Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.
презентация к уроку по математике

Слайд 1

Лекция № 11 Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.

Слайд 2

содержание Понятие криволинейной трапеции. Определение площади фигуры при ее различном расположении. Решение типовых задач.

Слайд 3

Понятие криволинейной трапеции. Фигура ограниченная графиком функции у=f ( х ), прямыми х=а , х=в и отрезком оси ОХ называется криволинейной трапецией. Рассмотрим различное расположение фигуры в осях координат: Фигура расположена над осью ОХ. Площадь фигуры ограниченной линиями у=f ( х ), прямыми х=а , х=в и отрезком оси ОХ вычисляется по формуле:

Слайд 4

Пример: Вычислить площадь плоской фигуры ограниченной линиями у=х 2 -2х+2, х=1,х=2 и осью ОХ. 1. у=х 2 -2х+2- парабола, ветви, вершина: =1, у=1 2 -2∙1+2=1; (1;1) 2. Х=1- прямая ║ оси ОХ (1; 0) 3. Х=2- прямая ║ оси ОХ (2; 0)

Слайд 5

Фигура расположена под осью ОХ. Пусть функция у=f ( х ), неположительная непрерывная функция. В этом случае график расположен под осью ОХ. Рассмотрев вспомогательную функцию у= - f ( х ) получим площадь фигуры аА 1 В 1 в, ограниченной графиком функции у= - f ( х ) . Так как фигуры равны, то равны и их площади.

Слайд 6

Пример: Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями , х= - 1 и осью ОХ. х= - 1 и осью ОХ. 1. - кубическая парабола, 1 и 3 четверть 2. х= -1- прямая ║ оси ОХ (-1; 0) 3. у=0 – ось ОХ

Слайд 7

3. Фигура не является криволинейной трапецией. Рассмотрим фигуру ограниченную отрезками прямых х=а , х=в и графиками функций у=f ( x ) и у=g ( x ). Эту фигуру можно рассматривать как разность криволинейных трапеций аАВв и аМNв , поэтому формула для вычисления площади примет вид:

Слайд 8

Пример: Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями у=х+3; у=х 2 +1 у=х+3 – прямая для ее построения необходимо задать две точки у=х 2 +1 – парабола, ветви , вершина- (0;1) Решая уравнение х+3=х 2 +1 найдем абсциссы точек пересечения графиков: х 2 - х - 2=0, D=1+8=9, х 1,2 = ,х 1 =2; х 2 =-1

Слайд 9

4. Если требуется вычислить площадь плоской фигуры более сложного вида, то стараются выразить искомую площадь в виде суммы и разности площадей криволинейных трапеций входящих в ее состав.

Слайд 10

Пример: Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями: 1). 2). У=х 2 - парабола, ветви , вершина: (0;0) 3). У= - х 2 +2х+4 – парабола, ветви , вершина ; у=-1+2+4=5; (1;5)

Слайд 11

1). 2). 3).

Слайд 12

Пример 1 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Решение. Выполним построение фигуры. Выразим из первого уравнения у через x . Прямую строим по двум точкам (4;0) и (0;2)

Слайд 13

Пример 2 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Решение. Выполним построение фигуры. Построим прямую Построим прямую Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений

Слайд 14

Для вычисления искомой площади разобьем треугольник AMC на два треугольника