Презентация "Наибольшее и наименьшее значения функции. Решение задач ЕГЭ"
презентация к уроку по алгебре (11 класс)

Слайд 1

Решение заданий ЕГЭ по теме: «Наибольшее и наименьшее значения функции» Задание 11 Шипёнок М.Л. ГБОУ гимназия №402 Сакт -Петербурга

Слайд 2

Основные понятия Точка минимума — такая точка x 0 , если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) > f(x 0 ) Минимум функции — значение функции в точке минимума x 0 Точка максимума — такая точка x 0 , если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) < f( x 0 ) Максимум функции — значение функции в точке максимума x 0 Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума . Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками . Экстремумы могут существовать только в критических точках. Однако, не все критические точки являются экстремумами. Теорема ( достаточный признак существования экстремума функции ). Критическая точка x 0 является точкой экстремума функции f ( x ), если при переходе через эту точку производная функции меняет знак, причём, если знак меняется с "плюса" на "минус", то точкой максимума, а если с "минуса" на "плюс", то точкой минимума.

Слайд 3

Пусть функция f имеет на отрезке [а; b] конечное число критических точек. Наибольшее и наименьшее значения функция f может принимать в критических точках функции или в точках а и b. Рисунок 1 Рисунок 2 Рисунок 3

Слайд 5

Правила дифференцирования: Задание №1. Найдите точку минимума функции y=x 3 -9x 2 +12 . D(y)=R y + + - 0 6 max min x При переходе через точку х=6 производная меняет знак с «-» на «+», значит, эта точка минимума. Ответ: 6 (х)= ּּּ (х)=0, = 0,

Слайд 6

Правила дифференцирования; Задание №2. Найдите точку максимума функции D(y)=R 0, =0, = При переходе через точку х= -11 производная меняет знак с « + » на « - », значит, эта точка максимума. Ответ: -11 y + -11 max x -

Слайд 7

Правила дифференцирования Задание № 3 . Найдите точку максимума функции . D(y) : 0, = 0 -18 При переходе через точку х=18 производная меняет знак с «+» на «-», значит, эта точка максимума. Ответ: 18 y - + + -18 0 max min x 18 -

Слайд 8

Задание № 4 . Найдите точку максимума функции . D(y)=R Т.к. функция возрастающая, заданная функция достигает максимума в той же точке, в которой достигает максимум выражение . Квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке Ответ: 4

Слайд 10

Чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке, нужно найти: 1) значения функции на концах отрезка; 2) критические точки, которые принадлежат заданному отрезку; 3) значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку; 4) выбрать наибольшее(наименьшее) из полученных значений. Задание №5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке . D(y)=R , , принадлежит одна стационарная точка х=-6. Из чисел 99, 11 и 119, наибольшее значение 119. Ответ: 119

Слайд 11

Предположим, что функция f имеет на отрезке [а; b] одну точку экстремума. Если это точка минимума, то в этой точке функция будет принимать наименьшее значение. Если это точка максимума, то в этой точке функция будет принимать наибольшее значение. Задание № 6 . Найдите наименьшее значение функции . D(y)= 0, , В точке х=4 заданная функция имеет минимум. Ответ: 12 y + - 1 4 min x 9 Рисунок 4 Рисунок 5

Слайд 12

Правила дифференцирования: Задание № 7. Найдите наибольшее значение функции на отрезке . D(y)=R , В точке х=-9 заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Ответ: -5 y - + -19 -9 m ах x -5

Слайд 13

Правила дифференцирования Задание № 8 . Найдите наименьшее значение функции на отрезке . D(y) : , , , Т.к. функция на отрезке возрастает, значит, она принимает наименьшее значение при х= -3. Ответ: -25 y + -3 0 x

Слайд 14

Задание № 9 . Найдите наибольшее значение функции . Найдем область определения функции. ≥ 0 ≤ 0 D(y)= Т.к. функция возрастающая, а заданная функция определена при найденном значении переменной, она достигает максимума в той же точке, в которой достигает максимум подкоренное выражение -3 Ответ: 4 -7 1

Слайд 15

Задание № 1 0. Найдите наименьшее значение функции Найдем область определения функции : 0 D(y)=R Т.к. функция возрастающая, она достигает наименьшее значение в той точке, в которой достигает наименьшее значение выражение 3 Функция в точке х=3 определена, а, значит, Ответ: 2 = 0 -4 <0

Слайд 16

Правила дифференцирования Задание № 1 1. Найдите наименьшее значение функции на отрезке . D(y) =R , , , = , т.к. Критических точек нет. Тогда наименьшее значение функция будет принимать на одном из концов отрезка. Ответ: -19,5

Слайд 17

Формула дифференцирования Задание № 1 2 . Найдите наименьшее значение функции на отрезке . D(y) =R , , , = , т.к. Ответ: 7 при всех значениях переменной х. Значит, заданная функция является убывающей. Тогда наименьшее значение функция принимает в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0

Слайд 18

Формула дифференцирования Задание № 1 3 . Найдите наибольшее значение функции на отрезке . при любом , Ответ: 6 Значит, заданная функция возрастает на данном промежутке. Наибольшее значение функция на отрезке достигает в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0.