Элективный курс "Начала финансовой математики"
элективный курс по экономике (6 класс) по теме

программа

элективного курса

« начала

финансовой математики»

составитель: горбаченко в.и.

учитель  высшей

квалификационной

 категории

мБоу сош №5

Лермонтов

1.  пояснительная записка.

-             Цель курса.

Ознакомление современного школьника с азами финансовых и банковских расчетов, демонстрация применения математического аппарата в экономике.

-            Категория учащихся.

Элективный курс «Начала финансовой математики» рассчитан на учащихся высокого уровня знаний, увлеченных не только математикой, но и экономическими дисциплинами.

-            Актуальность программы.

Элективный курс «Начала финансовой математики» позволяет школьникам проникнуть в суть коммерческой операции, увидеть ее глазами специалиста и учит делать верные выводы о рентабельности той или иной хозяйственной деятельности.

-            Инвариантность программы.

Программа элективного курса может быть изменена в соответствие с повышением уровня знаний школьников, а также при изменении экономических реалий.

-             Реалистичность программы.

Программа элективного курса реально рассчитана на 9 часов аудиторных занятий, включающих в себя как лекционные, так и практические занятия.

-             Предполагаемые формы работы.

Элективный курс предполагает лекционные занятия, в ходе которых слушатели получают необходимые теоретические сведения. На практических занятиях слушатели получают возможность разобраться в конкретных экономических ситуациях. В качестве отчетности и проверки знаний предусмотрен зачет.

2.  учебно-тематический план.

3.  содержание программы.

Тема 1. введение.

Содержание. Простейшая финансовая операция. Ее характеристики.

Тема 2. простые проценты.

Содержание. Начальная сумма вклада. Наращенная сумма вклада. Годовая процентная ставка наращения. Коэффициент наращения. Схема простых процентов. Простые проценты и арифметическая прогрессия.

Тема 3. сложные проценты.

Содержание. Понятие сложных процентов. Капитализация процентов. Наращенная сумма вклада. Коэффициент наращения. Схема сложных процентов и геометрическая прогрессия.

4.  методические рекомендации по содержанию и проведению занятий.

Тема 1.  введение.

Лекция. ( 1 час ).

На финансовом рынке вводится понятие простейшей финансовой операции:

Однократное предоставление в долг некоторой суммы Р с условием, что через время Т заемщик вернет сумму S.

В нормальной экономике S>P.

Отметим, что в простейшей финансовой операции всего два платежа: сумма Р предоставляется разовым платежом, сумма S возвращается тоже разовым платежом.

I = S – P – доход кредитора по операции в денежном выражении.

Эффективность этой операции (для кредитора) может быть охарактеризован числом iT  – интерес, процентный рост, временная ставка процента – это отношение приращения капитала I к начальному капиталу Р:

  или  ,   где ,  

Индекс  в обозначении iТ поддерживает временный характер этой величины. Так, ели Р = 4 тыс. руб., S = 5 тыс. руб. и  Т = 0,5 года, то полугодовая эффективность этой сделки, полугодовая ставка процента по этой сделке, интерес (в процентах) за пол года составит

путем преобразований можно получить

S = P+iТ ·P = P(1+ iТ)                        

I = iТ ·P                                                   

Что означает, что сумма S на iТ процентов больше суммы Р и что доход кредитора (интерес в денежном выражении) – iТ  процентов от Р.

Таким образом, вводя величину iТ мы характеризуем сделку с позиции: начальная сумма плюс интерес.

Тема 2. простые проценты.

Лекция. ( 2 часа ).

Простые проценты используются, как правило, для краткосрочных сделок, т.е. сделок, продолжительность которых меньше года.

Простые проценты означают, что:

• начисление процентов производится на одну сумму;
• величина процентных начислений пропорциональна продолжительности сделки Т, т.е.

                                                              ( 1 )

или          

                                                     ( 2 )

Т – продолжительность в годах.

Формула ( 1 ) имеет простую интерпретацию  -  столько процентов начисляется за  лет. Формула ( 2 ) дает выражение для нахождения процентных денег или дохода кредитора за  лет при простых процентах.

Рассмотрим случай, когда сумма Р выдана на t лет под i процентов годовых. Начисляются простые проценты. В этом случае ставка процента i называется ставкой простых процентов. Размер погасительного платежа S  и доход кредитора I по операции находятся одним из двух способов:

,                           

или                                      

,                                      ( 3 )

S называется еще наращенной суммой.

Пример 1. Кредит 200 тыс. руб. выдан с 20.01.03 по 20.01.04 под 30% годовых в виде обычной (процентной) ссуды. Найти величину погасительного платежа и доход кредитора по сделке.

Продолжительность сделки Т равна 1 год.

Тогда размер погасительного платежа составляет

 руб.

Доход кредитора составит:

руб.

Рассмотрим случай, когда известна возвращаемая сумма S. Расчет начального вклада может быть произведен по формуле:

                                                    ( 4 )

Т.е. определяем начальную сумму Р по известной конечной сумме S и продолжительности сделки t при условии, что P и S связаны простой ставкой процента i.

Рассмотрим случай, когда при известных начальной и наращенной суммах необходимо найти продолжительность сделки. Расчет можно произвести по формуле:

                                                        ( 5 )

Обсудим формулы ( 3 ) ( 4 )

                          (  )

                                  ()

Эти формулы – количественное выражение в рамках простых процентов важнейшей экономической концепции – концепции временной ценности денег, принципа неравноценности денег, относящихся к различным моментам времени. Мудрость «Время - деньги» и «Деньги сейчас лучше, чем деньги завтра» - отражение сути формул () и () соответственно. Тысяча рублей сейчас не равноценна тысяче рублей через год. И дело не в инфляции или риске неполучения денег через год (хотя и эти моменты существенны), а в том, что в рыночной экономике деньги – капитал: тысяча рублей сегодня может быть инвестирована и принести доход в будущем. При ставке 20% годовых наращенная за год сумма составит

S = Р(1 + i) = 1000(1 + 0,2) = 1200 руб.

И обратно, 1200 руб., которые будут через год, сегодня стоят только 1000 руб., т.к.

Вычисление Р по формуле ( 4 ) или () – это нахождение сегодняшней, современной стоимости будущего капитала S. Сама процедура вычисления Р называется дисконтированием капитала S с помощью ставки простых процентов i, множитель  называется множителем дисконтирования.

В литературе для наращенной суммы S используют часто буквосочетание FV (of Future Value of Money – будущая стоимость денег); для обозначения текущей, современной стоимости Р используют обозначение PV (of Present Value of Money – настоящая, современная стоимость денег). Пишут:

.

В заключении вновь рассмотрим формулу ( 3 ) и заметим, что числа  образуют арифметическую прогрессию с первым членом  и разностью . Поэтому говорят, что вклад  с ростом  растет как арифметическая прогрессия с разностью .

Практические занятия. ( 2 часа ).

По теме 1  на практических занятиях могут быть предложены следующие задачи:

1. Вкладчик открыл в банке счет и положил на него 150 000 руб. Сроком на 4 года под простые проценты по ставке 18% годовых. Какой будет наращенная сумма? Определить доход вкладчика. Найти коэффициент наращения.
2.  Какую сумму положили в банк под простые проценты по ставке 22% годовых, если через 5 лет вклад достиг 94 500 руб. Найти доход вкладчика за 5 лет.
3. Сколько лет лежал в банке вклад в размере 70 000 руб., если при ставке 19,2% он достиг величины 150 640 руб? Чему равен коэффициент наращения?
4. Какую годовую ставку простых процентов выплачивает банк, если вклад 12 000 руб через 3 года достиг величины 14 160 руб? Определить коэффициент наращения.

Тема 3.  сложные проценты.

Лекция. ( 2 часа ).

Сложные проценты возникают при поэтапном изменении величины. Пусть величина а подвержена поэтапному изменению, когда внутри этапа она не меняется, а в конце этапа она скачком увеличивается на i процентов. Считаем, что процент изменения величины на всех этапах одинаков – i   процентов.

Если  - начальное значение величины, то:

В конце первого этапа величина а примет значение

В конце второго этапа

В конце третьего этапа

  и т.д.

В конце n-го этапа величина а примет значение .

Формула называется формулой сложных процентов, а рассуждения приводящие к ней - схемой сложных процентов.

Величина  - показывает, во сколько раз увеличилась величина за   этапов и называется множителем наращения. При сложных процентах  имеем

Эта формула позволяет вычислить во сколько раз возрастет величина, если известно, сколько прошло этапов и на сколько процентов величина увеличивается за этап.

Для финансовой операции простейшего вида с предоставлением в долг суммы Р на п лет под  процентов годовых сложные проценты означают, что начисленные через год проценты (процентные деньги) не выплачиваются, а прибавляются к текущему значению суммы долга - имеет место ежегодная капитализация вклада. Через п лет наращенная сумма  S  будет равна

.

Годовая ставка процента i называется в этом случае ставкой сложных процентов.

В финансовом анализе делается обобщение этой формулы: если независимо от продолжительности сделки Т (в годах) наращенная сумма S находится по формуле

,

Тогда говорят, что для расчета платежей используется схема сложных процентов.

Множитель наращения  при этом находится по формуле

Сравним наращение по простым и сложным процентам. Для этого изобразим графически зависимость наращенной по простым и сложным процентам суммы на одном чертеже.

Из рисунка, видно, что при Т>1 года наращенная по сложным процентам сумма больше, чем по простым. При Т= 1 наращенные суммы - одинаковы.

      0                                   1                                Т(год)

Рис: График зависимости наращенной суммы от продолжительности сделки.

Практические занятия. ( 2 часа ).

По теме 3 на практических занятиях могут быть предложены следующие задачи:

1. В банк внесена сумма 50 000 руб. Банк начисляет сложные проценты по ставке 15% годовых. Какая сумма будет на счете через 8 лет? Найти коэффициент наращения.
2. Какую сумму следует внести в банк сегодня, чтобы при ставке сложных процентов 35% годовых накопить за 3 года          40 000 руб?
3. Что предпочтительнее 2000 руб. Сегодня или 5000 через 8 лет при темпе инфляции 8%?

5.  ЛИТЕРАТУРА.

1. Симонов А.С. Экономика на уроках математики.
2. Симонов А.С. Некоторые применения геометрической прогрессии в
   экономике.
3. Дорофеев Г.В. Процентные вычисления.
4. Башарин Г.П. Начала финансовой математики.