Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ
план-конспект занятия по алгебре (11 класс)
В последнее время в школьной практике обучения математики наблюдается значительное повышение интереса к задачам с параметрами. Конечно, решение задач с параметрами является одним из мощных инструментов формирования мышления вообще и математического в частности, поскольку эти задачи обладают большими потенциальными возможностями для развития умственных операций (сравнения, аналогии, классификации, конкретизации, обобщения), способностей к анализу и синтезу, формируют культуру логических рассуждений.
При подготовке к изложению задач с параметрами учителю необходимо учитывать различные учебные цели, которые не ограничиваются лишь научением решению задач с параметрами. Целесообразно дать учащимся основы методологических знаний об исследовательской деятельности, об общих схемах решения задач, математических приемах умственной деятельности, некоторые общие теоретические знания.
Несмотря на имеющийся интерес к задачам с параметрами и понимание необходимости их рассмотрения, в реальной школьной практике дело с их изучением обстоит плохо. Необходимо определить место рассматриваемых задач в программах средней школы.
Потребность развития учащихся, все большее использование уравнений и неравенств с параметрами в практике сдачи ГИА и ЕГЭ определяют необходимость внедрения задач с параметрами в содержание школьного курса математики.
Однако дефицит программного времени подсказывает, что задачи с параметрами следует рассматривать не только на текущих уроках, но и на факультативных занятиях. Практика диктует, что реально эти задачи решаются 20–30% учащимися в урочное время, 50–60% на факультативных занятиях, поскольку именно на этих занятиях можно подробно изложить методику решения параметрических задач каждого типа и отработать методы их решения.
Часть параметрических задач сводится к нахождению корней квадратного уравнения, расположенных определенным образом относительно заданной точки или заданного промежутка. При этом целесообразно использовать графический метод в силу его наглядности. Применению графического метода должен предшествовать тщательный анализ возможных способов расположения параболы, удовлетворяющих условиям задачи.
Рассмотрим некоторые задачи с параметрами для решения которых применяются различные методы.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 167.15 КБ |
![]() | 1.57 МБ |
Предварительный просмотр:
В последнее время в школьной практике обучения математики наблюдается значительное повышение интереса к задачам с параметрами. Конечно, решение задач с параметрами является одним из мощных инструментов формирования мышления вообще и математического в частности, поскольку эти задачи обладают большими потенциальными возможностями для развития умственных операций (сравнения, аналогии, классификации, конкретизации, обобщения), способностей к анализу и синтезу, формируют культуру логических рассуждений.
При подготовке к изложению задач с параметрами учителю необходимо учитывать различные учебные цели, которые не ограничиваются лишь научением решению задач с параметрами. Целесообразно дать учащимся основы методологических знаний об исследовательской деятельности, об общих схемах решения задач, математических приемах умственной деятельности, некоторые общие теоретические знания.
Несмотря на имеющийся интерес к задачам с параметрами и понимание необходимости их рассмотрения, в реальной школьной практике дело с их изучением обстоит плохо. Необходимо определить место рассматриваемых задач в программах средней школы.
Потребность развития учащихся, все большее использование уравнений и неравенств с параметрами в практике сдачи ГИА и ЕГЭ определяют необходимость внедрения задач с параметрами в содержание школьного курса математики.
Однако дефицит программного времени подсказывает, что задачи с параметрами следует рассматривать не только на текущих уроках, но и на факультативных занятиях. Практика диктует, что реально эти задачи решаются 20–30% учащимися в урочное время, 50–60% на факультативных занятиях, поскольку именно на этих занятиях можно подробно изложить методику решения параметрических задач каждого типа и отработать методы их решения.
Часть параметрических задач сводится к нахождению корней квадратного уравнения, расположенных определенным образом относительно заданной точки или заданного промежутка. При этом целесообразно использовать графический метод в силу его наглядности. Применению графического метода должен предшествовать тщательный анализ возможных способов расположения параболы, удовлетворяющих условиям задачи.
Рассмотрим некоторые задачи с параметрами для решения которых применяются различные методы.
Разработка занятия элективного курса «Подготовка к ЕГЭ»
11 класс
- При каких значениях а система
имеет более двух решений.
РЕШЕНИЕ.
-
.
Первая система принимает вид Уравнение этой системы – это уравнение окружности с центром в точке О1(8; -4) и R=5. Решение системы – дуга окружности над прямой y=2x-10, включая точки самой прямой.
Вторая система принимает вид Уравнение системы – уравнение окружности с центром в точке О (0; 0) и R=5. Решение системы – дуга окружности , расположенной над прямой y=2x-10.
Решив систему уравнений , получаем y=2x-10,
.
Окружности пересекаются в точке А(3;-4) и В(5; 0), которые лежат на прямой y=2x-10.
Уравнение прямой ОО1 имеет вид y=kx. Подставив координаты точки О1(8; -4), получим , тогда
уравнение прямой ОО1.
Уравнение прямой из условия задачи записываем в виде Значит, эта прямая параллельна прямой ОО1. Из условия задачи следует, что необходимо выяснить, при каких значениях а прямые вида
пересекают обе дуги окружности более чем в двух точках.
Если прямая проходит через точку В(5; 0), то получаем а=5.
Если прямая проходит через точку А(3;-4), то получим а=-5.
Если прямые будут расположены выше точки В или ниже точки А, то будет 4-е точки пересечения и система будет иметь 4-е решения.
Если прямые будут расположены между А и В, то будет всего два решения ,что не удовлетворяет условиям задачи.
Если прямые будут касаться дуг окружностей, то будут два решения. Найдет координаты точек касания окружности .
Рассмотрим прямую l, проходящую через центр окружности и перпендикулярную прямой .
,
. Значит, у=2х – уравнение этой прямой.
Из системы можно найти
.
Прямая l пересекает окружность в точках .
Если прямая проходит через точку N, то
.
Если прямая проходит через точку М, то .
Таким образом система будет иметь более двух решений если ,
.
Ответ.
- Найти все значения а, при каждом их которых уравнение
на промежутке
имеет более одного корня.
РЕШЕНИЕ.
2)
.
Рассмотрим функцию a(x).
Исследуем полученную функцию и построим её график.
;
.
;
∉(0; 1,2)
На промежутке (0; 1,2] функция убывает | На промежутке (1,2; 2)- функция возрастает, а на промежутке [2;+ ∞) – убывает. |
График будет иметь вид
.
Ответ. .
- Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство
выполняется при всех значениях х из промежутка
РЕШЕНИЕ.
.
Рассмотрим функцию .
После раскрытия модулей функция принимает вид , где
.
Значит, , т.е. функция
- убывающая.
Если , то
при всех
.
При х=0 получаем ,
,
.
.
.
.
Ответ. .
- Найти все значения а, при которых уравнение
имеет единственный корень.
РЕШЕНИЕ.
.
Рассмотрим функцию .
.
f(x) – четная функция. Если α-корень, то –α тоже корень. Значит, уравнение имеет единственный корень только х=0. Подставим х=0 в уравнение:
Делаем проверку.
и
.
Уравнение имеет единственный корень х=0.
Уравнение имеет три корня. Значит, – не удовлетворяет условию задачи.
.
Ранее это уравнение было рассмотрено. Это уравнение имеет единственный корень х=0.
Ответ. -1; -5.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
При каких значениях а система имеет более двух решений . РЕШЕНИЕ . . Первая система принимает вид Уравнение этой системы – это уравнение окружности с центром в точке О 1 (8; -4) и R =5. Решение системы – дуга окружности над прямой y =2 x -10 , включая точки самой прямой. Вторая система принимает вид Уравнение системы – уравнение окружности с центром в точке О (0; 0) и R =5. Решение системы – дуга окружности , расположенной над прямой y =2 x -10 .
Решив систему уравнений , получаем y =2 x -10, . Окружности пересекаются в точке А(3;-4) и В(5; 0), которые лежат на прямой y =2 x -10 .
Уравнение прямой ОО 1 имеет вид y = kx . Подставив координаты точки О 1 (8; -4), получим , тогда уравнение прямой ОО 1. Уравнение прямой из условия задачи записываем в виде Значит, эта прямая параллельна прямой ОО 1 . Из условия задачи следует, что необходимо выяснить, при каких значениях а прямые вида пересекают обе дуги окружности более чем в двух точках. Если прямая проходит через точку В(5; 0), то получаем а =5 . Если прямая проходит через точку А(3;-4), то получим а =-5 .
Если прямые будут расположены выше точки В или ниже точки А, то будет 4-е точки пересечения и система будет иметь 4-е решения. Если прямые будут расположены между А и В, то будет всего два решения ,что не удовлетворяет условиям задачи. Если прямые будут касаться дуг окружностей, то будут два решения. Найдет координаты точек касания окружности .
Рассмотрим прямую l , проходящую через центр окружности и перпендикулярную прямой . , . Значит, у=2х – уравнение этой прямой. Из системы можно найти . Прямая l пересекает окружность в точках . Если прямая проходит через точку N , то . Если прямая проходит через точку М, то . Таким образом система будет иметь более двух решений если , . Ответ.
Найти все значения а , при каждом их которых уравнение на промежутке имеет более одного корня. РЕШЕНИЕ . 2) . Рассмотрим функцию a ( x ) .
Исследуем полученную функцию и построим её график. ; . ; ∉ (0; 1,2)
На промежутке (0; 1,2 ] функция убывает На промежутке (1,2; 2)- функция возрастает, а на промежутке [2;+ ∞) – убывает. График будет иметь вид . Ответ. .
Найти все значения параметра а , при каждом из которых неравенство выполняется при всех значениях х из промежутка РЕШЕНИЕ . . Рассмотрим функцию . После раскрытия модулей функция принимает вид , где . Значит, , т.е. функция - убывающая. Если , то при всех . При х=0 получаем , , .
. . . Ответ. .
Найти все значения а, при которых уравнение имеет единственный корень . РЕШЕНИЕ . . Рассмотрим функцию . . f ( x ) – четная функция. Если α -корень, то –α тоже корень. Значит, уравнение имеет единственный корень только х=0 . Подставим х=0 в уравнение:
Делаем проверку. и . Уравнение имеет единственный корень х=0 . Уравнение имеет три корня. Значит , – не удовлетворяет условию задачи. . Ранее это уравнение было рассмотрено. Это уравнение имеет единственный корень х=0 . Ответ. -1; -5 .
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Графический подход к решению задач с параметром и модулем
Разработка факультативного занятия для подготовки к ЕГЭ....
элективный курс по алгебра для 9 класса "Решение задач с параметром"
Решение задач, уравнений с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, прим...
Элективный курс "Решение задач с параметрами". 9-й класс
Элективный курс "Решение задач с параметрами". 9-й класс. Базовый уровень....
![](/sites/default/files/pictures/2012/10/20/picture-126504-1350744662.jpg)
Программа элективного курса по алгебре и началам анализа, 11 класс. "Решение задач с параметрами"
Рабочая прграмма для проведения элективного курса в 11 классе по теме "Решение задач с параметрами"...
Методика решения задач с параметрами при подготовке учащихся к итоговой аттестации по математике в 9-х классах
Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. В данной работе приведены методы решения линейных, квадратных и дробно-рациональных уравнений с параметрами, уравнений с пара...
![](/sites/default/files/pictures/2014/11/30/picture-541992-1417378024.jpg)
Параметры в задачах ЕГЭ. Функционально-графический подход к решению задач с параметром.
Внеклассная работа. Подготовка к экзамену. Проведена в форме "Математических чтений" (идея кадетского корпуса). Занятие проводится в форме обмена знаниями между учащимися. Кадеты заранее получают тему...
![](/sites/default/files/pictures/2018/01/25/picture-57094-1516892103.jpg)
Метод оценок при решении задач с параметром при подготовке к ЕГЭ.
Метод оценок или метод мажорант относится к нестандартным методам решения уравнений и неравенств. Он базируется на свойстве ограниченности функций и применяется, когда в левой и правой частях уравнени...