательную, не параллельную оси y , то

f ′ (x o) выражает угловой         коэффициент касательной.

Решение задач : фронтальная работа   (Слайды7-11)

3 этап. Актуализация знаний

Учитель физики:  Перед тем, как перейти к решению задач, давайте повторим теоретические вопросы кинематики

 (Фронтально, ответить на вопросы и записать формулы на доске): (Слайд 14)

1. Что такое мгновенная скорость?
2. Что такое ускорение?
3. Записать уравнение зависимости координаты от времени для равномерного движения x(t)=x0+vt
4. Записать уравнение зависимости проекции вектора перемещения от времени для равномерного движения s x(t) =vxt
5. Записать уравнение зависимости координаты от времени для равнопеременного движения x(t)=x0+v0xt+axt2/2
6. Записать уравнение зависимости проекции скорости от времени для равнопеременного движения v x (t)= v0x + axt
7. Записать формулы проекции перемещения для равнопеременного движения s x(t) = v0xt+axt2/2

Учитель физики: Повторив вопросы, давайте решим задачу по этой теме

Учитель физики обращает внимание на экран, где спроектирована задача:

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=-2+4t+3t.Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t=2с. (х – координата точки в метрах, t – время в секундах).

Решим задачу физическим способом (Слайд12)

Учитель математики: А теперь я хочу забрать инициативу и предложить ребятам вопрос, который мы изучали на уроках математики.  В чем состоит физический смысл производной?

Ответ:  Физический смысл производной заключается в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость, а производная от скорости есть ускорение. (Слайд13)

Теперь вернемся к решенной на доске задаче. Мы ее решили, используя только знания физики, а т.к. мы вспомнили, в чем же заключается физический смысл производной, давайте решим эту же задачу, используя производную

Вопрос: Какое решение вам больше нравится? Почему?

Вывод учащихся.

Учитель физики:  Применение производной в физике очень обширно. Рассмотрим несколько примеров применения производной в физических задачах.

Механическое движение- это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Основной характеристикой механического движения служит скорость.

Алгоритм нахождения скорости тела с помощью производной.

Если закон движения тела задан уравнением s = s (t), то для нахождения мгновенной скорости тела в какой-нибудь определенный момент времени надо:

1.Найти производную v = s '(t).

2. Подставить в полученную формулу заданное значение времени.

Производная в электротехнике

В наших домах, на транспорте, на заводах : всюду работает электрический ток.

Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц.

Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.

Вопрос: Что называется силой тока?

Ответ: Силой тока называется отношение электрического заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника, ко времени.

В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени.

Вопрос: Какой закон записан? Сформулируйте 2 закон Ньютона?

Ответ: В инерциальной системе отчета вектор равнодействующей силы, приложенной к телу равен произведению массы тела и вектора его ускорения.

 Сила есть производная работы по перемещению,   т.е. F=A /(x)

Вопрос: кинетическая энергия  чему равна?

Ответ:

Теплоемкость – есть производная теплоты по температуре, т.е. C(t) = Q/(t)

d(l)=m/(l) - линейная плотность

K (t) = l/(t) - коэффициент линейного расширения

Вопрос: Ребята, что называется угловой скоростью?

Угловая скорость- физ. Величина, характеризующая скорость вращения материальной тоски вокруг центра вращения. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота точки вокруг центра вращения в единицу времени.

Омега=фи разделить на т.

ω (t)= φ/(t) - угловая скорость

При вращении вокруг неподвижной точки вектор углового ускорения определяется как первая производная от вектора угловой скорости.

а (t)= ω/(t) - угловое ускорение (физ. Величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости материальной точки. )

а = омега разделить t

Мощность физ. Величина, равная отношению работы ко времени, за которое она была совершена.

N=A\ t

N(t) = A/(t) – мощность ()

 4 этап. Решение типичных задач.  (Слайд 16-19)

На обычной классной доске решаются типичные базовые задачи,  используя (Слайд14)  как справочный материал, дается  теоретическое обоснование способа  решения.  На этом этапе урока идет фронтальная работа.

Устно:

1. Тело движется по закону x(t)=2t3 -2,5t2 + 3t +1. Найти скорость тела при t=1c.

Ответ:  4 (с)             -4 (п).

2. Тело движется по закону x(t)= 3t4 -3t3 + 4t + 2. Найти скорость тела при t=1с.

Ответ:  11 (о)           7(п)

3. Заряд  q изменяется по закону  q(t)= 0,4t2/, найти силу тока при t=10c.

Ответ:    8(а)           2 (к)

4. Угол поворота тела вокруг оси изменяется по закону ϕ(t)= 0,3t2 – 0,5t + 0,4.  Найти угловую скорость при  t= 10с.

Ответ:   5,5 (с )     5,2 (ы)

5. Температура тела   Т изменяется по закону Т(t)=4t3 -7t+4. Какова скорость изменения температуры при t=2с?

Ответ:    5,8 (и)       6,8 (у).

5 этап. Самостоятельная работа.  

Самостоятельная работа по группам. Один ученик одновременно работает у доски (Мучкинов Е)

1 группа

Задания 1 варианта:

6. Точка движется прямолинейно по закону x(t)=2t3+t-3. В какой момент времени ускорение будет равно 24 м/с2. (х – координата точки в метрах, t- время в секундах)

Ответ:  0,5с (р)   2с (б).

7. Колебательное движение точки описывается уравнением х=0,05cos20t. Найти проекцию скорости  спустяс.

Ответ:  (б)          (а)

Задания 2 варианта

( работа в паре Наранова Д- Боктаева Д)

8. Материальная точка движется по прямой так, что ее координата в момент времени t равна

x(t)=t-2t.  Найдите ускорение точки в момент времени t=3.

Ответ:  72 (м)          108 (з)

9. Тело массой 2кг движется прямолинейно по закону x(t) =  5t 3 – 4t 2+ 3t -7. Найти силу при t=4c.

Ответ: 1200(р)          224(а)

10.Заряд q изменяется по закону q(t)= 0,4t2+ 1,2t.  Найти силу тока при t=4c.

Ответ: 4,4  (у)           4,6( л).

Задания 3 варианта.  (Работа в паре Болдырев Ч-Манджиев Ч)

11. Тело массойт8кг движется прямолинейно по закону x(t)=2t2+3t -6. Найти импульс тела в момент времени t=1c.

Ответ:  35(и)    56 (р)

12. Тело массой 300г движется прямолинейно по закону x(t)=6t3+ 2t-7. Найти силу, действующую на это тело при t=3c.

Ответ:  32,4(о)    34,2(р)

13.Температура тела Т изменяется по закону Т( t)=0,2t2+ 5t -3. Какова скорость изменения температуры при =2с?

Ответ: 5,8(к)          6,8 (у)

Итог урока:

Физик:  Мы сегодня повторили применений производной в кинематике, но возможности применения производной намного шире, в чем мы сегодня и убедились: ее можно применять при изучении многих вопросов по динамике, так же при изучении электромагнитных явлений, в оптических явлениях, при решении задач по ядерной физике. Те вопросы, которые мы сегодня рассмотрели, помогут вам при решении задач по математике и физике на экзаменах.

Математик. Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д.

Мы убедились в важности изучения темы "Производная", ее роли в исследовании процессов науки и техники, в возможности конструирования по реальным событиям математические модели, и решать важные задачи. А я хочу закончить наш урок высказыванием русского ученого Михаила Васильевича Ломоносова, в котором как нам кажется, мы сегодня убедились

«Слеп физик без математики»

Проверка самостоятельной работы, подведение итогов.

Домашнее задание:

1). Карточки-задания 1-2 уровня