План-конспект учебного занятия Уравнения. Неравенства".
план-конспект занятия по математике (11 класс)

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ГОРОДА МОСКВЫ

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение города Москвы

«ЮРИДИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

(ГБПОУ Юридический колледж)

ПЛАН-КОНСПЕКТ учебного занятия

по ОУДу.04 Математика

учебной дисциплине/междисциплинарному курсу

для обучающихся группа 108 курс 1

специальность 40.02.02 Правоохранительная деятельность

(набор 2019 г.)

(базовая подготовка)

дата проведения занятия по расписанию

                       пятница                                    26.06.2020                                                         1

                  день недели                                                         дата                                            номер пары

форма проведения дистанционно

преподаватель Н.В.Васильева

                                                                         фио преподавателя

Уравнения. Неравенства.

Цель занятия: повторение теоретического материала по теме: уравнения и неравенства.

Задачи занятия:

Обучающая: Основные приемы и методы решения задач по теме: уравнения и неравенства.

Воспитательная: воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов, формирование умения рационально, аккуратно оформить задание в тетради;

Развивающая: развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, развивать логическое мышление, исследовательские навыки, функционального мышления, математической речи.

 Базовый учебник: 

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений / Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю. В. Сидоров и др. М., Просвещение, 2019.

Дополнительная литература:

1. Башмаков М.И. Математика. М., «Академия», 2014

2.  Богомолов Н.В. Сборник задач (учебное пособие) – М.: Дрофа, 2015.

Интернет-ресурсы:

Междисциплинарные связи: алгебра и начала анализа, физика, естествознание

Внутридисциплинарные связи: геометрия.

УРАВНЕНИЯ  И НЕРАВЕНСТВА

 – линейное уравнение I степени с одной переменной

 – уравнение II степени с одной переменной

Решить уравнение – значит найти множество его корней или доказать, что их нет. это множество называют решением уравнения.

Два уравнения называются равносильными если решение (корень) одного уравнения является решением (корнем) другого уравнения и наоборот.

Уравнения  равносильны, так как оба имеют единственный корень .

Уравнения  и  – неравносильны, так как  является корнем первого уравнения, но не удовлетворяет второму уравнению.

Уравнения  и  неравносильны, так как корень первого уравнения , а второе уравнение кроме этого корня имеет еще корень , который не является корнем первого уравнения.

Решим уравнения:

раскроем скобки, применяя формулы сокращенного умножения  и

приведем подобные члены, получим

                Ответ:  – корень уравнения.

 разложим  на множители

перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем дроби к общему знаменателю

дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, т. е.

Решаем уравнение

 (корни можно найти по теореме Виета)

Так как  – посторонний корень и решением уравнения будет . Ответ: .

уравнение не имеет действительных корней. Найдем мнимые корни.

 (мы знаем, что  – мнимая единица)

 – неравенства I степени с одной переменной

 – неравенства II степени с одной переменной

Решить неравенство – значит найти множество значений переменной, при которых это неравенство является верным.

Два неравенства называются равносильными, если множество решений этих неравенств совпадают.

Решим неравенства

а)

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю. общий знаменатель 10; так как знаменатель не содержит переменной, то есть сразу видно что он не равен нулю, то в дальнейшем его можно не писать (опустить).

б)

, то есть

Используя свойства числовых неравенств, имеем

, знак неравенства меняется на противоположный

Или можно записать в виде системы неравенств

в)

Решаем две системы

Ответ: .

г)  

умножим на (–1)

квадратное неравенство

Найдем корни уравнения

Графиком функции  является парабола, ветви которой направлены вверх, а точки пересечения параболы и оси OX

Изобразим геометрически:

или

или

получаем три интервала, в которых определяем знак трехчлена. Так как мы решаем неравенство , то решением неравенства будет промежуток (интервал)

действительных корней нет, так как ветви параболы направлены вверх, то парабола не пересекает ось и расположена выше её, где всегда > 0,

а мы решаем неравенство , значит данное неравенство не имеет решения.

уравнение не имеет действительных корней, т.е. парабола не пересекает ось, ветви параболы направлены вверх,

а так как мы решаем неравенство , то оно имеет множество решений, т.е. .

ж)  – дробно–рациональное неравенство, которое может быть решено или через системы неравенств или методом интервалов. Перенесем правую часть в левую, приведем подобные члены

Решим через системы неравенств. Дробь < 0, если числитель и знаменатель имеют разные знаки, т.е.

(Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю).

При решении системы неравенств надо решить каждое неравенство и выбрать общие промежутки.

Решаем

система не имеет решения. Следовательно, решением данного неравенства является .

Метод интервалов позволяет ускорить процесс решения неравенства  корни  и .

Метод интервалов позволяет решать не только неравенства II степени, дробно–рациональные но и более высоких степеней.

 находим корни многочлена

 всегда, т.е. действительных корней нет.

Отметим корни на числовой прямой, учитываем, что числитель может быть равен нулю.

только определяем знак выражения в каждом промежутке

и тогда решением неравенства является .

Можно несколько ускорить процесс определения знака в промежутках.

В промежутке больше большего корня всегда выражение больше нуля, а затем, если корень повторяется нечетное число раз (кратность его нечетная), то знаки в промежутках справа и слева от корня изменяются, а если кратность корня четная, то знак справа и слева от корня не изменяется.

, так как , то  можно записать

и тогда

Уравнения, приводимые к квадратным

1. Биквадратные уравнения
2. Двучленные уравнения
3. Иррациональные уравнения
4. Вычисления на МК

Биквадратное уравнение

 решается сведением к квадратному уравнению с помощью введения новой переменной. пусть , тогда имеем  и решается квадратное уравнение относительно y.

Например.

и тогда , решаем эти уравнения:

 получили четыре действительных корня. Ответ:

Решить самостоятельно:

Двучленные уравнения

 уравнение третьей степени и имеет 3 корня. Как их найти? Разложим левую часть уравнения на множители.

Применяем формулу:

 произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю, т.е.

 действительных корней нет, найдем мнимые

 т.е. уравнение имеет один действительный корень  и два мнимых

 разложим на множители  имеем:

         или  

                 действительных корней нет, введём мнимую единицу

         есть два мнимых корня

Ответ: .

 группируем члены

 выносим общий множитель из каждой скобки

Вынесем  за скобки

 и тогда

         или        

                                                Ответ: .

Самостоятельно:

Иррациональные уравнения

Уравнения, содержащие переменную под знаком корня, называются иррациональными. При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать:

1. При извлечении корня четной степени берется только арифметическое его значение
2. При возведении выражения, содержащего переменную, в степень может быть нарушена равносильность выражений

Рассмотрим на примерах:

перенесем x в правую часть

возведем обе части уравнения в квадрат. Так как , то получаем

так как при решении уравнения мы возводили в квадрат, то корень  требует проверки. Итак  подставляем в данное уравнение

уравнение содержит два корня, перенесем один из корней в правую часть

возведем обе части уравнения в квадрат

остался один корень. Перенесем его в левую часть, остальные члены – в правую

сократим обе части на 2

и опять возведем в квадрат обе части уравнения:

Проверка

Ответ: x = 13; x = 6.

Можно было

указать сразу ОДЗ и получив корни,

сравнить с ОДЗ

полученные корни x = 13 и x = 6 удовлетворяют ОДЗ  и следовательно

Ответ: x = 13; x = 6

3)

Из того, что  делаем вывод, что  и  являются корнями уравнения. Однако проверка показывает, что  в данном случае является посторонним корнем

                Ответ: 5.

Решим уравнения:

Отсюда  и

Проверим корни:

Ответ: 0; 1; 2.

 или                 ОДЗ:

Проверяя полученные корни, видим, что  удовлетворяют ОДЗ, а вот  – посторонний корень. Ответ: .

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Определитель второго порядка, его свойства. Правило Крамера при решении систем уравнений.

Вычисления с помощью МК

1. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными
2. Определитель второго порядка, его вычисление
3. Правило Крамера при решении систем уравнений
4. Свойства определителя второго порядка
5. Вычисления при помощи МК.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

в общем виде имеет вид

Решением системы уравнений называется упорядоченная пара чисел, удовлетворяющая каждому уравнению этой системы. При решении такой системы могут быть использованы известные методы: 1) подстановки; 2) алгебраического сложения; 3) графически.

Но существует ещё метод решения, который особенно удобен в том случае, когда коэффициенты  отличны от единицы или содержат буквенные выражения.

Имеем систему уравнений

        Число  называется определителем второго порядка. Вертикальные прямые – знак определителя. Обозначается определитель знаком  (дельта).

Итак определитель – это число, которое вычисляется по определенному правилу

– первый столбик (коэффициенты при переменной x)

– второй столбик (коэффициенты при переменной y)

 – первая строчка (коэффициенты при переменных первого уравнения)

– вторая строчка (коэффициенты при переменных второго уравнения)

Определители при переменных  и  получаются из определителя системы путем замены соответствующего столбика столбиком из свободных членов.

Для нахождения значений переменных x и y используются формулы , которые называются формулами Крамера.

Исследуем

1. Если  – система имеет единственное решение
2. Если , но  или  система не имеет решения
3. Если  и  и  – система имеет множество решений.

Например

         Ответ: (1; –1).

Основные свойства определителя

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот

2. При перестановке двух столбцов (строчек) определитель меняет свой знак на противоположный.
3. Определитель, имеющий два одинаковых или пропорциональных столбца (строчки) равен нулю.
4. Общий множитель столбца (строчки) определителя можно вынести за знак определителя.

Рассмотрим примеры:

Решить систему уравнений:

  система имеет единственное решение

Ответ: (1; –2).

Более рационально систему решить через определитель второго порядка

Система имеет единственное решение при условии, что  т.е.

При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными следует помнить, что решение можно выполнить любым из известных методов решения, просто следует выбрать каким методом более рационально для данной системы.

3)

Решим систему всеми способами, т.е. убедимся, что результат получается одинаковый и определимся, какой из методов более рационально применим для данной системы.

1) Способ подстановки.

Решаем второе уравнение относительно «y»: , приведем к общему знаменателю и так как , то

 Ответ: x = –3;        y = 5.

2) Способ алгебраического сложения

уравняем по модулю коэффициенты при x, для этого умножим первое уравнение на 10, а второе – на 3.

                 почленно сложим

подставим y = 5 в любое из уравнений системы, например в первое, и найдем x

получаем x = –3; y = 5, как и в первом случае.

3) графически (следует помнить, что результаты могут быть получены приближенно, что можно объяснить нашим зрением, умением проводить линии, выбором масштаба, неудобством записи числа и т.д.)

графиком каждого уравнения является прямая, а прямая определяется двумя точками.

4) C помощью определителя:

                 единственное решение

Ответ: (–3; 5).

Каким же способом более рационально можно было решить эту систему? Вы правы, конечно с помощью определителя.

Самостоятельно (любым способом)

Контрольные вопросы.

1. Что называется определителем II порядка?
2. Как вычисляется определитель II порядка?
3. Какими свойствами обладает определитель?
4. При каких значениях a система  имеет решение, для которого x = 4.

Вычислить при помощи МК.

 Преподаватель                                                                                         Н.В.Васильева