Конспект урока по теме "Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке"
план-конспект урока алгебры (10 класс) по теме

ГООУ СПО «Россошанский педагогический колледж»

Конспект урока, проведенного преподавателем  математики  ВКК

Баскаковой Галиной Владимировной.

Тема:  Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

 Дидактические цели:

4. Проверка домашнего задания.

    Проверяется работа ученика у доски.

    Учитель: Дома вы проводили полное исследование данной функции и строили ее график. Какой из этих графиков является графиком функции  . Ответ обоснуйте.  ( Работа со слайдом 8)

5. Тестирование по вариантам. 

Ответы теста фиксируются в листах индивидуальных достижений, которые сдаются преподавателю на проверку.

  Вопросы теста: Слайды 9 – 14.

II. Объяснение нового материала.

 1) Водная беседа учителя.  Постановка перед учащимися учебной проблемы.

   Испокон веку люди, приступая к осуществлению своих мероприятий, пытались принимать оптимальные решения. Некоторые решения могли приниматься без специального математического анализа, просто на основе опыта и здравого смысла.

Возьмем пример: человек вышел утром из дому, чтобы ехать на работу. По ходу дела ему приходится принять целый ряд решений: брать ли с собой зонтик? В каком месте перейти улицу. И так далее.      

    С  задачами, требующими оптимального решения,  в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей. Технологи – стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции.

 Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т.д. Решение таких задач опирается на точные математические расчеты. Задачи подобного рода носят общее название – задачи на оптимизацию (от латинского слова optimum – “наилучший” – Слайд 15).    

        П.Л.Чебышев говорил, что “особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды”.

Слайд 16

        В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с двумя величинами, одна из которых зависит от другой, причём надо найти такое значение второй величины, при котором первая принимает своё наименьшее или наибольшее (наилучшее в данных условиях) значение.  Учиться решать такие задачи мы будем решать на последующих уроках, а сегодня попробуем отыскать алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

      В курсе математического анализа доказывается теорема  Вейерштрасса.

Слайд 17.

2) Давайте рассмотрим различные варианты  поведения непрерывной на отрезке функции,  и попытаемся определить,  в каких точках она достигает своего наибольшего и наименьшего значений.

 Обсуждение в группах по предложенному плану. Обмен мнениями. Фиксация выводов.

План обсуждения слайдов.

1. Что можно сказать о монотонности функции на отрезке [a;b]?

1. В какой точке функция достигает своего наибольшего значения?
2. В какой точке функция достигает своего наименьшего значения?
3. Чем можно сказать о  данных точках  отрезка [a;b]?
4. Какой вывод можно сделать?

А)  Функция возрастает (убывает) на отрезке.

        Слайд 18                            

Б) Функция имеет на отрезке [a;b] единственную точку экстремума.

      Слайд 19

В) Функция имеет несколько точек экстремума на отрезке [a;b].

       Слайд 20                              

Г) Анализ всех рассмотренных случаев, установление закономерности  нахождения  наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Беседа по слайду:

1. Где функция может достигать своего наибольшего (наименьшего) значения на отрезке?
2. Какой общий подход к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке можно применить?

Слайд 21

Выводы:

1. Если функция у = f(х) на отрезке [а; b] имеет лишь одну точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

2. Если функция у = f(х) на отрезке [а; b] не имеет критических , то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает одном конце отрезка,  а наименьшее – на другом.

3. Если на  отрезке [а; b] функция имеет несколько критических точек, то своего наибольшего (наименьшего) значения она достигает либо на концах этого отрезка, либо в критических точках, лежащих на данном отрезке.

3) Составление алгоритма.

    Слайд 22                              

Алгоритм записывается  студентами в тетрадь.

4) Работа с образцом решения упражнения. Фронтальное повторение основных этапов решения с опорой на слайд.

      Слайд 23-24.                            

III. Первичное закрепление изученного материала.

А) Решение упражнения. Ученики у доски с комментированием.

1.  на отрезке ;
2.  на отрезке .

Подведение мини-итога, повторение алгоритма.

Б) Самостоятельно: (работа в группах, обсуждение решения)

 f (x) = x3 – 3x2 + 3x + 2 на отрезке [– 2; 2].

                                      Решение:

2. Найдем критические точки функции:, , если . Отсюда, .
3. Найдем значения функции на концах отрезка и в критической точке, лежащей на этом отрезке :                                                                                                                                                                                                                                                
4. Выберем из полученных значений наибольшее и  наименьшее:    .

        Проверка через мультимедийный проектор. Слайд 25.

В)  Как вы думаете, можно ли по графику производной определить, в какой точке функция принимает наибольшее ( наименьшее) значение? ( Работа со слайдом 26)

   IV.Применение алгоритма нахождения наибольшего наименьшего значения      функции при решении задач ЕГЭ,   части «С».

Вводное слово учителя: Сегодня мы уже говорили о большой практической значимости данной темы. Традиционно задачи, связанные с нахождением   наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке включаются в  ЕГЭ. Давайте попробуем применить полученные знания при решении задач из части «С».

Задача 1: Найдите наибольшее значение функции  . (Слайд 27)

Решение.

1. Найдем область определения функции: значит  .
2. Оценим значение выражения   на отрезке .  

      Следовательно, подмодульное выражение отрицательно на отрезке .

3. Преобразуем данную функцию:

3. Найдем наибольшее значение функции  на отрезке .     , если  отсюда  или                                                      -4 не принадлежит отрезку .                                                                                Вычислим значения функции в точках -3, 0, 3.    
4. Наибольшее значение функции равно 4.

Ответ: 4.

V этап: Выполнение самостоятельной работы.  (Работы сдаются на проверку учителю) Слайд 28.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

I в.  на отрезке .

II в.  = 9x + 3x2 – x3 на отрезке [– 2; 2].

VI.  Рефлексия. Определение домашнего задания.

Учитель предлагает учащимся  обсудить урок и свою деятельность при постановке учебной задачи, планировании, изучении нового материала, обращая внимания на следующие моменты:

1. каковы ваши главные результаты, что вы поняли, чему научились;

1. способы, которые использовались в ходе вашей учебной  деятельности для достижения цели урока;

1. какие чувства испытывали во время урока;
2. пережили ли вы чувство радости, успеха;
3. с каким настроением вы уходите  с урока;

Дома предлагается выполнить задания:

 Уровень «А»:  № 305 (в,г), № 306 (а).

  Уровень «В»: № 306 (а).

  Уровень «С»: Найдите наибольшее значение функции  .