Применение интеграла к вычислению физических величин и площадей
план-конспект занятия по алгебре (10, 11 класс)

Тема: Применение интеграла к вычислению физических величин и площадей

Цель:

• закрепить понятие «интеграл»;
• научиться применять формулу Ньютона-Лейбница
• научиться применять интеграл к вычислению физических величин и площадей

Основные этапы занятия.

1.Краткие теоретические материалы по теме практической работы.

1. Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат.

Если плоская фигура (рис. 1) ограничена линиями  , где  для всех , и прямыми , , то ее площадь вычисляется по формуле:    

Рис. 1        

2.Вычисление объемов тел вращения.

Если тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью OX и прямыми ,  (рис. 2), то его объем вычисляется по формуле:

Определенный  интеграл  находит  широкое  применение   при  решении  физико-технических задач различного характера. С его помощью можно вычислить работу, производимую силой; давление жидкости; путь, пройденный телом; центр тяжести фигуры; объемы тел по площадям сечений и многие другие величины.

При всем их разнообразии эти задачи объединяет общность метода решения, а именно:  во  всех  задачах  необходимо  вычислить  предел  суммы  растущего числа малых слагаемых.

 Применение определенного интеграла к решению задач прикладного характера проводится по следующим правилам.

1. Выбирают независимую переменную, искомую величину разбивают на как угодно малые части, постепенно увеличивая их число так, что величина каждой стремится к нулю.
2. Отбрасывая, бесконечно малые более высокого порядка малости, заменяют каждую из бесконечно малых частей искомой величины эквивалентной, так называемой элементарной, ее частью  f (х)х.
3.  Независимая переменная изменяется в пределах от а до b, и потому искомая величина равна   =

 3. Вычисление работы, производимой силой.

Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по оси 0х                           материальной точки от х = а до х = b, находится по формуле А = .

При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Гука: F = kх, где F – сила, Н; х – абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F; k – коэффициент пропорциональности, Н/м.

4.Вычисление пути, пройденного материальной точкой.            

 Если точка движется по некоторой линии и ее скорость  = f(t) есть данная функция  времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени [t1;  t2], S = .

2.Примеры типовых расчетов.

Выполняется всей группой вместе с преподавателем.

Пример1. Найти объём продукции, произведённой за 4 года, если функция Кобба-Дугласа имеет вид

Решение. Объём произведённой предприятием продукции равен:

Пример2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построим схематический рисунок (рис. 2). Для построения параболы возьмем несколько точек:

Для построения прямой достаточно двух точек, например  и .

Найдем координаты точек  и  пересечения параболы  и прямой .

Для этого решим систему уравнений

Тогда  Итак,

Площадь полученной фигуры найдем по формуле, в которой

 поскольку  для всех . Получим:

                                      Рис. 3

Пример 3. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построим криволинейную трапецию, вращением которой получается тело вращения (рис. 3).

Чтобы получить объем тела вращения из объема  тела, полученного вращением фигуры ОАВС, вычтем объем  тела, полученного вращением фигуры ОАВ. Тогда искомый объем . По формуле  Найдем  и :       (ед. объема);

 (ед. объема);

(ед. объема).

Пример 4. Найти работу, необходимую для выкачивания воды из бассейна,                         имеющего    форму полуцилиндра, длина которого a = 25 м, а радиус R = 20 м.

Решение.   Примем за х высоту, на которую надо поднять воду, чтобы выкачать ее из бассейна. Разобьем объем бассейна на слои, параллельные поверхности воды, толщина которых dх, длина а, ширина  2.  Назовем их элементарными слоями.                                                                                          

Объем элементарного слоя, находящегося на глубине х,  dV = 2 а.

Для подъема этого слоя воды на высоту х необходимо выполнить элементарную      работу  dА = gхdV = g ах,  где  – плотность воды.

        Значит, вся работа  по выкачиванию воды из бассейна                                                                                         А =   аg . =  – аg |  =                                                                                                     =    gа  =    g25    g. 

Пример 5.  Вычислить работу силы F при сжатии винтовой пружины на 0,04м, если для сжатия ее на 0,01м нужна сила 10 Н.    

Решение. Так как х = 0,01м при F = 10 Н, то по закону Гука 10 = k0,01, откуда k = 1000 Н/м. Значит F = 1000 k,  т.е. f(х) = 1000 х.  Искомую работу найдем по формуле      А = , полагая а = 0, b = 0,04;    

                             А =  = 500| = 0,8 Дж. 

Пример 6. Найти путь, пройденный материальной точкой за 10 секунд от начала движения со скоростью   = 0,1  м/с.

Решение. S =   = 0,1 | = 0,1   –  0 = 250м.

3. Содержание практической работы.

1.  Вычислить определенные интегралы:

а) ;              б)  ;

2. Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой формулой  v = v(t) (время измеряется в секундах, а скорость в сантиметрах в секунду). Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения (t = 0) и    V(t)= 3t2 − 4t + 1  ?

3.Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

а)   х – у + 2 = 0,   у =0,    х = −1,   х = 2;

4 (задание для дополнительного решения).Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность в точке x определяется по формуле  = . Найдите массу стержня длиной L, если:  = x2 − х + 1, L = 6.

4.Контрольные вопросы.

1. Формула  Ньютона-Лейбница.
2. Геометрический смысл определённого интеграла.
3. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, ограниченная линиями?
4. По какой формуле вычисляется объем тела, образованное вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции?
5. По какой формуле вычисляется работа, производимая силой?