Решение прикладных задач по теме Наибольшее и наименьшее значение функции
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Решение прикладных задач по теме

«Наибольшее и наименьшее значение функции»

10 класс

Цели урока:

        Общеобразовательные: углубление понимания сущности производной путем применения её для получения новых знаний; установление межпредметных связей.

        Развивающие: формирование умений строить доказательство, логическую цепочку рассуждений; формирование умений проводить обобщение, переносить знания в новую ситуацию.

        Воспитательные: воспитание познавательного интереса к учебному предмету; воспитание у учащихся культуры логического мышления.

Девиз урока: В математике следует помнить не формулы,  а процессы мышления

В.П. Ермаков

Ход урока

        Ребята, я хочу начать урок с фрагмента рассказа Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно» о крестьянине Пахоме, покупавшему землю у башкир.

- А цена какая будет?- говорит Пахом.

- Цена у нас одно: 1000 рублей в день.

Не понял Пахом.

- Какая же эта мера – день? Сколько в ней десятин будет?

- Мы этого, - говорит, - не умеем считать. А мы за день продаем; сколько обойдешь в день, то и твое, а цена 1000 рублей.

Удивился Пахом.

- Да ведь это, - говорит, - в день обойти земли много будет.

Засмеялся старшина.

Вся твоя, - говорит. Только один уговор. Если назад не придешь в день к тому месту, с какого возьмешься, пропади твои деньги.

- А как же, говорит Пахом, - отметить, где я пройду?

- А мы станем на место, где ты облюбуешь; мы стоять будем, а ты иди, делай круг, а с собой скребку возьми и, где надобно, замечай, на углах ямки рой, дернички клади; потом с ямки на ямку плугом пройдем. Какой хочешь круг забирай, только до захода солнца приходи к тому месту, с какого взялся. Что обойдешь, все твое.

        Фигура, которая получилась у Пахома изображена на рисунке. Что за фигура? (прямоугольная трапеция) Найдем её периметр. Р=2+13+15+10=40 км. Какова Площадь этой трапеции?

        Ребята, как вы думаете, наибольшую ли площадь получил Пахом (с учетом того, что участки обычно имеют форму четырехугольника)?

        Сегодня на уроке мы это выясним и научимся переводить задачу на язык математики, конструировать математическую модель, выделять математическую идею.

        Чтобы решить поставленную задачу, нам необходимо вспомнить: алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции;

какие точки называются критическими;

этапы работы с моделью.

        Решим задачу № 953а: Периметр прямоугольника равен 56 см. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей?

I этап. Составление математической модели

        Оптимизируемая величина (О.В.) – площадь, S. Площадь зависит от длины и ширины. Объявим независимой переменной (Н.П.) – длину прямоугольника и обозначим её за  х, (28-х) – ширина прямоугольника, тогда  0 < x < 28  -  реальные границы изменений независимой переменной. Записываем функцию: S(x) = x(28-x) Математическая модель составлена.

        II этап. Работа с составленной моделью

        На этом этапе для функции S(x) хЄ(0;28) надо найти Sнаиб. Воспользуемся алгоритмом нахождения наибольшего и наименьшего значения:

S(x)=28-x2; S|(x)=28-2x; S|(x)=0; 2(14-x)=0; x=14

Заданному интервалу точка принадлежит. Свое наибольшее значение функция  S(x) = x(28-x)  достигает при х=14 и Sнаиб = 196/

        III этап. Ответ на вопрос задачи

        Мы выяснили, что длина участка,  имеющего наибольшую площадь

равна 14, ширина равна 14.

        А теперь вернемся к задаче, с которой мы начали урок. Значит какую фигуру Пахом должен был обойти? Р = 40км , а = 10км, Значит  Sнаиб = 100кв.км

        Решим следующую задачу: Для конструкторского бюро строится комната в форме прямоугольного параллелепипеда, одна из стен которой должна быть сделана из стекла, а остальные из обычного материала. Высота комнаты должна быть 4м., а площадь 80 кв.м. Известно, что 1 кв.м. стеклянной стены стоит 75 рублей, а из обычного материала 50 рублей. Какими должны быть размеры комнаты, чтобы общая стоимость всех стен была наименьшей?

        I этап. Моделирование.

S (ABCD) = ab = 80 м2

S(A.B.C.D.) = ah = 4a м2

Найдем стоимость стены AA.BB.:

P(AA 1 BB1) = 75*4a = 300a м

S(AA 1DD1) = bh = 4b, тогда  Р(AA 1DD 1) = 200b

S(BB 1CC 1) = bh = 4b, тогда Р(BB 1CC1) = 200b

S(CC 1DD 1) = ah = 4a, тогда Р(CC 1DD 1) = 50*4а = 200а

Общая стоимость всех стен

Р1= 300а + 400b + 200а = 500а + 400b, aЄ(0;80/b]

        Математическая задача: исследовать функцию на наименьшее значение на заданном промежутке.

II этап. Работа с математической моделью

Р1=500а + 400b,

a=-8  не удовлетворяет условию задачи.

Sнаим достигается при а=8

        III этап.

        Ширина стеклянной стены должна быть равна 8м, а обычной 10м.

При таких размерах общая стоимость всех стен окажется наименьшей и равной 8000 рублей

        Подведение итогов

        Домашнее задание: 952а, 953б, 954а