Математика и экономика. Решение задач на наибольшее и наименьшее значения функции
презентация к уроку по алгебре (10, 11 класс) на тему

Слайд 1

Математика и экономика Задачи о наибольших и наименьших значениях величин Прокофьева И.Л.

Слайд 2

ПЛАН УРОКА . Повторение. Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке . Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5 Задача 6 Анализ урока Домашнее задание. Задачи для самостоятельного решения. .

Слайд 3

Задача 1 Завод производит x единиц продукции в месяц, а суммарные издержки производства составляют: Зависимость между ценой p и количеством единиц x ,которое можно продать по этой цене определяется формулой : Выявить при каких условиях прибыль будет максимальной.

Слайд 4

Решение Обозначим через Z получаемую прибыль, которая равна разности между выручкой от продаж товара и затратами. Очевидно Прибыль будет максимальной если, т.е. или Предприятие получает максимальную прибыль при таком объеме производства продукции, для которого предельная выручка равна предельным издержкам. Выручка , а предельная выручка Предельные издержки Прибыль будет максимальной, если или

Слайд 5

Производная меняет знак плюс на минус, следовательно функция достигает своего максимального значения. В данном случае – максимальной прибыли. При таком объеме выпускаемой продукции цена составит: (рублей)

Слайд 6

Задача 2 Требуется построить здание с общей площадью S так, чтобы затраты на наружные стены были наименьшими.

Слайд 7

Обозначим через x длину здания, тогда ширина здания будет . Периметр здания выразится формулой Найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю. , , Вторая производная при больше нуля, что указывает о наличии минимума. Найдем этот периметр. Решение

Слайд 8

Определить соотношение высоты и поперечника цилиндрической консервной банки заданной вместимостью V так, чтобы на ее изготовление потребовалось минимальное количества металла. Задача 3

Слайд 9

Решение Обозначим радиус основания цилиндрической консервной банки через r . Зная, что объем цилиндрической банк определим высоту банки (1) Боковая поверхность банки равна произведению длины окружности основания на высоту, т.е. (2) Тогда полная поверхность банки будет (3) Продифференцируем функцию (3)

Слайд 10

Приравняем производную к нулю, Отсюда Вторая производная , что подтверждает минимальность функции S . Высота банки Следовательно, чтобы на изготовление консервной банки потребовалось бы минимальное количество металла, высота ее должна равняться диаметру.