Урок алгебры в 8 классе "Решение квадратных уравнений. Теорема Виета"
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

ГБОУ СОШ №418 Кронштадтского райноа ,

Санкт-Петербурга, учитель математики

Мещерякова Ирина Сергеевна.

Урок алгебры в 8 классе по учебнику Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И. Шабунин

ТЕМА УРОКА «Решение квадратных уравнений. Теорема Виета»

Цель урока:

Изучить теорему Виета, формировать умение применять теорему Виета и обратную ей при решении приведенных квадратных уравнений.

Задачи урока:

1) Образовательные: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме: «Квадратные уравнения»; ввести определение приведенного квадратного уравнения; доказать Теорему Виета

2) Воспитательные: формировать познавательный процесс,формировать навыки осознанного выбора наиболее эффективного способа решения, навыки самодиагностики и самокоррекции деятельности, воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов;

3) Развивающие: воспитание трудолюбия, желания добиться поставленной цели, сознательного отношения к учебе, развитие самостоятельности.

Тип занятия: изучение нового материала

Оборудование: компьютер, интерактивная доска и мультимедийный проектор.

Учащийся должен знать:

•  Теорему Виета для вычисления корней квадратного уравнения.

Учащийся должен уметь:

• Применять полученные знания к решению приведенного квадратного уравнения.

Структура урока

1. Организационный момент.  (3 мин.)
2. Устная работа (2 мин.)
3. Повторение (10 мин.)
4. Изучение нового материала (10 мин.)
5. Первичное осмысление и применение изученного (14 мин.)
6. Постановка домашнего задания (2 мин.)
7. Подведение итогов урока (4 мин.)

Ход урока:

1. Организационный момент

Ребята проверьте пожалуйста на своем столе наличие  дневника, учебника, рабочей тетради, ручки, простого карандаша, ластика и линейки

Сегодня у нас один из уроков по теме “Квадратные уравнения”. Давайте откроем тетради и проверим ваше домашнее задание. Подскажите пожалуйста были ли трудности при выполнении работы?

2. Устная работа

Назовите полные, неполные и приведенные квадратные уравнения (уравнения выводятся на интерактивную доску)

х2 - 10х - 2 = 0                 7х2 - 14х  = 0

3х2 - 7х + 24 = 0              х2 - х - 2 = 0

х2 - 14х = 0                      5х2 - 10х - 25 = 0

х2 -- 25 = 0                       х2 - 16х - 24 = 0

х2  = 16                             25х2 + 10х - 24 = 0

17х2 + 48х - 24 = 0           х2 +10х - 24 = 0

3. Повторение

1. Уравнение какого вида называется квадратным уравнением?
2. Как называются коэффициенты квадратного уравнения?
3. В каких случаях квадратное уравнение называют неполным?
4. Как называется квадратное уравнение, если его старший коэффициент равен 1?
5. Назовите формулу дискриминанта (один человек выходит к доске)
6. Назовите формулу  корней квадратных уравнений (один человек выходит к доске)
7. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D > 0?
8. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D = 0?
9. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D < 0?
10. Квадратное уравнение вида x2+px+q = 0 называется ...?
11. Назовите формулу  корней приведенного квадратного уравнения (один человек выходит к доске)

Самостоятельная работа на карточках:

Решить приведенное квадратное уравнение с помощью дискриминанта и формулы корней квадратного уравнения:

1 вариант: 

х2 - х + 25 = 0 

х2 - 10х - 75 = 0 

х2 - 8х + 16 = 0 

2 вариант:

х2 - 5х + 6 = 0 

х2 - 6х + 9 = 0 

х2 + х + 16 = 0 

4. Изучение нового материала

Вы дома решали квадратные уравнения разных видов полные, неполные и приведенные. Используя ваши решения давайте заполним таблицу. Работа в тетрадях, два человека у доски (на интерактивную доску выведена таблица для заполнения).

Хорошо! Вы прекрасно справились с поставленной задачей. А теперь давайте попробуем решить данное уравнение:

х2 – 5271х + 5270 = 0

Решить его конечно можно, но считать нам придется очень долго. Наверное я вас удивлю, но это уравнение можно решить устно. Для этого нам потребуются новые знания.

Поэтому, ребята, запишем новую тему урока “Теорема Виета”.  Перед вами стоят следующие задачи: сформулировать и доказать теорему Виета и обратную ей теорему; научиться применять её при решении типовых упражнений.

Виет Франсуа (1540-1603) - французский математик, ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений. За это новшество его стали называть “отцом алгебры”.

Как связаны между собой корни квадратного трёхчлена х2 + pх + q  и его коэффициенты p и q? Ответ на этот вопрос  дает теорема , которая носит имя «отца алгебры», французского математика Ф.Виета, которую мы будем сегодня изучать.

Знаменитая теорема была обнародована в 1591 году.

Вернемся к нашей первой таблице и посмотрим внимательно на два последних столбца.  Постарайтесь найти закономерность и сделать вывод.

Давайте теперь попытаемся сформулировать и доказать  теорему Виета (страница учебника выводится на интерактивную доску).

Теперь давайте посмотрим на два последних столбца второй таблицы. Проанализируйте результат и сделайте вывод. 

Вывод: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

А теперь давайте попробуем решить уравнение х2+х+3=0 с помощью теоремы Виета. Как вы считаете, почему у нас не получается подобрать корни? Давайте подумаем, от чего зависит количество корней в квадратном уравнении? Правильно! Для начала надо найти дискриминант. 

5. Первичное осмысление и применение изученного

Теперь отрабатываем навыки применения теоремы Виета и решаем уравнения по следующему алгоритму (3 человека у доски, остальные в тетради)

х2+7х+6=0

Д=b2  -4ac = 72 - 4*1*6 = 25, Д ≥ 0

х1 + х2 = –р;  

 х1 · х2 = q.

х1 + х2 = –7 

 х1 · х2 =6  

х1 = -1   х2 = -6

Решить задания из учебника №450 (1, 3, 5)

Физкультминутка 

Если х2 + рх + q = 0 приведенное квадратное уравнение, то x1 + x2 = - р,

x1• x2 = q.

А как вы считаете, можно ли составить квадратное уравнение по его корням?  Да, можно. Для этого применяется теорема, обратная теореме Виета.

Обратная теорема: Если числа x1 , x2 таковы, что x1 + x2 = - р, x1• x2 = q, то эти числа – корни уравнения х2 + рх + q = 0. 

Доказательство согласно учебнику (страница учебника выводится на интерактивную доску)

Задание: составьте приведенные квадратные уравнения по данным №455 (1; 3) 2 человека работают у доски, остальные в тетрадях.

Задание: методом подбора найти корни уравнения в задании №456(1;3;5)

4. Постановка домашнего задания 

№450(2;4;6)

№455(2;4)

№456(2;4;6)

5. Подведение итогов

А теперь давайте вернемся к уравнению, о котором мы говорили в начале урока и решим его устно, используя полученные знания:

х2 – 5271х + 5270 = 0

Найдем корни данного уравнения.

Вам понравилось?

Ребята, а всегда ли можно применять теорему Виета?

Почему необходимо знать несколько способов способ решения квадратных уравнений?

Почему важно находить дискриминант при решении квадратных уравнений?

Продолжите фразы:

• Сегодня на уроке я узнал…

• Сегодня на уроке я повторил…

• Сегодня на уроке я закрепил…

Выставление оценок.