Набор текстовых задач и способы их решения
методическая разработка по алгебре (9 класс)

М.А. Кобленева, Г.И.Бодякина

МКОУ «Худоеланская средняя общеобразовательная школа», Нижнеудинский район, с. Худоеланское

Значение арифметического способа  решения текстовых задач

Текстовые задачи являются важным средством обучения математике.  С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, понимают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач.

Использование арифметических способов решения задач развивают смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы и отвечать на них, развивает естественный язык. Также позволяет развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения, истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения.

Задачи на части

В результате работы с этими  задачами учащиеся должны научиться принимать подходящую величину  за 1 часть, определять, сколько таких частей приходится на другую величину, на их сумму или разность, затем получать ответ на вопрос задачи.

К примеру,  на эту тему можно решить  следующего плана задачи:

1. Для компота взяли 6 частей яблок, 5 частей груш и 3 части слив. Оказалось, что груш и слив вместе взяли 2 кг 400 г. Определите массу взятых яблок, груш, слив, всех фруктов.
2. Купили  60 тетрадей – в клетку было в 2 раза больше, чем в линейку. Сколько частей  приходится на тетради в линейку; на тетради в клетку; на все тетради? Сколько купили тетрадей в линейку? Сколько в клетку?

Так и хочется перейти на алгебраический способ решения (с помощью уравнения), но существует ведь и арифметический способ, цель которого, было и есть освоение вычислительных умений, связанных с практическим применением. Использование арифметических способов решения текстовых задач  способствуют общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления.

Рассмотрим решение задачи №2 , используем вопросы к ней, с целью развития мышления и речи обучающихся.

Решение, отвечая на конкретно поставленные вопросы:

1. Сколько всего частей приходится на все тетради?

1+2=3 (части)

2. Каких тетрадей было больше? Во сколько? Сколько частей тетрадей в клетку? Сколько частей тетрадей в линейку?

Тетрадей в клетку больше, в 2 раза. 2 части тетрадей в клетку, 1 часть   тетрадей в линейку.

3. Сколько тетрадей приходится на 1 часть? (тетрадей в линейку)

60:3=20 ( тетрадей)

4. Сколько тетрадей было в клетку?
5. 20*2=40 (тетрадей)

При решении задач этого класса бывает полезно делать рисунки, облегчающие решение.

С помощью таких задач, которые нужно многократно продублировать с другими  числовыми данными, можно подготовить учащихся к самостоятельному введению «частей», когда в задаче о них не говорится явно.

Например: Некто заплатил за книжку на 120 рублей больше, чем за тетрадь. Известно, что книга дороже тетради в 4 раза. Сколько стоит книга? (стоимость тетради составляет 1 часть, то стоимость книжки составляет 4 такие части)

Обучение и развитие ребенка во многом напоминает этапы развития человечества, поэтому использование арифметического способа некоторых текстовых задач повышает мотивацию учения, развивает  творческий потенциал.

Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности

Для решения этого класса задач можно воспользоваться  способом уравнивания.

К примеру,  на эту тему можно решить  следующего плана задачи:

1. В двух стопках 70 журналов, причем в первой стопке на 10 журналов больше, чем во второй. Сколько журналов в каждой стопке?
2. В коробке лежит 117 ручек, причем синих ручек на 39 больше, чем красных. Сколько синих и сколько красных ручек лежит в коробке?

Долгие годы «метод уравнений» стал единственно известным учащимся методом решения текстовых задач. Это привело к тому, что учащиеся не получали должного развития речи, умение анализировать  текст задачи, ставить вопросы, отвечать на них. Были лишены возможности вести поиск решения задачи. Они получили единственный способ для решения разнообразных задач. И используя этот метод, школьники бы составили уравнение,

Х+10 –журналов в 1 стопке, х – журналов во 2 стопке, следовательно, получаем:

Х+10+х=70, откуда х=30 (журналов в 1 стопке), 30+10=40 (журналов во 2 стопке).

Можно здесь использовать арифметический способ решения задачи, с помощью уравнивания:

Рассмотрим решение задачи №1 ,

Решение, отвечая на конкретно поставленные вопросы:

1. Если бы в 1 стопке было бы столько же журналов,  сколько и во 2, то сумма журналов была бы?

70-10=60 (общее количество журналов в двух одинаковых стопках)

Таким образом, мы «уравняли» количество журналов в обеих стопках.

2. Сколько журналов во 2 стопке?

60:2=30 (журналов)

3. Сколько журналов в 1 стопке?

30+10=40 (журналов)

Решать задачи на уравнивание можно двумя способами:

- вычитать для уравнивания разницу между двумя количествами;

-прибавлять для уравнивания разницу между двумя количествами.

Можно использовать еще один из способов:

х-журналов в 1 стопке, у- журналов во 2 стопке

х+у=70

х-у=10, то есть,  дана сумма и разность двух неизвестных величин. Чтобы найти их нужно из суммы вычесть разность, получится удвоенное меньшее число:

1. 70-10=60
2. 60:2=30 (журналов во 2 стопке)
3. 30+10=40 (журналов во 2 стопке)

Если сравнить действия, то можно заметить их идентичность.

Задачи на движение по реке

При решении задач на движение по реке следует обратить внимание на скорость по течению и против течения реки.  Для успешного усвоения следует поработать  со скоростью  по течению и против течения, это сумма и разность собственной скорости и скорости течения. Чтобы их найти,  нужно использовать способ нахождения двух величин по их сумме и разности (из суммы вычесть разность, получится удвоенное меньшее число).  Следовательно, разность скоростей по течению и против течения равна удвоенной скорости течения. Хорошо  было бы, чтобы обучающиеся пришли к этому выводу самостоятельно. Применение ранее полученных знаний  будет способствовать их развитию.  

По данной теме можно решить ряд простых задач, и отработав нахождение скорости, пройденного пути или затраченного времени, далее предложить решить арифметическим способом следующие задачи:

1. На путь из пункта А в пункт В теплоход затратил 1ч 40 мин, а на обратный путь – 2 ч. В каком направлении течет река?
2. Скорость катера по течению 12 км/ч, а скорость против течения 8 км/ч. Найти собственную скорость катера и скорость течения реки
3. Скорость течения реки 3 км/ч. На сколько километров в час скорость по течению больше его скорости против течения?

Рассмотрим решение задачи №2

Решение, отвечая на конкретно поставленные вопросы:

1. Скорость по течению, это .. (сумма скорости катера и скорости течения реки), равна? 12км/ч
2. Скорость против течения.. (разность скорости катера и скорости течения реки), равна 8 км/ч
3. Используя правило: из суммы вычесть разность, получится удвоенное меньшее число, то есть.. (скорость течения реки)

1)12-8=4

2)4:2= 2(км/ч, скорость течения реки)

       4. Скорость катера равна?

3)12-2= 10 (км/ч, скорость катера)

Чтобы решить задачу №3 арифметическим способом, также воспользуемся данным правилом, так как разность между скоростью по течению и скоростью против течения является удвоенная скорость течения реки, то и ответ задачи сразу:

3*2=6 (км/ч)

С помощью уравнения гораздо проще получить ответ, если принять за х- скорость катера, то х+3- скорость по течению, х-3 –скорость против течения. На сколько,   скорость по течению  больше скорости против течения?

(х+3)-(х-3)=х+3-х+3=6

Однако можно предложить решить ее арифметическим способом, в обучении не всегда легче – значит полезнее.

Задачи на движение

Вызывают трудность для обучающихся задачи на движение. Здесь нужно поработать со скоростями  сближения и удаления. Рассмотрим текстовую задачу, которая

1. Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из А в В выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Велосипедист доехал до В, повернул назад и поехал с той же скоростью навстречу пешеходу. Через сколько часов после начала движения они встретятся, если расстояние между А и В равно 30 км?

Решение:

1. 30:10=3(ч затратил велосипедист на дорогу от А до В)
2. 5*3=15 (км за это же время прошел пешеход о от А)
3. 30-15=15 (км  осталось пройти пешеходу до В)
4. 10+5=15 (км/ч скорость сближения)
5. 15:15=1(ч )
6. 3+1=4 (ч  встретятся от начала движения)

Задачи на смеси и сплавы

Раньше задачи на смеси, и сплавы были исключительно задачами арифметическими.  Когда – то они имели исключительно практическое значение: помогали определить процентное содержание, какого- либо компонента в смеси, сплаве.  Школьники испытывают затруднения при решении этого класса задач. Неспроста задачи эти постоянно присутствуют в текстах экзаменационных работ, различных конкурсах.

Рассмотрим следующие задачи:

1. Смешали 300г  50% -го и 100г  30%-го раствора кислоты. Определите процентное содержание кислоты в полученной смеси.

Решение, отвечая на конкретно поставленные вопросы:

1. До смешивания в двух смесях было кислоты?

300* 50/100 +100* 30/100  =180 (г кислоты)

2. После смешивания весь состав стал

300+100=400 (г)

3. Процентное содержание кислоты в данной смеси?

180/ 400 *100=45%

Для решения задач на смеси и сплавы нужно уметь рассуждать и уметь решать задачи на проценты и дроби, решать как арифметическим способом, так и алгебраическим.

Ранее использование алгебраического способа (составление

уравнений) не дает такого эффекта, как использование  арифметических способов решения задач. Но и решать задачи с помощью уравнений тоже нужно уметь, однако формировать это умение надо с опорой на умение рассуждать, ставить вопросы, отвечать на них, проверять полученный результат. А это умения при работе с  арифметическим методом решения задач. При составлении уравнений перечисленные умения должны развиться и подняться на следующий уровень.

Научиться решать задачи школьники смогут, лишь решая их.

Набор текстовых задач, которые легко и просто можно решить арифметическим способом:

Задача 1. Для приготовления варенья на две части малины берут три части сахара. Сколько килограммов сахара нужно взять на 2 кг 600 г малины?

Задача 2. На первой полке стояло в 3 раза больше книг, чем на второй. На двух полках вместе стояло 120 книг. Сколько книг стояло на каждой полке?

Задача 3. В клетке сидят фазаны и кролики. Всего в ней 27 голов и 74 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов в клетке.

Задача 4. В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, а в кино – 21, а 5 человек не ходили ни на экскурсию, ни в кино. Сколько человек ходили и на экскурсию, и в кино?

Задача 5. Три утенка и четыре гусенка весят 2 кг 500 г, а четыре утенка и три гусенка весят 2кг 400г. Сколько весит один гусенок?

Задача 6. Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких – по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 колец. Сколько было больших пирамид?

Задача 7. Арбуз массой 20кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%. Определите массу арбуза

Задача 8. Гости спросили: сколько лет исполнилось каждой из трех сестер? Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой из сестер?