урок алгебры в 11 классе
методическая разработка по алгебре (11 класс)

Тема урока: "Применение производной к исследованию функций"

    Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Цели: обобщить и систематизировать  знания, умения и навыки по теме  «Применение производной к исследованию функций»;

развитие познавательного интереса учащихся, логического мышления, умений  анализировать, выявлять закономерности, сопоставлять и обобщать полученные знания, развивать навыки реализации теоретических знаний в практической деятельности; развитие навыков самооценки и самоконтроля;

воспитание  чувства ответственности за качество и результат выполняемой работы, сознательного отношения к труду, воспитание на уроке воли и упорства для достижения конечных результатов, уважительного отношения друг к другу.

ХОД УРОКА:

I. Организационный этап

Приветствие.

- Прежде чем мы приступим к работе по теме урока, выясним: были ли трудности с выполнением домашней работы? У кого-то есть вопросы?

-Тема нашего урока «Применение производной к исследованию функций», и сегодня мы повторим теоретические вопросы темы, а также закрепим решение задач по данной теме.

II. Актуализация знаний

1. «Мозговая атака»

а) y = 3x3 − x4

б) y =

в) y = -  

г) y =  

д) y = sin2x

е) y =5cosx+5x

ж) y = e2х

з) y = 7ln(x+7)

и) y = ln(3x-5)

к) y =

л) y = 9х

2) Устная работа

Для повторения теоретического материала по теме выполняется  тест, в котором необходимо заполнить пропуски, вписав необходимые понятия.

Заполнить пропуски:

1) Если функция у = f (х) непрерывна и дифференцируема в каждой точке некоторого интервала и если f ′(х)< 0для всех х из этого интервала, то функция f (х) ………………….    на этом интервале.

2) Промежутки  …………………       …………………..  функции называют промежутками монотонности этой функции.

3) Точка х0 называется точкой   ………………………….  функции f(х), если для всех х ≠ х0  из некоторой окрестности точки хо выполняется неравенство f(х) < f(хо).

4) Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема,  называют ………………………..   точками этой функции.

5) Пусть функция f(х) дифференцируема на некотором интервале и в точке х0 из этого интервала имеет производную равную нулю, тогда: если при переходе через стационарную  точку х0  функции f(х)  её производная меняет  знак с «- » на «+», то х0 - точка ………………………………...

6) Чтобы найти наибольшее значение непрерывной на отрезке [а;b] функции, и имеющей несколько критических точек на этом отрезке, нужно вычислить значение функции …………………………………………………………, а затем из полученных значений выбрать наибольшее.  

7) Если функция у = f (х) непрерывна и дифференцируема в каждой точке некоторого интервала и если f ′(х) > 0 для всех х из этого интервала, то функция f (х) ………………………..  на этом интервале.

8) Точка х0 называется точкой …………………………… функции f(х), если для всех х ≠ х0    из некоторой окрестности точки хо выполняется неравенство f(х) >f(хо).

9) Точки максимума и точки минимума называются …………………………………... функции.

10) Точки, в которых производная функции равна нулю, называются………………….. точками.

11) Пусть функция f(х) дифференцируема на некотором интервале и в точке х0 из этого интервала имеет производную равную нулю, тогда: если при переходе через стационарную  точку х0  функции f(х)  её производная меняет  знак с «+» на «-», то х0 - точка …………………...............

12) Чтобы найти наименьшее значение непрерывной на отрезке [а;b] функции, и имеющей несколько критических точек на этом отрезке, нужно вычислить значение функции ………………………………………………………..., а затем из полученных значений выбрать наименьшее.

III. Работа по теме. 

1)Работа в группах. Класс разбит на 4 группы. Каждая группа получила 2 карточки.

Задания 1 группы:

1.  На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены шесть точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6. В скольких из этих точек производная функции  f(x)   отрицательна?

2.  На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 5; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Задания 2 группы:

1. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной  функции   f(x).  На оси абсцисс отмечены шесть точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?

2.  На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 7 ; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Задания 3 группы:

1.  На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 3 ; 19). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [− 2 ; 15].

2.  На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 6 ; 6). Найдите количество решений уравнения f '(x)=0 на отрезке [− 4,5 ; 2,5].

Задания 4 группы:

1.  На рисунке изображён график функции y=f ′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 9 ; 3). Найдите точку минимума функции f(x).

2.  На рисунке изображён график y=f ′(x) производной функции f(x), определённой на интервале (− 6; 5). В какой точке   отрезка  [− 5;  −1]  функция f(x) принимает наименьшее значение?

Каждая группа отчиталась о решении.

2) Алгоритмы применения производной к решению задач на исследование функций. Работа в парах на 3 варианта. Пара получает 1 задание:

1) сформулировать алгоритм исследования функции(устно)

2) провести исследование заданной функции.  

1. а) Исследование функции на монотонность.

б) Найти интервалы возрастания и убывания функции

          y = 2 x3 -3x2 +5         

2.а) Исследование функции на экстремумы.

б) Найти точки экстремума функции

 y = -2x3 +12x2             

3.а) Исследование функции на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

б)  Найти наибольшее и наименьшее значения функции

         y =12х – x3 на отрезке [–4; 2]         

Взаимопроверка. Анализ выполненной работы.

VI.Самостоятельная работа.

       Самостоятельная работа   1-го, 2-го, 3-го уровня в зависимости от сложности. Учащиеся сами определяют, какой вариант работы им выбрать.

1вариант                            2 вариант                         3 вариант

Ответы: 

1 уровень

№1    х = 0,3 – т. максимума 

№2    6– наибольшее, 2 – наименьшее   

№3    возрастает на (0;1), убывает на (;0), (1;)

2 уровень

№1    х = –9 – т. минимума 

№2    11 – наименьшее   

№3    убывает на (;-2), (-2;)

3 уровень

№1    х =14 – т. максимума 

№2    6– наибольшее

№3    возрастает на (2;)

V. Домашнее задание

Решить три номера из ФИПИ

VI. Рефлексия. Подведение итогов урока