Конспект учебного занятия по теме "Иррациональные неравенства"
план-конспект занятия по алгебре (11 класс)

Конспект учебного занятия

Тема: «Иррациональные неравенства»

Исполнитель: Студент группы 2м

направление подготовки

44.04.01 Педагогическое образование

профиль «физико-математическое образование»

Александрова Алёна Сергеевна

Цели: дать понятие «иррациональное неравенство», разобрать способы решения иррациональных неравенств среднего и повышенного уровня сложности, разработать опорные схемы.

План занятия:

1. Приветствие.

2. Повторение необходимого для данного занятия материала.

3. Объяснение нового материала.

4. Решение неравенств ЕГЭ с увеличением уровня сложности.

5. Самостоятельная работа.

Ход занятия

На предыдущем занятии вы учились решать иррациональные уравнения. Скажите, пожалуйста, какое уравнение называется иррациональным?

Опр. Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня.

Замечательно. А сегодня мы поговорим об иррациональных неравенствах и поучимся их решать.

Запишите тему занятия: «Иррациональные неравенства».

Запишем определение:

Опр. Иррациональными называются неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня.

Опр. Решить неравенство − это значит найти все его решения или доказать, что их нет. Совокупность всех решений неравенства называется множеством решений неравенства.

Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень: если в неравенство входит квадратный корень, то в квадрат; входит корень третьей степени − в куб и т. д. Однако, рассмотрим два простых примера:

 - также верное неравенство;

 – неверное неравенство.

Как вы считаете, почему так получилось?

Какое правило мы нарушили?

Известно, что при решении неравенств можно осуществлять только равносильные переходы.

Какие правила равносильных переходов вы знаете?

Правила равносильных переходов:

Правило 1. Если функции f (x), g (x)  и  h (x) определены на множестве X, то неравенства равносильны на этом множестве.

Правило 2. Если h (x) > 0 на множестве X, то неравенства

равносильны на этом множестве.

Вывод. Обе части неравенства можно умножать на положительную функцию, не нарушая равносильности.

Правило 3. Если h (x) < 0 на множестве X, то неравенства

равносильны на этом множестве.

Вывод. Обе части неравенства можно умножать на отрицательную функцию, не нарушая равносильности, меняя при этом знак неравенства на противоположный.

Правило 4. Если f (x) ≥ 0, g (x) ≥ 0 на множестве X, то неравенства

равносильны на этом множестве.

Вывод. Если обе части неравенства  неотрицательны, то возведение в квадрат неравенства не нарушает равносильности.

! При возведении обеих частей неравенства в четную степень, мы должны убедиться или создать условия неотрицательности его обеих частей.

Покажем, как получить равносильные системы для некоторых часто встречающихся типов неравенств.

А. Неравенства вида 

При решении данного неравенства мы должны помнить, что f (x) ≥ 0. Получается, что левая часть неравенства существует и неотрицательна, а правая часть больше левой, соответственно  . Требования для равносильного перехода соблюдены, значит, мы можем перейти от иррационального неравенства к равносильной системе:

Пример 1. Решите неравенство:

Ответ: .

Б. Неравенства вида 

Левая часть неравенства имеет смысл при f (x) ≥ 0. Получается, если левая часть какое-то неотрицательное число, и оно больше числа в правой части, то каким может быть число в правой части? (Отрицательным или неотрицательным)

Если число справа отрицательно, то всегда ли будет данное неравенство верно? (Да)

А если оно неотрицательно? (то можем возвести обе части в квадрат)

Замечательно. Мы обговорили две возможные ситуации, но было всего одно неравенство, значит, две эти системы нужно объединить знаком совокупности.

Пример 2. Решите неравенство:

Ответ: .

Пример 3. Решите неравенство 

Ответ: .

В. Неравенства вида 

Заметим, что из неравенства  следует, что  то есть дополнительно это требовать и включать это неравенство в систему не нужно.

Отметим полезное следствие. 

Ясно, что те же рассуждения применимы и для знака неравенства ≥. Отсюда можно сделать полезное заключение:

Знак разности  совпадает со знаком выражения  

Отсюда же получается ещё одно полезное следствие:

 в ОДЗ: 

Пример 4. Решите неравенство 

Ответ: .

Г. Неравенства вида 

Рассмотрим вспомогательное неравенство

1. Если , то для любого x из ОДЗ выполнено 

2. Если , то выражение  может иметь любой знак, но выражение  всегда строго положительно. Умножая обе части неравенства (*) на строго положительное число  не меняя знака неравенства, перейдём к равносильному неравенству

Таким образом:

Получаем следующие условия равносильности.

Запоминать приведённые системы неравенств не нужно, важно понимать, как они получаются.

Пример 5. Решите неравенство 

Ответ: .

Пример 6. Решите неравенство 

Ответ: 

Д. Неравенства вида 

Пример 7. Решите неравенство:

Ответ: .

Неравенства вида

Пример 8. Решите неравенство:

Ответ: .

Практическая часть занятия. Решение неравенств.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Неравенства из открытого банка ЕГЭ №15.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6.

7.

8.

9.

10.

Дополнительно: 

Ответ: [-1; 1); (1; 3]

            Самостоятельная работа.                                          Самостоятельная работа.

            Самостоятельная работа.                                          Самостоятельная работа.

            Самостоятельная работа.                                          Самостоятельная работа.

Самоанализ лекционного и практического занятия по дисциплине

«Элементарная математика»

Тема: «Иррациональные неравенства»

Схема самоанализа лекции

• Сопоставление целей лекции с ее результатами.
• Что в лекции получилось хорошо? (Педагогические удачи, достигнутые в ходе лекции).
• Основные ошибки, допущенные в ходе подготовки и проведения лекции.
• Пути исправления допущенных ошибок.

Схема самоанализа семинарского занятия

• Сопоставление целей семинара с его результатами.
• Что на семинарском занятии получилось хорошо? (Педагогические удачи, достигнутые в ходе семинара).
• Основные ошибки, допущенные в ходе подготовки и проведения семинарского занятия. Пути исправления допущенных ошибок.