Методика решения задач с параметрами при подготовке учащихся к итоговой аттестации по математике в 9-х классах
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

«Люльпанская средняя общеобразовательная школа»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

НА ТЕМУ:

«Методика решения задач с параметрами при подготовке учащихся к итоговой аттестации

по математике в 9-х классах»

Выполнила: учитель математики

Решоткина Н.А.

2014 г.

ВВЕДЕНИЕ

В последние десятилетия на вступительных экзаменах в вузы стали предлагаться задачи, решить которые, как правило, было можно,         пройдя специальную целенаправленную подготовку. К такому типу задач относились и задачи, содержащие параметр. Такие задачи обычно предлагались в качестве самых трудных на вступительных экзаменах в вузы с высокими требованиями к математической подготовке абитуриентов,  с 2002 года были включены и в задания части «С» ЕГЭ, а в дальнейшем  стали предлагаться и на государственной итоговой аттестации по математике в 9-х классах.  

Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

         Рассматриваемый материал не входит в базовый уровень,  поэтому решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.

В своё время в связи с переходом на профильное обучение возникла  необходимость в обеспечении углубленного изучения предмета математики и подготовки учащихся к продолжению образования. Профильность обучения достигалась за счет различных учебных курсов, в том числе элективных курсов. В 2010 году мной был разработан и проведен элективный курс для девятиклассников по теме: «Решение задач с параметрами». Основными формами его проведения  являлись изложение узловых вопросов курса в виде обобщающих лекций, семинаров, практикумов по решению задач.

        В настоящее время, поскольку в базисном учебном плане школы не предусмотрены элективные курсы для 9-х классов, данная тема включена мной в рабочую программу по алгебре в 9 классе в объеме 10 часов: 7 часов после изучения основных тем и 3 часа в рамках итогового повторения.

Задачи с параметрами - это нестандартные задачи, т.е. необычные как по постановке и содержанию, так и по методам решения. Роль таких задач, их важность и польза для развития логического мышления, интуиции, творческих способностей учащихся, формирования у них высокой математической культуры очень велики. Известно, что педагоги сталкиваются с серьезными методическими проблемами при обучении решению таких задач, несмотря на наличие, довольно большого количества учебных пособий и журнальных статей. Причина этого достаточно очевидна: основная стратегия математического образования в школе – это развитие умений и навыков решения определенного набора стандартных задач, в большинстве своем связанных с техникой алгебраических преобразований. Уравнения (неравенства) с параметрами относятся к иному типу задач – задач, для решения которых необходимо, прежде всего, умение проводить – порой довольно разветвленные – логические построения и исследования.

Выбор задачи с параметрами для обучения их решению можно объяснить следующими обстоятельствами:

• при решении задач с параметрами происходит повторение, и как следствие, более глубокое, прочное усвоение программных вопросов;
• решение задач с параметрами расширяет математический кругозор, дает новые подходы к решению задач;
• происходит развитие математического, логического мышления, умение анализировать, сравнивать, обобщать;
• приобретаются навыки к исследовательским работам;
• помощь при подготовке к экзаменам;
• происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли, точность.

Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы, которую можно начинать с учащимися 9-х классов.

1. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Что такое параметр?

С понятием параметра (без употребления этого термина) учащиеся уже встречаются  в 7, 8 классах при введении некоторых понятий:

- функция прямая пропорциональность: y=kx (x и y – переменные; k – параметр,  k≠0);

- линейная функция: y=kx+b (x и y – переменные;  k и b – параметры);

- линейное уравнение: ax+b=0 (x – переменная; a и b – параметры);

- квадратное уравнение: ax2+bx+c=0 (x – переменная; a, b и c – параметры, a≠0).

Если вспомнить некоторые основные уравнения (например, kx+b=0, ax2+bx+c=0), то можно обратить внимание, что при поиске их корней значения остальных переменных, входящих в уравнения, считаются фиксированными и заданными. Все разночтения в существующей литературе связаны с толкованием того, какими фиксированными и заданными могут быть эти значения остальных переменных.

Поскольку в школьных учебниках нет определения параметра, приведу следующий его простейший вариант.

 Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из неотрицательности левой части уравнения |x|=a–1 не следует неотрицательность значений выражения a–1, и если a–1<0, то мы обязаны констатировать, что уравнение не имеет решений.

1.2 Что означает «решить задачу с параметром»?

Это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

1.3  Основные типы задач с параметрами

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

При решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения. Но иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;

2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине выделены как основные. Наиболее массовый класс задач с параметром  –  задачи с одной неизвестной и одним параметром.

1.4 Основные способы (методы) решения задач с параметром?

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

По мнению большинства авторов различных сборников по решению задач с параметром, аналитический способ решения задач есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

2. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ

        Как уже говорилось выше, многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Существует множество книг, статей, пособий различных авторов, где рассматриваются различные методы и способы решения задач данного вида. В данной работе я приведу лишь методы решения линейных, квадратных и дробно-рациональных уравнений с параметрами, поскольку именно эти виды уравнений изучаются в основной школе и включаются в часть 2 модуля «Алгебра» ГИА по математике. Вначале рассмотрим аналитический метод решения задач с параметром.

2.1 Линейные  уравнения

Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами : ах = b, где х – неизвестное, а, b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а = 0. 

1. Если  а ≠ 0 , то  при  любой  паре  параметров  а   и  b  оно  имеет  единственное  решение  х = .

 2. Если  а = 0, то  уравнение  принимает  вид: 0х = b. В  этом  случае  значение  b = 0  является  особым  значением  параметра  b.  

         При  b ≠ 0 уравнение  решений  не  имеет.

          При  b = 0  уравнение  примет  вид: 0·х = 0. Решением  данного  уравнения  является  любое  действительное  число.

Пример 1. Для всех значений параметра а решить уравнение

2а(а – 2)х=а –2.         (1)

Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при  х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом, целесообразно решить уравнение (1) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 

1) а=0;    2) а=2;    3) а≠0, а≠2.

Рассмотрим эти случаи.

1) При а=0 уравнение (1) принимает вид 0·х = -2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а=2 уравнение (1) принимает вид 0·х=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.                                                                                  

3) При а≠0, а≠2  из уравнения (1) получаем, х=  , откуда х=  .

Ответ: 1) если а=0, то корней нет; 2) если а=2, то х – любое  действительное число;  3) если а≠0, а≠2 , то  х= .

2.2 Квадратные уравнения

Квадратное уравнение ах2+bx+c=0 можно рассматривать как уравнение с параметрами, где х – неизвестное, а, b, с – параметры.

Уравнение исследуется по следующей схеме.

1) если а=0, то имеем линейное уравнение bx+c=0

2) если а≠0 и дискриминант уравнения D<0, то уравнение не имеет решений.

3) если а≠0 и дискриминант уравнения D=0, то уравнение  имеет единственное решение х=- .

4) если а≠0 и дискриминант уравнения D>0, то уравнение имеет два различных решения .

Пример 1. Для всех значений параметра а решить уравнение

(а – 1) х2+2 (2а+1)х+(4а+3) =0          (2)

Решение. В данном случае контрольным является значение a=1. Дело в том, что при a=1 уравнение (2) является линейным, а при а1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:

1) а=l;         2) а1.

Рассмотрим эти случаи.

1) При a=1 уравнение (2) примет вид 6х+7=0. Из этого уравнения

находим  х= - .    

2) Из множества значений параметра  а≠ 1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения (2) обращается в 0.

Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=ао, то при переходе значения D через точку ао дискриминант может изменить знак (например, при а<ао D< 0, а при а>ао D>0). Вместе с этим при переходе через точку ао меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а<ао корней нет, так как D< 0, а при а>ао D>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.

Составим дискриминант уравнения (2):

D =4(2а+ l)2 - 4(а - 1) (4а+3). После упрощений получаем D = 4(5а+4).

Из уравнения D=0 находим а=-  — второе контрольное значение параметра а. При этом если а < - , то D <0; если     a≥ -   и  a ≠ 1, то  D≥0.                                                    

Таким образом, осталось решить уравнение (2) в случае, когда  а < - и  в  случае, когда  { a≥ -  и  a ≠ 1} .

Если  а< - ,  то  уравнение  (2)  не  имеет  действительных корней; если  же { a≥ - , a ≠ 1 }, то  находим  x1,2= .

Ответ: 1) если  а< - ,  то  корней  нет; 2) если а= 1,  то  х = - ;

   3)     a ≥-   и  a 1 , то     x1,2= .

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

(а+6)х2 +2ах +1=0       (3)

имеет единственное решение.

        Решение. По условию задачи уравнение необязательно является квадратным, поэтому, как и в примере 2, надо рассмотреть два случая.

1) а+6=0, а=-6. При этом получаем линейное уравнение -12х+1=0, которое имеет единственное решение. Это решение по условию задачи необязательно находить.

2) а-6. В этом случае уравнение (3) является квадратным и имеет единственное решение, если дискриминант D=0, т.е.

D=4а2 – 4(а+6)=4(а2 – а – 6)=0 (а2 – а – 6)=0  а1=3, а2=-2.

Ответ: уравнение имеет единственное решение при а=-6, а=-2, а=3.

Пример 3. Определить все значения параметра а, при которых уравнения

                х2+ах+1=0 и х2+х+а=0 имеют хотя бы один общий корень.

Решение. Предположим, что уравнения имеют общий корень х=х0. Тогда

+ах0+1=0

+х0+а=0

откуда, вычитая второе уравнение из первого, получаем

                        х0(а – 1) = а – 1.

1) Если а=1, то последнее уравнение всегда выполняется. При этом оба исходных уравнения совпадают и имеют вид х2+х+1=0. Это уравнение действительных корней не имеет.

2) Если а1, то х0=1. Подставив х0=1в любое из уравнений системы, находим а=-2. При этом исходные уравнения имеют вид х2-2х+1=0 и х2+х-2=0. Эти уравнения имеют общий корень х=1.

Ответ: а = - 2.

2.3 Дробно-рациональные уравнения, сводящиеся к линейным.

Процесс решения дробных уравнений протекает по обычной схеме: дробное уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиеся решают известным им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, т. е. числа, которые обращают общий знаменатель в нуль. В случае уравнений с параметрами эта задача более сложная. Здесь, чтобы исключить посторонние корни, требуется находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, т. е. решать соответствующие уравнения относительно параметра.

Пример 1. Для всех значений параметра а решить уравнение

                         = .

Решение. Уравнение имеет смысл при х – 2а≠0 и ах – 1≠0, т.е. х ≠2а, ах≠ 1.

        Если х 2а, ах 1, то умножив обе части уравнения на (х-2а)(ах-1), получим

                ах – 1 =2х – 4а  или (а – 2)х = 1 – 4а.

1) Если а - 2 =0 ⇔ а=2, то уравнение имеет вид 0·х= - 7. Это уравнение корней не имеет.

2) Если а – 2  0 ⇔ а2, то х=  .

Теперь найдем те значения параметра а, при которых х=2а или ах=1. Имеем:

   = 2а ⇔ 1- 4а=2а2 – 4а ⇔ а = ±

   =1 ⇔ а- 4а2 = а – 2 ⇔ а = ±

Таким образом, если  а = ± , то уравнение не имеет решения.

Ответ: если  а = ±; а=2, то уравнение корней не имеет,

 если а  ±; а≠2, то х= .

Пример 2. Для всех значений параметра а решить уравнение

                     -   =                            (4)

Решение. Значение а=0 является контрольным. При a=0 уравнение (4) теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если  а0, то после преобразований уравнение (4) примет вид:

х2+2 (1 - а) х +а2 - 2а- 3=0.                 (5)

Найдем дискриминант уравнения (5)

D =4 (1 - a)2 - 4(a2 - 2а - 3) = 16.

Находим корни уравнения (5):

х1 =а + 1,   х2 = а - 3.

При переходе от уравнения (4) к уравнению (5) расширилась область определения уравнения (4), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка.

Проверка. Исключим из найденных значений х такие, при которых х1+1=0, х1+2=0, х2+1=0, х2+2=0.

Если  х1+1=0, т. е. (а+1)+1=0, то а= -2. Таким образом, при а= -2 х1 –  посторонний корень уравнения (4).

Если х1+2=0, т. е. (а+1)+2=0, то а= -3. Таким образом, при а= -3 x1 –  посторонний корень уравнения (4).

Если х2+1 =0, т. е. (а - 3)+1=0, то а=2. Таким образом, при а=2 х2 –  посторонний корень уравнения (4)'.

Если х2+2=0, т. е. (а - 3)+2=0, то а=1. Таким образом, при а= 1 х2 –  посторонний корень уравнения (4).

Для облегчения выписывания ответа сведем полученные результаты на рисунке .

В соответствии с этой иллюстрацией при а= - 3 получаем х=-3-3= -6;

при a= -2 х= -2 -3= - 5; при a=1   х= 1+1=2;   при a=2    х=2+1=3.

Итак, можно записать

Ответ: 1) если a= - 3, то х= - 6; 2) если a= -2, то х= - 5; 3) если a=0, то корней нет; 4) если a= l, то х=2; 5) если а=2, то х=3;

6) если   а -3;

               а -2;

               а  0;    то  х1 = а + 1,

               а 1;           х2 = а – 3.

               а 2,

2.4 Уравнения с параметрами, содержащие знак модуля

        Особого рассмотрения требуют уравнения с параметрами, содержащие модуль.

Пример 1. При всех значениях параметра  а  решить  уравнение: 

                     |х  + 3| - a|x – 1| = 4.

Решение:  Разобьем числовую прямую на 3 части точками, в которых выражения под знаком модуля обращаются в нуль, и решим 3 системы:

1)     х< -3                        х< -3                 

        -x-3+ax-a=4                x=, если а≠1.

Найденный х будет решением, если +3<0 ⇔ <0  a  (-1;1)

2)      -3≤х≤1                -3≤х≤1                 

        x+3+ax-a=4                x==1, если а≠-1.

Найденный х удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, является решением при а - 1. Если же а=-1, то решением является любой х[-3;1].  

3)   x>1                                x>1

      x+3-ax+a=4                        x==1, если а≠1.

Найденный х не удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, не является решением при а1. Если же а=1, то решением является любой х>1.

Ответ:  при a  (-1;1) x= ; при а=-1 х[-3;1]; при а=1 х(1;+∞); х=1 является также решением при всех а.

Пример 2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение  ||2x| - 4| =x+a  имеет три различных корня.

Решение. Раскроем внутренний модуль. Имеем

        |2x-4| = x+a,                                          2x-4 = x+a        

        x≥0,                                                  2x-4 = -x-a

                                        ⇔                x≥0 и х+а ≥0

        |2x+4| = x+a,                                  2x+4 = x+a

        x<0,                                                  2x+4 =-x-a

                                                        х<0 и x+a ≥0

        Полученная совокупность систем и уравнений равносильна совокупности следующих четырех систем.

1)    2x-4 = x+a

       x≥0                          х=а+4, если а ≥ -2

      х+а ≥0

2)   2x-4 = -x-a

       x≥0                           х= , если  -2 ≤ а ≤ 4.

       х+а ≥0

3)    2x+4 = x+a

       х<0                           х=а – 4, если 2 ≤ а < 4.

       x+a ≥0

4)   2x+4 = - x-a

       х<0                            х= - , если а ≥ 2.

       x+a ≥0

           ///////////////////////////////       х= а+4

        -2        2            4       а

           //////////////////////                х=

        -2         2              4       а

                    /////////////o               х= а-4

                     2             4       а

                    ////////////////////////      х=  -

                     2             4       а

Отсюда следует, что уравнение может иметь три различных корня только при а=2 и а=4.

Ответ: при а=2 и а=4.

3. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ.

        Графический способ решения задач с параметром является более удобным, чем аналитический, когда надо не решить уравнение, а указать, сколько решений оно имеет в зависимости от параметра. Графический метод более понятен и более доступен для выпускников 9-х классов, поэтому чаще всего они пользуются именно этим методом.

        Разберем несколько примеров.

Пример 1. Найдите все значения а, при которых прямая у=а пересекает

                график функции у=|x2 – 2x – 3| в четырех различных точках.

Решение. Решение данной задачи сводится к решению уравнения вида

|x2–2x–3|=а в зависимости от параметра а.

        Построим график функции у=|x2 – 2x – 3|. Для этого вначале найдем координаты вершины параболы х=1, у=-4 и построим график функции

у=x2– 2x – 3. Затем ту часть графика, которая лежит ниже оси х, симметрично отобразим вверх относительно оси х.

Прямая у=а – прямая, параллельная оси х. Из рисунка видно, что прямая у=а пересекает график функции у=|x2–2x – 3| в четырех различных точках, если 0

Ответ: 0

Пример 2. Найдите все значения k,  при которых прямая y=kx пересекает в трех различных точках график функции

                        4x+6 при х< -1,

                 y=        2 при -1 ≤ х ≤ 1,

                        4х – 2 при х> 1.

Решение. Построим график данной функции, который состоит из трёх частей, каждая из которых представляет собой участок некоторой прямой. График данной функции имеет с прямой y=kx ровно три общие точки лишь в том случае, если каждая из трех его частей имеет общую точку с этой прямой.

Последнее может быть выполнено только в том случае, если прямая y=kx лежит между прямыми ОВ и ОА (см. рис.) Таким образом, искомые значения k – это все числа, которые больше углового коэффициента прямой ОВ, но меньше углового коэффициента прямой ОА. Угловой коэффициент  прямой ОА равен 4 (т.к. эта прямая параллельна прямой у=4х – 2). Угловой коэффициент прямой ОВ вычислим исходя из координат точки В(1,2) и из условия, что прямая y=kx проходит через точку В. Получаем, что угловой коэффициент прямой ОВ равен 2.

        Итак, все искомые k – это k (2;4).

Ответ: k (2;4).

4. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ.

        Кроме  задач, рассмотренных выше, на государственной итоговой аттестации по математике  в 9 классе предлагаются ещё и  другие варианты заданий, содержащих параметр. Эти задания приводятся в различных сборниках по подготовке к ГИА. Рассмотрим  некоторые из них.

Пример 1. При каком значении параметра b прямая у=-5х+b является касательной к параболе у=4х2 – 3х? Найдите координаты точки касания данных прямой и параболы.

Решение. Прямая у=-5х+b касается параболы у=4х2 – 3х лишь в том случае, если имеет с этой параболой единственную общую точку, т.е. если уравнение -5х+b=4х2– 3х имеет единственный корень. Поскольку уравнение квадратное, то это возможно в том случае, если дискриминант трехчлена 4х2 +2х– b равен нулю.

                D=4+16b=0, b= - 0,25.

        Абсцисса точки касания прямой у= -5х – 0,25 и параболы у=4х2 – 3х является корнем уравнения -5х – 0,25= 4х2 – 3х, т.е. равна  –0,25. Ординату точки касания находим, подставляя её абсциссу в уравнение прямой:

у=-5·(-0,25) – 0,25=1.

Ответ: b= - 0,25; (-0,25;1).

Пример 2. Найдите все пары значений параметров  c и k, для каждой из которых парабола у= х2 + 2х +с касается обеих прямых у=kx  и у=4х+3.

Решение. Парабола у= х2 + 2х +с касается обеих прямых у=kx  и у=4х+3 тогда и только тогда, когда каждое из уравнений  х2 + 2х +с =kx  и х2+2х+с=4х+3 имеет ровно один корень. Преобразуем эти уравнения:

                х2 +(2 – k)x +c =0

                x2 – 2x + c – 3 =0.

Необходимым и достаточным условием того, что квадратное уравнение имеет ровно один корень, является равенство нулю его дискриминанта, поэтому искомыми значениями с и k являются решения системы:

                (2 – k)2 – 4с = 0

                4 – 4(с – 3) = 0.

Из второго уравнения системы имеем: с –3=1, с=4. Подставляя с=4  в первое уравнение системы, получаем: (2 – k)2 = 16, 2 – k = ± 4 ⇔ k= -2 или k=6.

        Ответ: с=4, k=6 или с=4, k=-2.

Пример 3. Парабола с вершиной в точке (-2; -2) содержит точку (1;16). Найдите абсциссы точек пересечения этой параболы с осью Ох.

Решение. В условии задачи нет явного указания на наличие параметра. Он возникает в ходе решения задачи.

        Пусть у=ax2 +bx+c – уравнение, определяющее данную параболу. Так как по условию эта парабола содержит точки (-2;-2) и (1;16), то у(-2)=-2, у(1)=16. Получаем систему уравнений:

                4а – 2b + c = - 2

                a + b + c = 16.

А учитывая, что точка (-2;-2) – вершина параболы, из формулы, определяющей абсциссу вершины параболы, имеем:

        -  =-2,  b= 4a.

Подставляя b= 4a в уравнения системы, получаем

                с – 4а = - 2

                5а + с = 16.

Решая данную систему, находим а=2, с=6, b=8. Таким образом, у=2х2+8х+6 – уравнение, определяющее данную параболу. Абсциссы точек пересечения этой параболы с осью Ох – корни уравнения 2х2+8х+6=0, т.е. х=-3 и х=-1.

        Ответ: -3, -1.

Пример 4. Прямая 3х+4у=с, где с – некоторое число, касается гиперболы у= в точке с отрицательной абсциссой. Найдите число с.

Решение. Построим прямую 3х+4у=0 (или у=- х) и график функции у= (см. рис.).

Прямые 3х+4у=с и 3х+4у=0 параллельны при любом значении с. Поэтому на основании рисунка делаем вывод, что прямая 3х+4у=с касается графика у= в том и только в том случае, когда она имеет с эти графиком ровно одну общую точку. Решим систему уравнений:

                        3х+4у=с

                        у =

Подставляя у= в первое уравнение системы, получаем 3х2 – сх +48 =0. Данная система имеет единственное решение, если полученное квадратное уравнение имеет единственный корень, а это возможно в том случае, если дискриминант уравнения 3х2 – сх +48 =0 равен нулю, т.е.

        D = c2 – 12·48=0  c = ±24  х=   х = ±4 – абсцисса точки касания.

Так как по условию абсцисса точки касания отрицательна, то с= -24.

Ответ: с = -24

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

        Как уже говорилось, задачи с параметрами – один из самых сложных разделов школьной математики. Недаром на выпускных экзаменах (ЕГЭ, ГИА) за решение данной задачи выпускник получает максимальное количество баллов.

        Зачастую учащиеся овладевают каким-то одним способом решения подобных заданий и теряются, если он не помогает решить задачу. Поэтому основная задача учителя научить учащихся решать задания с параметрами разными способами, что поможет выпускнику обрести чувство уверенности в своих силах.

Задачи с параметрами требуют к себе особенного подхода по сравнению с остальными заданиями. Они представляют собой определенную сложность в техническом и логическом плане. Решение уравнений и неравенств с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему характеру к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты. При решении их используются не только типовые алгоритмы решения, но и нестандартные методы, упрощающие решение.

Решая исследовательскую задачу, человек познает много нового: знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением математической теории к ее решению, познает новый метод решения или новые теоретические разделы математики, необходимые для решения задачи. Исследовательские задачи создают условия для проявления творческой активности учащегося, выражающейся в стремлении познать объективно новые факты, используя теорию научных исследований.  Исследовательские задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются и с другими задачами.

        Анализ результатов итоговой аттестации по математике за курс основной школы за последние годы показывает, что как правило, задачи с параметрами не решаются, а если и решаются сильными учащимися, то только частично. Выпускники же 11-х классов к решению заданий С5, содержащих параметр не приступают вообще. Поэтому в данное время мною поставлена цель разработать и провести учебный курс «Решение задач с параметром» для выпускников 11-х классов. Здесь будут рассматриваться не только линейные и квадратные уравнения с параметрами, но и иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические уравнения и неравенства с параметрами, а также их системы. Данный курс должен стать гармоничным продолжением курса для 9-х классов и способ-ствовать успешной сдаче экзамена  по математике и поступлению в вуз.

ПРИЛОЖЕНИЯ

1. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

        Задания для самостоятельного решения подобраны из различных сборников подготовки к ГИА разных лет.

Для всех значений параметра а решить уравнения (№1-5).

1. (5а+1)х+25а2+10а+1=0                                        

                              (Ответ: если а=-0,2, то хR; если а-0,2, то х=-5а-1)

2.   = 0.                      (Ответ: если а=0, то х=-3; если а=3, то х=12; если а0 и а3, то х=4а и х=-2а-3).
3. 3х2-5ах – 2а2 =0.                 (Ответ: х=2а и х=-а/3 для любого а).
4. (а+3)х2 – (3а+1)х+а = 0       (Ответ: если а=-3, то х=3/8; если а(; 1), то х; если а=, то х=; если а=1, то х=0,5; если а  (-∞; -3)∪(-3; )∪ (1;+∞), то х1,2= .
5.  –  = .   (Ответ: если а=0, то х ; если а0, то х=-2а и х=3а.)
6. Найдите все значения а, при которых уравнение |3|x| - a2| =x – a имеет ровно три различных решения.    (Ответ: а=-3, а=-1)
7. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ||x – a| - 2| =x+4 имеет бесконечное число корней.      (Ответ: а=-2, а=-6)
8. Найдите все значения k, при которых прямая y=kx пересекает график функции у= ||2x – 10|-4| в четырех различных точках.   (Ответ: 0
9. Найдите все положительные значения k, при которых прямая y=kx пересекает в двух различных точках ломаную, заданную условиями:

                                 1,   если |x|≤ 3

                  у=   -2x-5, если х<-3

                        2x-5, если x>3        

         (Ответ:  < k <2)

10. Найдите все значения m, при котором точки  А(-3;15), В(9;-5) и С(24;m) лежат на одной прямой.                (Ответ: m=-30)
11.  Найдите все значения а, при которых точка пересечения прямых у=2х+1 и у=а-5х находится в первой координатной четверти. (Ответ:а>1)
12.  Парабола у=х2+bx+c, симметричная относительно прямой х=-2, касается  прямой у= х+3. Найдите коэффициенты b, c.  (Ответ: b=4,c=4)
13.   При каких значениях а парабола у=3х2-2ах+4 и прямая у=а-2 не имеют общих точек?       (Ответ: -6

14.  Постройте график функции y=f(x), где

                                       2x2+8x+8, если x<-1

                     f(x) =    |x|+1, если   -1≤x≤3

                                                , если  x>3.

 При каких значениях m прямая у=m имеет с графиком этой функции три общих точки.    (Ответ: m  (0;1)∪(2;4))

15.  Найдите все значения а, при которых график функции у=ах2-4х+а расположен выше оси абсцисс.     (Ответ: (2; +∞))
16.  При каких значениях p прямая y=p имеет три общие точки с графиком функции y=f(x), где                                                        

                                  f(x) =    

(Ответ: (-9;0)∪(1;+∞))

17.  Известно, что прямые y=5x и y=kx+32 касаются параболы  y=x2+bx+36. Среди всех возможных коэффициентов b и k укажите такие, при которых сумма b+k наибольшая.   (Ответ: b=17, k=21)
18.  Определите количество корней уравнения |x2-4x-3|=a при всех положителных значениях параметра а.      (Ответ: при 07   2 корня)
19.  При каких значениях параметра a и b вершина параболы y= 5x2+ax+b находится в точке А(2;7)?               (Ответ: a=-20, b=27)
20.  Найдите все значения параметра а, при которых сумма корней уравнения х2 – (а2 +а)х + 3а=0 равна 2.     (Ответ: а=-2)

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА  АЛГЕБРЫ В 9 КЛАССЕ

Тема урока: Применение свойств квадратичной функции и квадратного трехчлена  при решении уравнений с параметром.

Цели урока:

- образовательная: формирование умения решать квадратные уравнения с параметрами;         обобщение и систематизация знаний о способах решения простейших задач с параметрами;

        - воспитательная: повышение интереса к решению практических задач;

        - развивающая: развитие логического мышления, умения систематизировать и применять полученные знания, умения рассуждать и аргументировать свои действия; развитие исследовательской и познавательной деятельности учащихся.

Оборудование: ноутбук, экран, проектор. В ходе урока используются слайды презентации «Параметры».

Ход урока:

1. Орг. момент.

Учитель сообщает тему занятия, цель.(Слайд 2,3)

- Сегодня на уроке мы с вами должны вспомнить свойства квадратичной функции и квадратного трехчлена. Используя эти знания,  мы посвятим  наш урок уравнениям с параметром.

        Работаем мы сегодня в группах, в каждой группе есть свой консультант, к которому можно обратиться за помощью.

2. Актуализация знаний

Вопросы учащимся:

а) Запишите формулу квадратного трехчлена.

б) Какую информацию  можно получить, зная формулу квадратного трехчлена?

        - если дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, то квадратный трехчлен имеет 2 корня;

        - если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то квадратный трехчлен имеет 1 корень;

        - если дискриминант квадратного трехчлена меньше нуля, то квадратный трехчлен не имеет  корней.

в) Какую информацию о графике квадратичной функции можно получить, зная коэффициенты квадратного трехчлена?

•         если старший коэффициент квадратного трёхчлена больше нуля, то ветви параболы направлены вверх,
•  если старший коэффициент квадратного трёхчлена меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз,
•  если дискриминант больше нуля, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках,
•  если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс,
•  если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось абсцисс,
•  абсцисса вершины параболы равна  .

г) Что произойдет с квадратичной функцией, если старший коэффициент квадратного трехчлена будет равен нулю?

 - если старший коэффициент квадратного трёхчлена равен нулю, то графиком функции является не парабола, а прямая; (и соответствующее уравнение надо решать не как квадратное, а как линейное).

3. Решение задач

Текст задач последовательно выводится на экран. Учащиеся решают в группах вместе с консультантами. Если решение готово, то один из группы выходит  и записывает решение на доске. Далее идет проверка по слайду презентации.

1 Найдите х2 и p, если х1=4 и х2+pх-12=0.   Ответ: х2=-3,p=-1

2. При  каких  значениях  k  уравнение  (k - 2)x2 + (4 – 2k)x+3 = 0  имеет  единственное    решение? Ответ:k=5

Если k=2, то сколько решений будет иметь уравнение?

3.  Найдите все значения а, при которых график функции у=ах2 – 2ах +3 расположен выше оси абсцисс.   Ответ: [0;3)

4.  Найдите все значения параметра а, при которых график функции

    у=ах2+2х-а+2 пресекает ось Ох в одной точке.   Ответ: а=0, а=1

5. Постройте график функции у=(х-2)2 -4. Найдите, при каких значениях с прямая у=с имеет с данным графиком функции две общие точки. Ответ: с>-4.

      4. Самостоятельная работа

Для самостоятельного решения предлагаются 3 задачи, возможна помощь консультантов. Текст задач приведен на слайдах.

1)   Найдите х2 и с, если х1=1 и 8х2-10х+с=0.      Ответ: х2=0,25, с=2

2)   При  каких  значениях  а  парабола  у = 25х2 – 2х +а  касается  оси Х?

 Ответ: а=0,04.

3)  При каких значениях k парабола у=2х2 +2kx +6  и прямая у=-k-6 не имеют общих точек?  Ответ: -4

Проверка выполнения самостоятельной работы осуществляется с помощью слайдов презентации. За верное решение одной задачи – «3», двух задач – «4», трех задач – «5».

     5. Подведение итогов урока.

Сегодня на уроке мы с вами повторили основные свойства квадратного трехчлена и квадратичной функции и научились их применять при решении простейших задач с параметрами, которые, как вам известно, являются обязательным элементом ГИА по математике.

На столах у каждого лежат листочки с картой успешности. Подпишите свои имя и фамилию и оцените свою деятельность на уроке. Критерии оценивания в карточке указаны.

Задание на дом: Сборник для подготовки к ГИА под ред. Ф.Ф. Лысенко, № 604, 570,580.

ТЕСТЫ ПО ТЕМЕ: «УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ»

Задания в тестах подобраны с увеличением степени сложности задания.

Тест 1. Линейные уравнения.

1. При каком значении m уравнение  =  имеет корень равный нулю?

1. -      B)       C) -       D)       E) -

2. При каких значениях k уравнение k(x+1)=5 имеет положительный корень?

1. (0;+∞)    B) (0;5)     C) (-5;0)    D) (5; +∞)   E) (-∞;+∞)

3. При каких значениях а уравнение ах – 2а = 2 имеет корень, меньший 1?

А) (-2;0)    В) (-∞; 0)   С) (0;1)   D) [1;2]    E) (-∞;+∞)

     4. При каких значениях а уравнение 3(х+1)=4+ах имеет корень больший, чем  -1?

          A) (0;+∞)   B) (4;+∞)    C) (-∞;0)   D) (-∞;3)  E)  (-∞;3)∪(4;+∞)

     5. При  каких  значениях  b  уравнение  2+4х-bx=3+х  имеет  отрицательное  решение?

А) b<3;              В)  b<2;           С)  b>3  

     6. Для всех значений параметра а решите уравнение  2х( а+1)= 3а(х+1)+7.

А) при  а=-2  корней  нет;  при  а -2   х=   

В) при  а -2  корней  нет;  при  а=-2   х = ;

С) при  а -2  и а -    корней  нет;  при  а=-2  х =  .

Тест 2. Квадратные уравнения.

1. Один из корней уравнения 2х2+х – а = 0 равен 2. Чему равен второй корень?

1. 2,5    B) -2,5   C)  1,5    D) -1,5   E) -2

2. Один корень уравнения х2 +px – 35 = 0 равен 7. Найти второй корень и значение p.

1. -5; -2   B) -5; -2   C) 5;2    D) 5; -2   E) 5;1

3. Один из корней уравнения x2 – 6x + q = 0 равен 2. Чему равна сумма всех коэффициентов уравнения?

1. 2    B) -6  C) 3   D) -5   E) 4

4. Один из корней уравнения х2 +px -12 = 0 равен 4. Чему равен второй корень?

1. 3    B)  -3    C)  -1  D) 1    E) 6

5. При  каких  значениях  k  уравнение  kx2 – (k - 7)x + 9 =0 имеет  два  равных  положительных  корня?

А) k=49, k= 1;    В) k=1;     С) k=49 .

6. При  каких  значениях  а  уравнение  ax2 - 6x+а = 0  имеет  два  различных  корня?

 А) а (- 3; 0)U(0; 3);  В) при  а (- 3; 3);    С) а (- ∞; - 3)U(3; +∞) 

ЛИТЕРАТУРА

1.  Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С..  Задачи с параметрами. –  М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003.
2. Мочалов В.В., Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами: Учебное пособие. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. Ун-та, 1997.
3. Кочарова К.С. Об уравнениях с параметром и модулем.// Математика в школе. – 1995 - №2. – с. 2-4.
4. Джиоев Н.Д. Нахождение графическим способом числа решений уравнения с параметром. // Математика в школе. – 1996 - №2. – с. 54-57.
5. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. – М.: Просвещение, 1986.
6. Епифанова Т.Н., Графические методы решения задач с параметрами // Математика в школе. – 2003. - №2. – С. 17-20.
7. Математика 9 класс, ГИА 2014: учебно-методическое пособие/ под ред. Д.А. Мальцева. – Ростов н/Д: Издатель Мальцев Д.А.; М.: Народное образование, 2013.
8. Математика. Учимся решать задачи с параметром. Подготовка к ЕГЭ-2014: задание С5/ под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2013.
9. Моденов В.П. Задачи с параметрами/ В.П.Моденов. – М.: «Экзамен», 2006. – 288 с.
10.  http://nsportal.ru,  http://www.uztest.ru, http://www.ege.ru
11.  Алгебра. 7-8 классы. Тренажер. Тематические тесты и итоговые работы: учебно-методическое пособие/ Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова.- Ростов-на –Дону: Легион, 2013.
12.  Математика. 9 класс. Подготовка к ГИА-2013(2014): учебно-методическое пособие/ Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова.- Ростов-на –Дону: Легион, 2012(2013).