Тема 32. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ. Теория. Ключевые методы решения задач. Упражнения.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс) по теме

Тема 32. Текстовые задачи.

Задачи "на смеси, растворы, проценты".

В условиях таких задач речь чаще всего идет о сплавлении каких-либо металлов, растворении друг в друге различных веществ или переливании жидкостей, состоящих из нескольких компонент.

Основные допущения, обычно используемые в таких задачах, состоят в следующем:

1. Все получающие смеси или сплавы однородны;

2. При слиянии двух растворов, имеющих объемы   и , получается смесь, объем которой равен .

Принимая эти допущения, рассмотрим смесь трех компонент   и  с объемами  Полный объем смеси  состоит из суммы объемов чистых компонент

Объемной концентрацией компоненты  называется отношение объема чистой компоненты  в растворе ко всему объему смеси

Аналогичным образом определяются и концентрации других компонент рассматриваемой смеси  

Сумма всех концентраций, очевидно, равна единице

Иными словами, объемная концентрация показывает, какую долю полного объема смеси   составляет объем вещества .

Процентным содержанием компоненты  называется величина

т.е. концентрация этого вещества, выраженная в процентах. Так, например, концентрации 0,23 отвечает процентное содержание 23%.

Таким же образом определяются и весовые (массовые) концентрации и процентное содержание, а именно как отношение веса чистого вещества в сплаве к весу всего сплава.

Для того чтобы решить задачу, связанную со смешиванием растворов или получением сплавов, необходимо вводить концентрации отдельных компонент. Зная их концентрации, необходимо "расщепить" данное количество смеси на отдельные компоненты, а затем произвести указанным в условии задачи способом составление новой смеси или нового сплава, подводя баланс количества каждой компоненты в новой смеси.

Пример. Определить процентное содержание спирта в растворе, полученном при смешивании 5 литров 20%-го и 6 литров 35%-го растворов спирта.

Решение. Количество "чистого" спирта в первом растворе равно л., а во втором растворе -  л. При смешивании общее количество спирта не изменилось (а объем нового раствора равен л.). Поэтому можно записать уравнение для объемной концентрации  спирта в полученном растворе  откуда  Процентное содержание равно  или .

Ответ: .

Пример. Даны два сплава. Первый весит  кг и содержит  серебра. Второй весит  кг и содержит  серебра. Сколько кг второго сплава надо сплавить со всем первым сплавом, чтобы получить % сплав серебра? При каких  задача имеет решение?

Решение. Возьмем  кг второго сплава. В нем содержится  кг серебра. Сплавим эту часть второго сплава со всем первым сплавом. В первом сплаве содержится  кг серебра.

Новый сплав будет весить  кг и содержать  кг серебра. Концентрация серебра будет равна   . Для того, чтобы задача имела решение, необходимо и достаточно, чтобы  Следовательно  

              -                               +                         -

   //////////////////////                                      /////////////////      

                             550/7                         90                  m

               -                              +                         -

                       //////////////////////////////////////

                  70                                         90                  m

 Ответ: необходимо взять  кг второго сплава. Задача имеет решение, если

Задачи "на движение".

Задачи этой категории обычно содержат такие параметры, как пройденный путь , скорости  время движения . Обозначение тех или иных неизвестных принятыми для них в физике буквами делает систему уравнений задачи более понятной.

Обычно принимаемые допущения в текстах задач "на движение" (если не оговорено противное) состоят в следующем:

а) движение на отдельных участках считается равномерным и подчиняется формуле

б) развороты движущихся тел принимаются мгновенными, т.е. происходят без затраты времени; скорость при этом изменяется также мгновенно;

в) если тело движется по течению реки, то его скорость  складывается из скорости движения в стоячей воде  и скорости течения реки , а если тело движется против течения реки, то его скорость равна .

Плоты движутся со скорость течения реки.

К задачам "на движение" относятся также и задачи, в которых кто-либо выполняет какую-нибудь работу, задачи, связанные с наполнением и опорожнением резервуаров. В задачах такого типа производительности людей, насосов и других механизмов играют роль скоростей, а объемы работы или бассейна - роль расстояний.

Пример. Грузовик проехал расстояние  км. Первую половину пути он ехал со скоростью  км/час, а вторую половину - со скоростью  км/час. Найти среднюю скорость движения грузовика.

Решение. Для нахождения средней скорости нужно разделить пройденный путь на всё затраченное время. На прохождение первых  км пути грузовик затратил  часа, а на прохождение оставшихся  км - часа. Тогда средняя скорость равна  (км/час).

Ответ:  км/час.

В разобранной задаче типичной является следующая ошибка: абитуриенты принимают полусумму скоростей движения на двух участках за среднюю скорость. Так нельзя делать потому, что время прохождения одинаковых по протяженности участков различно! Грузовик дольше ехал с меньшей скоростью, поэтому средняя скорость получается меньше полусуммы скоростей.

Пример. Три комбайна, работая вместе, убирают поле за  часа. Это же поле первый и второй комбайны вместе убирают за  часов, первый и третий вместе - за  часов. Во сколько раз больше площадь, убираемая за один час вторым комбайном, по сравнению с площадью, убираемой за это время третьим комбайном?

Решение. Пусть площадь поля составляет  га, а производительности I, II и III комбайнов равны  га/час соответственно. Формализуя условия задачи, запишем систему трех уравнений

Обратим Ваше внимание на то, что нас не должно смущать, что неизвестных в системе (1) больше, чем уравнений. Дело в том, что от нас требуется найти не все неизвестные и , а лишь отношение  Для решения задачи выразим из третьего уравнения системы неизвестную  через                                          

Тогда из второго уравнения получим выражение  через :

Подставляя эти выражения  и  через  в первое уравнение системы, получаем уравнение, содержащие только неизвестные и ,  откуда  тогда  и

Ответ: в полтора раза больше.

Замечание. Если площадь поля не дана, то ее нельзя принимать равной единице "для удобства"! Записать вместо  в системе (1) единицу можно, только если Вы предположите, что мерой производительности служат не гектары в час, а "поля в час".

Пример. Два экскаватора, работая одновременно, могут вырыть котлован за  часа. Один первый экскаватор затратит на эту работу на  часов больше, чем один второй. За какое время может вырыть котлован каждый экскаватор, работая отдельно.

Решение. Пусть один первый экскаватор выроет котлован за  часов. Следовательно, за  час он выроет  часть котлована (т.е. скорость работы первого экскаватора ). Второй экскаватор потратит на эту работу часов, за один час он выроет  часть котлована. Работая вместе, экскаваторы за  час выроют  Поэтому им потребуется часов. Получаем уравнение:   .   час - не подходит, т.к. в этом случае время, за которое второй экскаватор выроет котлован  отрицательно. час - подходит.

Ответ: 12 часов, 6 часов.

Задачи "на числа".

Разберем на примере основную идею решения таких задач.

Пример. Сумма цифр двузначного числа равна . Если к этому числу прибавить , то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число.

Решение. Пусть  - число десятков, а  - число единиц искомого числа. Тогда это число можно записать в виде  и задача сводится к решению системы уравнений  Решением этой системы являются значения  и

Ответ:

Пример. Запись шестизначного числа начинается слева с цифры  Если эту цифру перенести с первого места на последнее, сохранив порядок остальных пяти цифр, то вновь полученное число будет втрое больше первоначального. Найти первоначальное число.

Решение. Обозначим через   искомое шестизначное число. Если у этого числа "убрать" первую цифру, то оно уменьшится на. Получится число . Теперь передвинем все оставшиеся цифры на один разряд влево и припишем к ним последнюю цифру   Получится число  По условию задачи  

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения.

1. Рабочий четвертого разряда зарабатывает на  больше, чем рабочий третьего разряда. На сколько процентов меньше, чем рабочий четвертого разряда, зарабатывает рабочий третьего разряда?

2. Из  кг свежих грибов получается  кг сухих грибов, содержащих  воды. Каков процент в свежих грибах.

3. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится , а в остатке . Если же к квадрату разности цифр этого числа прибавить произведение его цифр, то получится данное число, Найдите это число. Решите задачу, если задано одно лишь первое условие.

4. Лошадь съедает копну сена за  суток, корова может съесть такую же копну за  суток, а овца - за  суток. За какое время съедят эту копну лошадь, корова и овца вместе?

5. Две машинистки вместе напечатали  страниц, причем первая работала на один час больше второй. Однако вторая машинистка печатает в час на две страницы больше первой, и поэтому она напечатала на  страниц больше. Сколько страниц в час печатает каждая машинистка.

6. Бассейн наполняется водой через две трубы за  часов. Одна первая труба заполняет его на  часов быстрее, чем одна вторая. За сколько времени каждая труба, действуя отдельно, может заполнить бассейн?

7. Из городов А и В навстречу друг другу выехали два автомобиля и встретились через  часов. Если скорость автомобиля, выехавшего из А, увеличить на , а скорость автомобиля, выехавшего из В, увеличить на , то встреча произошла бы через  часов. У какого автомобиля скорость больше и во сколько раз?

8. Турист прошел  км за несколько дней, преодолевая ежедневно одинаковое расстояние. Если на это путешествие он употребил бы на два дня больше, то мог в день проходить на  км меньше. Сколько дней продолжалось путешествие?

9. Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит  олова, а второй -  меди. Процентное содержание цинка  в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив  кг первого сплава и  кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось  цинка. Определить, сколько кг олова содержится в получившемся новом сплаве.