Комплекс задач «Графический способ решения текстовых задач» для учащихся 7 класса
методическая разработка по алгебре (7 класс)

Комплекс задач «Графический способ решения текстовых задач» для учащихся 7 класса

Цель разработанного комплекса задач: формирование умений, необходимых для использования графического способа решения текстовых задач.

Чтобы решать текстовую задачу графическим способом нужно уметь строить и читать графики зависимостей, поэтому в комплексе задач предлагаются четыре блока:

• задачи на умение строить графики зависимостей;
• задачи на умение читать графики зависимостей;
• задачи на использование конструктивного приема решения графическим способом;
• задачи на использование вычислительного приема решения графическим способом.

Комплекс состоит из задач с сюжетной фабулой на равномерное движение и на работу, так как с помощью графиков рационально решаются задачи, в которых описывается некоторый равномерный процесс.

Первый блок задач предназначен для формирования у учащихся умений строить графики зависимостей, второй – для формирования умений читать графики зависимостей. Третий и четвертый блок задач на использование при решении текстовой задачи графического способа. И, так как существует два приёма использования графиков при решении задач, рассмотрим эти приёмы по отдельности в блоках.

К каждому блоку задач приведены по несколько примеров, чтобы учащиеся могли самостоятельно ознакомиться с процессом решения этих задач.

1. Задачи на умение строить графики зависимостей

Пример 1. Захар отправился из одной деревни в другую, в которой он дошёл за 2 часа со скоростью 4 км/ч и пробыл 1 час. Затем возвратился в свою деревню со скоростью 2 км/ч. Постройте график движения Захара.

Решение: Для начала начертим координатную плоскость. По горизонтали будем откладывать время в часах, а по вертикали – расстояние в километрах. Первые два часа он шёл со скоростью 4 км/ч. Построим этот график: чертим прямую линию от начала координат через точку с координатами (1;4) – что означает в час проходит 4 км. Проводим до двух часов, т.е. до точки (2;8). Так как он пробыл в деревне 1 час проводим прямую от (2;8) до (3;8). Далее он возвратился со скоростью 2 км/ч: проводим прямую через (3;8) и (4;6) до S=0, что означает, что он возвратился в свою деревню.

Рис. 9

Пример 2. Запас 100 яблок в семье ёжиков закончится через 15 дней, а в семье кроликов – через 10 дней. Постройте графики расходов яблок. За сколько дней закончится запас из 100 яблок, если оба семейства будут кушать вместе?

Решение: Для начала начертим координатную плоскость. Здесь количество яблок при построении графика не имеет значения, будем чертить только по времени. Возьмём 100 яблок, равным 5 клеткам. Семья ёжиков съест яблоки за 15 дней: проводим прямую линию от начала координат через точку (15;100). Семья кроликов – за 10 дней: проведём от (0;100) до (10;0). Если обе семьи будут кушать вместе, то запас закончится через 6 дней.

Рис. 10

Задачи для самостоятельного решения:

1. Ученики 7 класса отправились в пеший поход. Первые 2 часа они шли со скоростью 2 км/ч, затем один час со скоростью 6 км/ч и оставшиеся 3 часа – со скоростью 4 км/ч. Постройте график движения ребят.
2. Сестра выехала из села в город на автобусе, одновременно навстречу ему из города в село на велосипеде выехал брат. Между городом и селом расстояние 300 км. Постройте графики движения сестры и брата, если скорость автобуса 60 км/ч, а велосипедиста 15 км/ч.
3. От 7 утра до 9 Жанна нашла 10 грибов, затем передохнула 15 минут. После отдыха до 11 часов она нашла еще 12 грибов. Постройте график зависимости количества грибов от времени.
4. Из города Якутска в село Намцы со скоростью 5 км/ч вышла Сусанна. Спустя 3 часа в том же направлении из города выехал Алёша на велосипеде со скоростью 10 км/ч. Постройте графики движения детей.
5. Одна мельница может смолоть 19 ц пшеницы за 3 ч, другая 32 ц за 5ч, а третья 10 ц за 2 ч. Постройте графики работы мельниц.
6. Студент за 1 час 10 мин. прошел 6 км – от дома до автобусной остановки. На остановке он ожидал приезда автобуса 15 мин. и уехал из остановки на автобусе, который через 10 мин. доставил его на учебный корпус, отстоящего от остановки на 8 км. Постройте график движения студента.
7. Красная шапочка должна отвести пирожки бабушке и вернуться обратно домой. На весь путь туда и обратно она потратила 9,5 часов. От своего дома до дома бабушки Красная Шапочка шла со скоростью 3 км/час, а обратно 2 км/час. Постройте график движения туда и обратно Красной Шапочки, учитывая, что она гостила у бабушки 2 часа.
8. Ганя закончит поливать огород за 12 минут, а Кеша за 24 минут. Постройте график совместной работы ребят.
9. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 70 км, и потратил на путь 10 часов. На следующий день он отправился обратно. По дороге он сделал остановку на 3 часа и потратил на обратный путь столько же времени, сколько на первый день. Постройте графики движения велосипедиста.
10. Мужской парикмахер обслуживает одного человека час. А женский парикмахер – два часа. Постройте графики работ парикмахеров. Через шесть часов сколько мужчин и сколько женщин будут обслужены?
11. Лошадь с тележкой первые два часа шёл со скоростью 55 км/ч, следующий час – 7 км/ч, а затем час со скоростью 10 км/ч. Постройте график движения лошади. Определите по графику среднюю скорость лошади на протяжении всего времени.
12. Халк может решить 300 задач за 24 часа, а Железный человек – за 12 часов. За сколько часов решат 300 задач Халк и Железный человек, работая вместе?
13. Гена и Вася должны были закончить уборку картофеля за 6 дней. После 4 дней общей работы Гена поручили другое задание, и поэтому Вася закончил оставшуюся часть грядок один за 3 дня. Постройте график работы ребят. За сколько дней Вася один убрал бы всю картошку?
14. Лена вышла из Нижнего Бестяха со скоростью 5 км/ч. После того как она прошла 10 км, из Нижнего Бестяха в том же направлении выехал на велосипеде Ньургун со скоростью 10 км/ч. Изобразите графики движения обоих ребят на координатной плоскости. Через какое время Ньургун догнал Лену? Ответ укажите в часах.
15. В трудовом лагере первому и второму отрядам дали задания оградить территорию огорода забором. Первый отряд может построить забор за 6 дней. Второй отряд справляется с этим заданием за 3 дня. Постройте графики работы отрядов. Прочитайте по графику ответ на вопрос: сколько времени понадобится на строительство забора, если отряды будут работать вместе?
16. В 7 часов утра со скоростью 30 км/час из города А выехал мотоциклист. В 8 часов утра вслед за ним со скоростью 20 км/час выехал велосипедист. Через некоторое время мотоциклист повернул назад в пункт А и поехал с прежней скоростью. После встречи с мотоциклистом, велосипедист повернул назад и, двигаясь с прежней скоростью, приехал в пункт А в 14 часов. Постройте графики движения мотоциклиста и велосипедиста. Во сколько часов прибудет обратно в пункт А мотоциклист?
17. Сепаратор для молока производит 200 миллилитров сливок в минуту, а другой сепаратор — 300. Постройте графики зависимости количества сливок в литрах от времени в минутах обоих сепараторов. За сколько минут оба сепаратора наполнят ведро, объемом 5 литров?
18. Миша и Гриша выполняют одинаковый тест. Миша отвечает за час на 14 вопросов теста, а Гриша — на 28. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Миша закончил свой тест позже Гриши на 120 минут. Постройте графики работы ребят, выбрав масштаб 1 см клетки равной 7 вопросов. Сколько вопросов содержит тест?
19. От посёлка до другого посёлка Ира шла со скоростью 5 километров в час, а возвращалась со скоростью 6 километров в час, поэтому она затратила на обратный путь на 1 час меньше. Постройте график движения Иры. Определите по графику расстояние между посёлками.
20. Артём может поймать 12 окуней в час, а Аристон – 18 окуней. Постройте графики рыболовов. По сколько рыб поймали мальчики, если Аристон поймал рыб на 15 минут раньше Артёма?
21. Два друга на мотоциклах выехали из населённых пунктов А и В навстречу друг другу. Первый выехал из А в 8 часов и планировал приехать в В в 17 часов, но сделал остановку с 12 часов 30 минут до 14 часов. Второй мотоциклист выехал из В в 9 часов и приехал в А в 18 часов. Постройте графики движения мотоциклистов. Во сколько часов они встретились?
22. Из пункта А в 7 часов вышел путник, планируя прийти в пункт В в 15 часов. В 8 часов из пункта С. расположенного на середине пути между А и В, в направлении пункта А вышел второй путник. Встреча путников произошла в 10 часов. Постройте графики движения путников.
23. Пешеход идёт со скоростью 4 км/час, останавливаясь на передышку через каждые 6 км. Длительность каждой остановки, кроме каждой третьей, равна 15 минут, а третьей - 30 минут. Постройте график пешехода, если он пустился в путь в 6 часов утра и прибыл на место в 14 часов. Какое расстояние ходил пешеход?
24. На дорогу от дома до сенокоса и обратно Айаал на велосипеде затратит 7 часов. Постройте график движения Айаала туда и обратно, зная, что из дома в сенокос он ехал с быстротой 9 км/час, а из сенокоса домой с быстротой 12 км/час. Определите расстояние между домом и сенокосом.
25. Почтальон на велосипеде должен был доставить письмо до адреса и вернуться обратно в почту. На весь путь туда и обратно он потратил 6 часов. От почты до адреса доставки он ехал со скоростью 7 км/час, а обратно 5 км/час. Постройте график движения туда и обратно почтальона и определите расстояние от адреса доставки до почты.

2. Задачи на умение читать графики зависимостей

Пример. На рисунке построены графики движения пешехода и велосипедиста.

Рис. 11

С помощью графиков ответьте на вопросы: а) какое время был в пути пешеход и какое время – велосипедист; б) какой путь проделал пешеход и какой путь проехал велосипедист; в) с какой скоростью двигался пешеход и с какой – велосипедист; г) во сколько раз путь, который поехал за 2 часа велосипедист, больше пути, пройденного за то же время пешеходом?

Решение: по графику определяем, что велосипедист закончил движение в точке с координатами (2;30), где первая координата показывает время, а вторая – пройденный путь. Пешеход закончил своё движение в точке с координатами (4;20). Сразу можем ответить на пункты а) пешеход был в пути 4 часа, а велосипедист – 2 часа; б) пешеход проделал путь 20 км, а велосипедист проехал 30 км. в) чтобы найти скорость, пройденный путь делим на потраченную на этот путь время: скорость пешехода равна 20:4=5 км/ч, а скорость велосипедиста – 30:2=15 км/ч. г) чтобы ответить на этот вопрос нам нужно знать сколько километров прошёл пешеход за два часа. По графику определяем, что он проделал 10 км. Значит, путь, который поехал за 2 часа велосипедист, больше пути, пройденного за то же время пешеходом, в 30:10=3 раза.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Даны графики движения велосипедиста и мотоциклиста (рис.12). Пользуясь графиком, найдите: а) скорости мотоциклиста и велосипедиста; б) расстояние между мотоциклистом и велосипедистом в начале движения; в) Через сколько часов мотоциклист догнал велосипедиста. Составьте аналитические записи функций по графику.

Рис. 12

2. Даны графики грузовой и легковой машин (рис.13). Определите по графику: а) какова скорость каждой машины? б) каково расстояние между машинами в момент, когда легковая машина проехала от пункта А один час? в) на каком расстоянии от пункта А легковая машина догонит грузовую? г) на сколько часов больше грузовая машина потратила на путь 180 км? Составьте аналитические записи функций по графику.

Рис. 13

3. Даны графики движения Пети, Васи и Миши (рис.14) от лагеря до посёлка, находящегося на расстоянии 8 км от лагеря (рис.14). Определите по графику: a) спустя сколько часов вышел Миша из лагеря после Васи; б) на сколько скорость Пети отличается от скорости Миши; в) на сколько минут раньше Пети Вася пришёл в посёлок; г) спустя сколько часов после выхода Васи из лагеря мальчики стретились? Составьте аналитические записи функций по графику.

=

Рис. 14

4. Мама и дочка читают книги с равным количеством страниц 360. Графики зависимостей прочитанных страниц от времени показано на рисунке 15. Пользуясь графиком, ответьте на вопросы: а) на сколько страниц меньше мамы читает дочь в день; б) за сколько дней дочь прочитала 240 страниц; в) сколько дней понадобилось маме, чтобы закончить прочесть книгу; г) сколько еще страниц осталось прочитать дочке, когда мама уже закончила свою книгу? Составьте аналитические записи функций по графику.

Рис. 15

5. На рисунке 16 даны графики движения Андрея на велосипеде и Коли на мотоцикле. Определите по графику:а) с какой скоростью ехал Андрей;б) сколько часов Андрей отдыхал; в) каково было расстояние между Андреем и Колей, спустя 15 минут после выхода Коли; г) через сколько часов Коля догнал Андрея, считая от времени выхода Андрея? Составьте аналитические записи функций по графику.

Рис. 16

6. Финес и Ферб выполняют одинаковый тест. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста. Затем они сделали график скорости выполнения своих тестов (рис.17). Определите по графику:а) на сколько вопросов больше Финеса ответил Ферб на второй минуте; б) сколько секунд потребовалось Фербу, чтобы ответить на 50 вопросов; в) на сколько минут раньше Финеса Ферб закончил тест; г) через сколько минут Ферб ответил на треть вопросов теста? Составьте аналитические записи функций по графику.

Рис. 17

7. На складе было 144 м³ березовых и 128 м³ сосновых дров. Ежедневно со склада вывозили по несколько м³ березовых и сосновых дров. На рисунке 18 показаны графики убывания дров со склада. Пользуясь графиком, ответьте на вопросы: а) на сколько было больше берёзовых дров, чем сосновых; б) на сколько ежедневно вывозили больше берёзовых дров, чем сосновых; в) через сколько дней на складе останется поровну тех и других дровей? Составьте аналитические записи функций по графику.

Рис. 18

8. В пришкольном лагере дети разделились на два отряда: «Красные» и «Синие». «Красным» дали задание очистить 52 грядки от сорняков, а «Синим» - 42 (рис.19). Определите по графику: а) на сколько грядок больше «Красные» очищают в час, чем «Синие»; б) через сколько часов обоим отрядам осталось очистить одинаковое количество грядок; в) сколько грядок осталось очистить «Красным», спустя три часа; г) сколько грядок очистили «Синие» за 4,5 часа?Составьте аналитические записи функций по графику.

Рис. 19

9. Расстояние между деревней и лагерем для отдыха 12 км. 7 класс с классным руководителем отправились в поход. Даны графики движения детей от деревни до лагеря и обратно на следующий день (рис.20). Определите по графику:а) во сколько часов дети собрались из деревни в лагерь и во сколько прибыли в лагерь; б) на каком расстоянии от деревни находится пункт, который они проходили в один и тот же час как на прямом, так и на обратном пути, и в котором часу они его прошли; в) сколько часов потратили дети на путь от лагеря в деревню; г) что вы можете сказать про скорости движения группы в прямом и обратном путях?

Рис. 20

10. Тима и Дима катаются на коньках по кругу навстречу друг другу, и причём они стартовали из одного места. На рисункке 21 показаны графики движения ребят по кругу. Определите по графику: а) на сколько минут быстрее Тима делает круг, чем Дима; б) сколько раз Дима встречает Тиму, делая один круг; в) на какой минуте они встретятся пятый раз; г) сколько кругов сделал Дима в течении 9 минут?

Рис. 21

11. Кролику и ёжику дали по сто яблок (рис.22). Определите по графику: а) сколько яблок в день ест кролик; б) за сколько дней оба съели бы 100 яблок; в) если они вместе ели 100 яблок, на сколько яблок меньше досталось бы ёжику? Составьте аналитические записи функций по графику.

Рис. 22

12. Работникам дали задание построить кирпичный камин в доме. На рисунке 23 показаны графики работ работников. Пользуясь графиком, ответьте на вопросы: а) за сколько часов первый работник может построить камин; б) за сколько часов, работая вместе, они соорудят камин; в) как бы выглядел график совместной работы работников? Начертите в тетради; г) подумайте, как можно найти график работы второго работника, если даны графики работы первого работника и совместной работы.

Рис. 23

13. Катя, Лена и Женя отправились праздновать Ысыах в тусулгэ. На рисунке 24 показаны графики движения ребят: Катя и Лена ходили пешком, а Женя на велосипеде. Определите по графику: а) на сколько часов позже Женя отправился в тусулгэ; б) во сколько часов Женя встретил девушек на дороге, которые присели отдохнуть; в) во сколько часов девушки отправились из тусулгэ домой; г) на обратном пути во скольких километрах от дома Женя догнал девушек? Составьте аналитические записи функций по графику.

Рис. 24

14. Миле и Ване по 6 месяцев. Они оба питались детским молочным смесем от рождения. На рисунке 25 видно графики зависимости количества употребленных пачек смеси от возраста ребенка. Определите: а) сколькими пачками в месяц Ваню кормили до трёх месяцев; б) сколькими пачками в месяц питалась Мила от трёх до шести месяцев; в) сколькими пачкима больше Вани Милу кормили до четырёх месяцев; г) сколько пачек смеси за шесть месяцев Ваня и Мила употребили?

Рис. 25

15. Света делает приседания, график которой показан на рисунке 26. По графику определите: а) сколько приседаний в минуту делает Света; б) сколько всего приседаний она сделала за 9 минут; в) сделав сколько приседаний, Света делает перерывы; г) если она продолжит в том же духе, сколько приседаний сделает за 14 минут? Составьте аналитическую запись функции по графику.

Рис. 26

16. Дан график движения лодки от берега в деревне до «Перевала» и обратно (рис.27). Течение плывёт от деревни в сторону «Перевала». Определите по графику: а) скорость лодки по течению реки; б) скорость лодки против течения реки; в) собственную скорость лодки и скорость течения; г) сколько времени потратила лодка на путь туда и обратно, не считая время нахождения в «Перевале». Составьте аналитическую запись функции по графику.

Рис. 27

17. Даны графики работы насосов за 15 минут (рис. 28). Определите по графику: а) на сколько шариков больше надуваетпервый насос, чем второй насос; б) сколько шариков надувает второй насос за 10 минут; в) сколько шариков надувает первый насос за 8 минут г) на сколько шариков больше второго надувает первый насос за пять минут? Составьте аналитические записи функций по графику.

Рис. 28

18. Дан график роста Коли в возрасте от 10 до 14 лет (рис. 29). Пользуясь графиком, определите: а) рост Коли в 12,5 лет; б) на сколько сантиметров вырос Коля от 12 до 14 лет; в) сколько времени он не вырос ни на сантиметр; г) сколько было лет Коле, когда его рост составлял 144 см?

Рис. 29

19. Семья разбила лагерь в лесу. Таня пошла собирать ягоды рядом с лагерем, но заблудилась. На рисунке 30 дан график движения Тани. Определите по графику: а) на сколько далеко Таня отдалилась от лагеря; б) сколько раз она находилась в километре от лагеря; в) сколько времени Таня находилась далее двух километров от лагеря; г) во скольких километрах от лагеря она находилась в 11 часов? Составьте аналитическую запись функции по графику.

Рис. 30

20. У Сергея мобильный оператор «МТС», у Ланы «Мегафон», у Вити «Билайн». На рисунке 31 даны графики стоимости разговоров от продолжительности. Определите по графику: а) на сколько рублей дешевле звонок Вити будет стоить звонка Сергея на 5 минут; б) сколько рублей потратит Лана на разговор с Сергеем с продолжительностью 3 минуты; в) на сколько рублей выгоднее Вите при разговоре с Ланой 4 минуты? Составьте аналитические записи функций по графику.

Рис. 31

21. Автомобилист и мотоциклист одновременно выехали в одном направлении. Даны их графики движения (рис. 32). Определите: а) через сколько часов после выезда между ними будет такое же расстояние, как и первоначально; б) на сколько часов раньше автомобилист проехал отметку 11 км; в) пройдя сколько километров, мотоциклист встретит автомобилиста; г) в какую отметку автомобилист приехал раньше мотоциклиста на два часа? Составьте аналитические записи функций по графику.

Рис. 32

22. У Тимона и Пумбы диетический обед. Даны графики убывания их обедов (рис. 33). Ответьте на вопросы: а) за сколько секунд ест Пумба одного жука; б) спустя две минуты сколько всего жуков осталось у Тимона и Пумбы; в) на сколько секунд быстрее Тимона Пумба съест 10 жуков; г) сколько минут ел Тимон 7 жуков? Составьте аналитические записи функций по графику.

Рис. 33

23. Даны графики скорости обслуживания столов двух официантов (рис. 34). Определите по графику: а) за сколько часов обслуживает двенадцать столов первый официант; б) на сколько минут скорость второго официанта изменилась после трёх-часовой работы; в) за сколько часов сумма обслуженных столов стала 12; г) сколько столов обслужил официант 2 от 1,5 часов начала работы до 4?

Рис. 34

24. Даны графики тарифных планов «Всё включено» от «Мегафон» и «Smart» от «МТС» (рис. 35). Определите по графику: а) на сколько рублей дороже переплачивают люди с тарифом «Smart»; б) сколько рублей стоят пакеты тарифа «Всё вклбючено» в треть месяца; в) сколько рублей человек тратит на тарифный план «Всё включено» на один месяц больше, чем «Smart»? Составьте аналитические записи функций по графику.

Рис. 35

25. В прямоугольник площадью 12 кв.м. поместили маленькие прямоугольники площадью 2 кв.м. и 1 кв.м (рис. 36). Определите по графику: а) сколько прямоугольников площадью 2 кв.м. можно вместить в большой прямоугольник? б) можно ли вместить в этот прямоугольник по одиноковому количеству прямоугольников площадями 2 кв.м. и 1. кв.м.; в) сколько прямоугольников площадью 1 кв.м. можно вместить в это прямоугольник, наряду с тремя прямоугольниками площадью 2 кв.м.? Составьте аналитические записи функций по графику.

Рис. 36

3. Задачи на использование конструктивного приема решения графическим способом

При использовании конструктивного приема график вычерчивается как можно более точно непосредственно по значениям величин, входящих в условие задачи. Ответ получается обычно приближенный, но приемлемый для практических целей; находят его при помощи «измерений длин отрезков или других элементов чертежа, или просто «читают» ответ на чертеже.

Пример 1. От турбазы до привала туристы шли со скоростью 4,5 км/ч, а возвращались на турбазу со скоростью 4 км/ч, затратив на обратный путь на 15 мин больше. На каком расстоянии от турбазы был сделан привал?

Решение: На координатной плоскости изобразим графики движения туристов: и . Отрезку между графиками равной 15 минут соответсвует расстояние от турбазы до привала равное 9 км.

Рис. 37

Ответ: 9 км.

Пример 2. Мотоциклист выехал из города в деревню, находящегося на 300 км дальше от города. Навстречу ему из деревни выехал автомобилист. Определите через сколько часов они втсретятся, если от города до деревни мотоциклист доезжает за 12 часов, а автомобилист за 6 часов?

Решение: Для начала начертим координатную плоскость. Здесь расстояние от города до деревни при построении графика не имеет значения, будем чертить только по времени. Мотоциклист проходит этот путь за 12 часов: проводим прямую линию от начала координат через точку (12;300). Автомобилист – за 6 часов: проведём от (0;300) до (6;0). Они встретятся через 4 часа.

Рис. 38

Ответ: 4 часа.

Задачи для самостоятельного решения:

1. На заводе работают два цеха по выпуску игрушек. Первый цех выпускает в день 50 игрушек, а второй – 70. На завод поступил заказ на 360 игрушек. Через сколько дней заказ будет выполнен, если цеха начнут работать вместе?
2. Из города А со скоростью 5 км/ч вышла Ира. Спустя 3 часа в том же направлении из города А выехал Ваня на велосипеде со скоростью 10 км/ч. Через какое время Ваня догонит Иру?
3. Таня может съесть одну пиццу за 20 минут, а Лена – за 30 минут. За сколько минут съедят пиццу обе девочки?
4. К водоёму одновременно направились гепард и слоны, которые находились в разных местах на расстоянии 50 км от водоёма. Известно, что гепард направлялся к водоёму со скоростью 50 км/ч. Определите с какой скоростью шли слоны, если известно, что они пришли к водоёму на 4 часа позже гепарда. Ответ дайте в км/ч.
5. Отец выехал из села в город на автобусе, одновременно навстречу ему из города в село на велосипеде выехал сын. Между городом и селом расстояние 300 км. На каком расстоянии от села, и через какое время произойдет их встреча, если скорость автобуса 60 км/ч, а велосипедиста 15 км/ч?
6. Два друга – Кирилл и Мефодий – выехали на автомобилях одновременно навстречу друг другу из двух деревень. Автомобиль Кирилла доезжает до деревни «Хатырык» за 6 часов. Через какое время встретятся друзья, если известно, что автомобиль Мефодия на дорогу от деревни «Хатырык» до «Хомустаах» тратит всего 3 часа?
7. Бригада волонтеров могут покрасить забор за 8 часов. Через 3 часа после начала работы ей стала помогать другая бригада, которая может справиться с этой работой за 12 часов. За какое время волонтеры закончат красить забор?
8. Из Нижнего Бестяха выезжает УАЗ со скоростью 80 км/ч. Одновременно с ним из посёлка Качикатцы, находящегося на его маршруте движения в 100 км от Нижнего Бестяха, в том же направлении выезжает легковой автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько времени УАЗ догонит легковой автомобиль?
9. Из города А в 7 часов выехал велосипедист, планируя приехать в город В в 15 часов. В 8 часов утра из города С, находящегося от А на расстоянии трети всего пути АВ, вышел турист в направлении города А. Велосипедист и турист встретились в 9 часов. В какое время велосипедист догонит туриста, если турист пойдет не в город А, а в город В с той же скоростью, с какой он шел в город А?
10. Группа туристов отправилась в 8 часов утра на прогулку на моторной лодке по течению реки. Отплыв от пристани на некоторое расстояние, туристы сделали на берегу привал на 2 часа и вернулись обратно в 16 ч 15 мин. На какое расстояние отплыли туристы, если известно, что скорость лодки в стоячей воде равна 15 км/ч, а скорость течения реки равна 3 км/ч.
11. Кира на велосипеде проехала путь от дома до парка со скоростью 12 км/ч. Возвращаясь из парка домой, она развила скорость 18 км/ч и затратила на обратный путь на 15 минут меньше, чем на путь из дома до парка. Сколько километров между домом Киры и парком?
12. Теплоход с туристами отправился от пристани вниз по течению реки и должен вернуться обратно через 5 часов. Скорость течения реки 3 км/ч, скорость теплохода в стоячей воде 18 км/ч. На какое расстояние туристы могут отплыть от пристани, если они хотят пробыть на берегу 3 ч?
13. Из города Якутска до посёлка Марха выехал велосипедист со скоростью 10 километров в час, а возвращался со скоростью 15 километров в час и приехал обратно за 1 час быстрее. Какое расстояние он проехал туда и обратно?
14. Из деревень А и В, расстояние между которыми равно 44 км, навстречу друг другу одновременно выехали два товарища и встретились через 4 часа на расстоянии 20 км от деревни B. Найдите скорость человека, выехавшего из деревни A. Ответ дайте в км/ч.
15. Две девочки раскрашивают раскраску за 8 часов, а первая девочка раскрашивает раскраску одна за 12 часов. За сколько часов раскрашивает раскраску вторая девочка?
16. Если ехать на автомобиле со скоростью 60 км/ч, то от одного посёлка до другого можно проехать за 20 минут. Велосипедист проехал этот же путь за 2 часа. С какой скоростью ехал велосипедист?
17. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 15 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 60 км/ч, скорость второго равна 80 км/ч. Сколько минут с момента старта пройдет, прежде чем первый автомобиль будет опережать второй ровно на 1 круг?
18. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 10 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 90 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
19. Библиотеке нужно было переплести 1800 книг. Три мастерские брались каждая самостоятельно выполнить заказ: первая в 20 дней, вторая в 30 дней и третья в 60 дней. Чтобы закончить работу возможно скорее, решили передать заказ сразу всем трем мастерским. Во сколько дней закончат работу мастерские, работая одновременно?
20. Маша и Айта вымоют окно за 12 минут. Айта и Лера вымоют это же окно за 20 минут, а Маша и Лера – за 15 минут. За сколько минут девочки вымоют окно, работая втроём?
21. Два принтера, работая одновременно, могут напечатать 1500 фотографий за 10 часов. После четырехчасовой совместной работы первый принтер был остановлен, а второй напечатал оставшиеся фотографии за 12 часов. За сколько часов каждый из принтеров, работая один, мог бы напечатать 1500 фотографий?
22. Двум ученицам на уроке технологии дали задание сделать выкройки одежды. Первая ученица может выполнить работу за 12 часов; вторая ученицы – за 4 часов. За какое время ученицы выполнят всю работу, если будут работать вдвоём?
23. Два комбайна могут собрать зерно с одного поля за 8 дней, если будут работать вместе. Если же оба комбайна вспашут вместе только третью часть поля, то один первый комбайн сможет закончить работу за 8 дней. За сколько дней сможет вспахать все поле один второй комбайн?
24. Самолёт вылетел из Якутска в 9 часов утра и приземлился в Москве в 9 часов утра. В параллельной полосе навстречу к нему вылетел реактивный самолёт из Москвы в 6 часов утра и приземлился в Якутске в 15 часов. Определите во сколько часов по якутскому времени самолёты встретились, если время в Москве отстаёт на 6 часов.
25. Андрей доехал на велосипеде от реки до деревни и вернулся обратно, затратив на весь путь 1 час. От реки до деревни он ехал со скоростью 10 км/ч, а на обратном пути его скорость была 15 км/ч. Чему равно расстояние от реки до деревни?

Ответы: 1) 3 дня; 2) 3 часа; 3) 12 минут; 4) 10 км/ч; 5) 240 км; 6) 2 часа; 7) 6 часов; 8) 5 часов; 9) в 13 часов; 10) 45 км; 11) 9 км; 12) 18 км; 13) 60 км; 14) 6 км/ч; 15) 24 часа; 16) 10 км/ч 17) 45 минут: 18) 75 км/ч; 19) 10 дней; 20) 10 минут; 21) 20 часов; 22) 3 часа; 23) 12 часов; 24) в 13 часов; 25) 6 км.

4. Задачи на использование вычислительного приема решения графическим способом

При использовании вычислительного приёма график применяется как условное изображение связи между рассматриваемыми величинами. В этом случае чертеж выполняется от руки в виде наброска, эскиза. Решение задачи осуществляется аналитически, путем вычислений, но основывается на точных геометрических соотношениях (равенства, подобия, равновеликости и др.). Так как в 7 классе учащиеся еще не знакомы с подобием и равновеликостью, будем использовать только равенство отрезков.

Пример. Для выполнения планового задания к определенному сроку бригада рабочих должна была изготовлять ежедневно 54 детали. Перевыполняя план на 6 деталей в день, бригада уже за один день до срока не только выполнила плановое задание, но и изготовила 18 деталей сверх плана. Сколько дней работала бригада?

Решение: изобразим графики работ бригады к определенному сроку и за одинь день до срока, причём перевыполнила на 18 деталей (рис. 39). – количество изготовленных деталей за дней с производительностью 54 детали в день, т.е. . – количество изготовленных деталей за день до срок ( дней) с производительностью на 6 больше, чем плановой, т.е. 54+6=60 деталей в день. . – плановое задания, тогда – работа сверх плана, которая равна 18 деталям. По чертежу видим, что , а , . Приравнивая, получаем линейное уравнение . Решаем и получаем дня должна была работать бригада по плану. Значит, она работала 12 дней на день меньше планового.

Рис. 39

Ответ: 12 дней.

Задачи для самостоятельного решения:

1. От деревни до местности для охоты на мотоцикле можно доехать за три часа. Если увеличить скорость на 25 км/ч, то можно проехать это расстояние за 2 часа. Чему равно расстояние от деревни до местности для охоты?
2. Велосипедист проехал первую половину пути за 3 часа, а вторую – за 2 часа, так как увеличила скорость на 4 км/ч. Какое расстояние проехал велосипедист?
3. От станции до озера турист доехал на велосипеде за 3 часа. Пешком он мог бы пойти это расстояние за 6 часов. Чему равно расстояние от станции до озера, если на велосипеде турист едет со скоростью, на 10 км/ч большей, чем идёт пешком?
4. От заповедника до лагеря группа шла со скоростью 4 км/ч. По прибытии они поехали обратно на велосипедах со скоростью 12 км/ч и затратили на дорогу 4 часа меньше. Чему равно расстояние от заповедника до лагеря?
5. Артём поспорил с другом, что он пройдёт определенное количество уровней в игре за определенное количество дней. Он должен был пройти в день 24 уровня в игре, чтобы выполнить задание в срок. Однако он играл в день на 15 уровней больше и уже за 6 дней до срока прошёл 21 уровня сверх установленного количества. Сколько уровней в игре прошёл Артём?
6. Чтобы выполнить задание к назначенному сроку, мастер должен был мастерить 32 столовых приборов в день. Изготовляя на 8 приборов больше в день, мастер за день до срока выполнил задание и даже смастерил на 8 приборов больше. Сколько дней он работал?
7. Ученики к подготовке Новому году должны вырезать снежинки. По плану они должна были вырезать по 54 снежинок в день. Перевыполняя план на 6 снежинок в день, уже за день до срока они вырезали установленное количество снежинок. Сколько снежинок нужно было вырезать ребятам?
8. Принимая по 30 человек в день, врач перевыполнит недельную норму приёма больных на 20 человек. Принимая по 20 человек в день, врач не выполнит норму на 40 человек. Сколько дней в неделю работает врач и какова недельная норма приёма больных?
9. Расстояние между деревнями Миша на мотоцикле проходит на 45 минут быстрее, чем Боря. Определите расстояние между этими деревнями, если Миша развивает скорость мотоцикла до 48 км/ч, а Боря – 36 км/ч.
10. Бригада рабочих должна была изготовить определённое количество деталей за 20 дней. Однако она ежедневно изготавливала на 70 деталей больше, чем планировалось первоначально. Поэтому уже за 7 дней до срока ей осталось изготовить 140 деталей. Сколько деталей должна была изготовить бригада?
11. Нина должна была издавать каждый день по 40 страниц, чтобы закончить роман к назначенному сроку. Однако она печатала в день на 20 страниц больше и поэтому завершила роман на 4 дня раньше срока. Сколько страниц в романе Нины?
12. Бригада лесорубов ежедневно перевыполняла норму по заготовке леса на 16 м³, поэтому недельную норму (6 рабочих дней) она выполнила за 4 дня. Сколько кубометров леса заготовляла бригада в день?
13. В цехе поставили автомат, производительность которого была на 8 деталей в час выше производительности рабочего. После 2 часов работы автомат выполнил шестичасовую норму рабочего. Какова производительность автомата?
14. Бригада должна была выполнить заказ за 10 дней. Ежедневно перевыполняя норму на 27 деталей, бригада за 7 дней работы не только выполнила задание, но ещё изготовила дополнительно 54 детали. Сколько деталей в день изготовляла бригада?
15. Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 15 дней. Но уже за 2 дня до срока завод не только выполнил заказ, но и выпустил сверх заказа ещё 6 машин, так как ежедневно выпускал по 2 машины сверх заказа. Сколько машин должен был выпустить завод, чтобы выполнить заказ?
16. Из двух пунктов, расстояние между которыми 340 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Скорость одного на 5 км/ч больше скорости другого. Найти скорости поездов, если известно, что через 2 часа после начала движения расстояние между ними было 30 км.
17. Из городов А и В, расстояние между которыми 230 км, одновременно выехали навстречу друг другу два мотоциклиста. Через 3 часа после начала движения расстояние между ними было 20 км. Найти скорости мотоциклистов, если скорость одного на 10 км/ч меньше скорости другого.
18. Первый час туристы шли на станцию со скоростью 3,5 км/ч. Если они и дальше будут идти с той же скоростью, то придут на час позже намеченного срока. Увеличив скорость на 1,5 км/ч, туристы прибыли на станцию на 30 минут раньше намеченного срока. Какой путь прошли туристы?
19. Из посёлка выехал автобус, а через час выехал автомобиль и догнал автобус через 1,5 ч. На каком расстоянии от посёлка автомобиль догнал автобус, если скорость автомобиля на 40 км/ч больше скорости автобуса (автобус в пути не делал остановок)?
20. Двое рабочих изготовили 1020 деталей. Первый рабочий работал 15 дней, а второй – 14 дней. Сколько деталей изготовлял каждый рабочий за один день, если первый рабочий за 3 дня изготовлял на 60 деталей больше, чем второй за 2 дня?
21. Два тракториста забороновали вместе 678 га пашни. Первый тракторист работал 8 дней, а второй – 11 дней. Сколько гектаров бороновал за день каждый тракторист, если первый за 3 дня забороновал на 22 га меньше, чем второй за 4 дня?
22. Турист выехал из города А и должен приехать в город В в назначенный срок. Если он будет ехать со скоростью 35 км/ч, то опоздает на 2 ч; если же он будет ехать со скоростью 50 км/ч, то приедет на час раньше срока. Определить расстояние между городами А и В и время, затраченное туристом на путь из города А в город В, если он прибыл в назначенный срок.
23. Расстояние между берегами Якутска и Нижнего-Бестяха равно 162 км. От берега Якутска пустился теплоход со скоростью 45 км/ч. Через 45 мин от берега Нижнего-Бестяха навстречу ему пустился большой паром, скорость которого 36 км/ч. Через сколько часов после начала движения теплохода они встретятся?
24. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 280 км, выходят одновременно два автомобиля. Если автомобили будут двигаться навстречу друг другу, то встреча произойдёт через 2 часа. Если же они будут двигаться в одном направлении, то автомобиль, вышедший из А, догонит автомобиль, вышедший из В, через 14 часов. Какова скорость каждого автомобиля?
25. Два туриста вышли одновременно из двух городов, расстояние между которыми 38 км, и встретились через 4 часа. С какой скоростью шёл каждый турист, если известно, что первый прошёл до встречи на 2 км больше второго?

Ответы: 1) 150 км; 2) 48 км; 3) 60 км; 4) 24 км; 5) 408 уровней; 6) 5 дней; 7) 540 снежинок; 8) 6 дней в неделю, 160 человек; 9) 108 км; 10) 3000 деталей; 11) 480 страниц; 12) 32 кубометров; 13) 12 деталей в час; 14) 72 деталей; 15) 150 машин; 16) 75 и 80 км/ч; 17) 30 и 40 км/ч; 18) 35 км; 19) 150 км; 20) 40 и 30; 21) 34 и 38; 22) 350 км, 8 часов; 23) 2 часа 20 мин; 24) 60 и 80 км/ч; 25) 4,5 и 5 км/ч.