Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 89

Калининского района Санкт-Петербурга

Проектная работа по математике

Тема: «Простые и сложные проценты в реальной жизни»

Автор: Батулина Василина,

ученица 10Б класса

Руководитель: Батулина Елена Геннадьевна,

учитель математики

Санкт-Петербург

2020 год

СОДЕРЖАНИЕ

1. ВВЕДЕНИЕ        3

2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ        5

2.1. История возникновения процентов        5

2.1.1. История возникновения процентных ставок        6

2.2. Анкетирование        7

2.3. Простые проценты        7

2.3.1. Простой процент по вкладу        7

2.3.2 Простой процент по кредиту        8

2.4. Сложные проценты        10

2.4.1. Сложный процент по вкладу        10

2.4.2 Сложный процент по кредиту        11

2.5 Различие простых и сложных процентов        13

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ        14

4. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ        15

5. ПРИЛОЖЕНИЯ        17

1. ВВЕДЕНИЕ

     Актуальность. В настоящее время понимание процентов и умение производить процентные расчёты необходимы каждому человеку. И мы должны уметь пользоваться процентами на практике, ведь значение этой темы очень велико, и она затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы жизни. Наиболее часто понятие «процент» используется в торговле: скидки, прибыль, наценки, сезонные изменения цен на товары, налог – всё это проценты. Также проценты часто встречаются в обыденной жизни: вложение денег под проценты, покупка товаров в рассрочку, выплата налогов и другое. Кроме того, эта тема будет актуальна для учеников, сдающих профильную математику, ведь экономические задачи встречаются во второй части ЕГЭ и относятся к повышенному уровню сложности.

     Одно из таких исследований было проведено в 2015 году Валерией Яшелиной. Автором были изучены формулы наращения по простым и сложным процентам, рассмотрены процентные ставки на определённый вклад. Однако выводы, полученные В. Яшелиной в 2015 году, основывались только на изучении процентов с точки зрения банковских вкладов, в то время как применение простых и сложных процентов в решении экзаменационных заданий не рассматривалось вообще. Кроме того, с момента проведения указанного исследования прошло несколько лет, и уже произошли некие изменения в области финансов. Других исследований в рассматриваемой области не проводилось, что обусловливает актуальность нашей работы.

     Таким образом, объектом настоящего исследования являются простые и сложные проценты.

     Предметом исследования является применение процентов в жизни человека.

     Целью настоящей работы является выяснение важности данной темы среди окружающих меня людей, обучение задачам на простые и сложные проценты, создание подборки задач экономического содержания для практики учеников.

     Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Узнать историю возникновения процентов, процентных ставок.
2. Провести анкетирование.
3. Научиться различать простые и сложные проценты.

     Теоретической основой настоящего исследования послужили научные работы российских и зарубежных специалистов, среди которых можно назвать Нечаева В.М., Яроцкого В.Г., Халла Д.К., Кругмана П.Р., Стиглица Д.Ю., Сакса Д.Д., Бернанке Б.Ш. и др.

     Методологическую основу работы составили такие методы научного познания, как анализ, синтез, обобщение и сравнительный метод. В работе были изучены и сопоставлены простые и сложные проценты, выявлены их границы применения в финансовой области.

     Практическая значимость. Результаты настоящего исследования могут быть применены людьми, которые хотят научиться решать экономические задачи, а точнее учениками, сдающими профильную математику.

     Структура работы подчинена целям и задачам и состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений. Содержание работы изложено на 17 страницах и включает 15 источников.

2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

2.1. История возникновения процентов

     Официально история появления процентов начинается в Древнем Риме с тех времен, когда сенату пришлось устанавливать максимально допустимый процент, взимаемый с должников, чтобы заимодавцы "не переусердствовали" в "выбивании долгов". Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Римляне брали с должника лихву (т. е. деньги сверх того, что дали в долг). При этом говорили: "На каждые 100 сестерциев долга заплатить 16 сестерциев лихвы". Кстати, именно из Рима проценты начали свое "шествие" по миру.

     В Средние века очень сильно распространена была торговля, в связи, с чем много внимания было обращено на правильность и умение высчитывать проценты. Тогда уже проценты, история которых началась гораздо раньше, начали свою эволюцию.

     Торговцам приходилось считать не просто проценты, а проценты с процентов, сложные проценты и т. д. Некоторые компании даже составляли свои таблицы и схемы по вычислению процентов. Эти таблицы, кстати, считались коммерческой тайной и тщательно охранялись. Но уже в 1584 году таблицы с расчетом процентов перестали быть тайной. Дело в том, что Симон Стевин, инженер из Нидерландов, опубликовал таблицу процентов.

    В России понятие процента впервые ввёл Пётр I. Но считается, что подобные вычисления начали применяться в Смутное время, как результат первой в мировой истории привязки чеканных монет 1 к 100, когда рубль сначала состоял из 10 гривенников, а позже из 100 копеек.

2.1.1. История возникновения процентных ставок

     Начисление процента на депозит, процентная ставка или банковский процент - это одно из самых старых и любопытных изобретений человечества. Можно предположить, что начислять процент (процентную ставку) начали еще в далекой древности, одновременно с появлением денег. Хотя известно, что брать взаймы можно не только деньгами. Когда еще господствовал натуральный обмен и понятия процентной ставки не существовало вовсе, первые кредиты выдавались в виде зерна. Например, один фермер одалживал другому корзину с зерном, а при возврате кредита требовал вернуть корзину зерна, но уже большего объема.

     Банковское дело возникло во время итальянского Возрождения и первоначально не пользовалось большим уважением. Банкиры пытались стать уважаемыми за счет увеличения своего богатства, аристократических титулов и высоких церковных постов, но общественное признание они получили только после массовых операций по оказанию услуг низшим слоям населения. Это стало возможным с открытием величайших богатств Америки. Люди, которые традиционно зависели от денег (солдаты, художники, юристы, врачи etc.), теперь были больше нацелены на получение зарплаты, а не на возмещение их услуг товарами (жильем, питанием, алкоголем, солью etc). Так начиналась история процентной ставки.

     Перераспределение богатства, особенно в 17 веке, дало толчок к подъему среднего класса торговцев. Они, в свою очередь, породили новые профессии, связанные с деньгами. С расширением банковского дела появились брокеры, которые специализировались на продаже и покупке всего - от земельных имений до акций. Банки стали нуждаться во все большем количестве денег, и к этому периоду начала оформляться система банковских депозитов, кредитов и процентных ставок, при которой любой желающий мог стать ростовщиком и жить на проценты.

2.2. Анкетирование

     Ознакомившись с историей процентов и процентных ставок, я пришла к выводу о том, что для того, чтобы продолжить работу над проектом, мне нужно провести опрос среди окружающих меня людей и убедиться в том, что им действительно будет интересна затронутая мною тема. Исследование проводилось в популярной социальной сети Instagram и было рассчитано на учеников 9-11 классов, большинство из которых кстати обучается в нашей школе. Я спросила у ребят, хотели ли бы они научиться решать задачи на простые и сложные проценты. Из 46 опрошенных, среди которых 25 девушек и 21 юноша, только 3 человек не заинтересовала данная тема. Так, результаты анкетирования лишний раз помогли мне убедиться в актуальности моего проекта.

2.3. Простые проценты

     Простые проценты — метод расчета процентов, при котором начисления происходят на первоначальную сумму вклада (долга).

     Простыми процентами можно считать вклад (долг) только в том случае, если происходит однократная выплата процентов и всей суммы вклада (долга) одновременно, при этом полностью отсутствует возможность досрочной частичной или полной выплаты вклада (долга) и/или полностью отсутствует возможность продления вклада (долга).

     Рассмотрим теперь формулы простого процента для каждого случая, т.е. для вклада и для долга.

2.3.1. Простой процент по вкладу

     Итак, формула для расчета простых процентов по вкладу:

   ,

где T - количество периодов;

I - процентная ставка;

P - вкладываемая сумма;

A - получаемая сумма.

     Рассмотрим задачу, решаемую по этой формуле.

Задача. Вкладчик вложил 100000 рублей при простой ставке 3% годовых. Рассчитайте, какая сумма будет на его лицевом счёте через 5 лет; 8 лет; 10 лет.

Решение. В данной задаче необходимо вычислить А, если P = 100000 рублей, I = 3% = 0,03, T = 5; 8; 10 лет. Подставив данные в формулу, получим:

 (руб.)

Аналогично вычислим для Т = 8 и 10 лет.

 (руб.)

 (руб.)

Ответ. Через 5 лет на лицевом счёте вкладчика будет 115000 рублей, через 8 лет - 124000 рублей, через 10 лет - 130000 рублей.

2.3.2 Простой процент по кредиту

     Рассчитывается уже по другой формуле:

 ,

где    - сумма долга,

  - сумма долга с процентами,

r - ставка процента за период (обычно за 1 год, но могут использоваться и другие периоды),

n - число периодов начисления.

Задача. Заёмщик взял в кредит 3000 рублей и должен вернуть его через пять лет. Процентная ставка кредита составляет 34%. Рассчитайте, сколько рублей нужно отдать банку.

Решение. В данной задаче необходимо вычислить   , если  = 3000 рублей, r = 34%, n = 5 лет. Подставив данные в формулу, получим:

 (руб.)

Ответ. Заёмщик должен будет вернуть банку 8100 рублей.

     Если ставка выражена в годовых процентах, а проценты надо рассчитать за период меньше, чем год, то при использовании формулы простых процентов необходимо разделить годовую ставку на количество дней в году (обычно 365 или 366, иногда используется и условная величина 360 дней) и умножить на фактическое количество дней пользования заемными средствами, начиная со дня, следующего за днем получения средств:

 ,

где    - сумма долга,

  - сумма долга с процентами,

r - годовая ставка процента,

m - фактическое количество дней пользования заёмными средствами.

Задача. Заёмщик получил кредит на сумму 20000 рублей под 32% годовых. Через 240 дней кредит был полностью погашен. Рассчитайте, какую сумму заёмщик отдал банку? Результат округлить до сотых.

Решение. В данной задаче необходимо вычислить   , если  = 20000 рублей, r = 32%, m = 240 дней. Подставив данные в формулу, получим:

 (руб.)

Ответ. Заёмщик отдал банку 24208,22 рублей.

2.4. Сложные проценты

     Сложный процент – явление куда более интересное в финансовом мире. Это процент, при котором прибыль суммируется с основной суммой и в дальнейшем уже сама производит новую прибыль. Если говорить еще проще, это начисление процентов на начисленные проценты. Получается, что с каждым расчетным периодом эти начисленные проценты все увеличиваются и увеличиваются. Накопления нарастают как снежный ком.

     Рассмотрим теперь формулы сложного процента для каждого случая, т.е. для вклада и для долга.

2.4.1. Сложный процент по вкладу

     Существует формула для начисления сложного процента по вкладу:

,

где A – сумма вклада;

R – ставка процента;

T – количество периодов;

S – получаемая сумма.

     Рассмотрим задачу, решаемую по этой формуле.

Задача. Рассчитать сумму вклада через 3 года при сложной процентной ставке 10% годовых, если было вложено 1000 рублей.

Решение. В этой задаче исходными данными являются: A = 1000 рублей, T = 3 года, R = 10% = 0,1. Подставив эти данные в формулу, получим:

 (руб.)

Ответ. На счёте через три года будет 1331 рубль.

2.4.2 Сложный процент по кредиту

     Формула:

 ,

где    - сумма долга,

  - сумма долга с процентами,

r - ставка процента за один период (обычно за 1 год, но могут использоваться и другие периоды),

n - число периодов начисления.

Задача. Елена взяла заём у соседки Светланы на сумму 50 000 рублей сроком на 3 года, ставка 10% годовых, проценты сложные, погашение займа вместе с процентами в конце срока. Какую сумму выплатит Елена при погашении займа?

Решение. В данной задаче необходимо вычислить   , если  = 50000 рублей, r = 10%, n = 3 года. Подставив данные в формулу, получим:

 (руб.)

Ответ. Елена выплатит 66550 рублей при погашении займа.

     Если ставка выражена в годовых процентах, а проценты надо рассчитать за период меньше чем год, то при использовании формулы сложных процентов необходимо найти условную однодневную ставку, для чего из величины (1+ r/100) извлекается корень 365 или 366 степени. А потом эта величина возводится в степень, соответствующую фактическому количеству дней пользования заемными средствами (понятно, что это можно сделать только с использованием вычислительной техники). Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

 ,

где    - сумма долга,

  - сумма долга с процентами,

r - годовая ставка процента,

m - фактическое количество дней пользования заёмными средствами.

Задача. Индивидуальный предприниматель Даниил 01.04.2019 г. взял кредит на сумму 150 000 рублей сроком на 1 год, ставка 25% годовых, проценты выплачиваются ежеквартально, начисление производится по сложной ставке. Какую сумму уплатит Даниил за первые 3 месяца?

Решение. В данной задаче необходимо вычислить   , если  = 150000 рублей, r = 25%, m = 91 день. Подставив данные в формулу, получим:

 (руб.)

Ответ. 8581,45 рубль уплатит Даниил за первые 3 месяца.    

2.5 Различие простых и сложных процентов

     Рассмотрим 2 варианта:

1. Простой процент. Вы инвестировали 50 000 руб. на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Всю прибыль вы снимаете.

2. Сложный процент. Вы инвестировали 50 000 руб. на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Каждый год проценты прибыли прибавляются к основной сумме.

Начальная сумма: 50 000 рублей.

Процентная ставка: 20% годовых.

      Воспользуемся вышеперечисленными формулами для вклада:

1. Простой процент.

 (руб.)

2. Сложный процент.

 (руб.)

     Из вышеперечисленного можно сделать вывод, что метод сложных процентов является более обоснованным, так как он выражает возможность непрерывного реинвестирования денежных средств. Тем не менее, для краткосрочных финансовых операций чаще всего используется метод простых процентов.

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

     В ходе своего индивидуального проекта я выяснила, что проценты приобретают всё более широкое распространение в нашей жизни. Понимание процентов и умение производить процентные расчеты, в настоящее время необходимы каждому человеку, ведь они встречаются практически на каждом шагу. Проценты - это международный язык на производстве, в бизнесе, банковской системе, сельском хозяйстве, быту.

     Итак, мною были выполнены все выше поставленные задачи, в ходе которых мы узнали историю возникновения процентов и процентных ставок, а также научились различать простые и сложные проценты.

     В связи с тем, что я только познакомилась с процентами и попыталась донести до вас базовые задания, мне бы хотелось сообщить, что в следующем учебном году я буду продолжать свой проект и сделаю уклон на более сложные задачи, встречающиеся на ЕГЭ.

4. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Альхова, З. Н. Внеклассная работа по математике : учеб. пособие / З. Н. Альхова, А. В. Макеева. — Саратов : ОАО Издательство Лицей, 2003. — 286 с.
2. Ершов, Ю. С. Финансовая математика : учебник / Ю. С. Ершов — Новосибирск : ООО Бизнес ПРАКТИКА, 2002. — 212 с.
3. Исаева, О. Г. Я познаю мир. Экономика : энциклопедия / О. Г. Исаева — Москва : ООО Издательство Астрель, 2003. — 399 с.
4. Комзолов, А. А. Финансово-математические модели : учебник / А. А. Комзолов, А. К. Максимов, К. Н. Миловидов. — М. : изд. РГУНГ им. И. М. Губкина, 1997. — 340  с.
5. Ширяев, А. Н. Основы стохастической и финансовой математики. Т.1. Факты. Модели : учеб. пособие / А. Н. Ширяев — М. : ФАЗИС, 1998. — 489 с.
6. Банки.ру[Электронный ресурс]. — Режим доступа: https://www.banki.ru/ — Заглавие с экрана. —  (Дата обращения: 20.03.2020).
7. Процентная ставка[Электронный ресурс]. — Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Процентная_ставка — Заглавие с экрана. —  (Дата обращения: 29.03.2020).
8. ЕГЭ2020[Электронный ресурс]. — Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/ — Заглавие с экрана. —  (Дата обращения: 25.03.2020).
9. Каталог заданий: Задание17[Электронный ресурс]. — Режим доступа: https://ege-study.ru/zadanie-17-profilnogo-ege-po-matematike-finansovaya-matematika/ — Заглавие с экрана. — (Дата обращения: 27.02.2020).
10.  Финансы и математика: Занятие4[Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://finansovaya-matematika.5311pro2.edusite.ru/p54aa1.html — Заглавие с экрана. — (Дата обращения: 25.02.2020).
11.  Проценты в мире[Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://irynaprocent.blogspot.com/p/blog-page_29.html — Заглавие с экрана. — (Дата обращения: 09.03.2020).
12.  Сложные проценты[Электронный ресурс]. — Режим доступа: https://yukhym.com/ru/matematika/slozhnye-protsenty-na-primerakh.html — Заглавие с экрана. — (Дата обращения: 17.04.2020).
13.  Сложный процент[Электронный ресурс]. — Режим доступа: https://damoney.ru/finance/slozniy-procent.php  — Заглавие с экрана. — (Дата обращения: 01.04.2020).
14.  ФГБНУ ФИПИ[Электронный ресурс]. — Режим доступа: https://fipi.ru/ — Заглавие с экрана. — (Дата обращения: 19.03.2020).
15.  Экономические задачи[Электронный ресурс]. — Режим доступа: https://4ege.ru/matematika/56745-50-ekonomicheskih-zadach.html — Заглавие с экрана. — (Дата обращения: 22.03.2020).

5. ПРИЛОЖЕНИЯ