Элективный курс "Рациональные и иррациональные алгебраические задачи"
элективный курс по алгебре (11 класс) на тему

Пояснительная записка

Предлагаемый элективный курс предназначен для обучения учащихся  11 класса средней школы. Рабочая программа  элективного курса составлена на основе авторской программы: А.Н. Земляков. Алгебра +: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Учебное пособие /А.Н.Земляков - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.

Курс «Рациональные и иррациональные алгебраические задачи» систематизирует, закрепляет и углубляет знания, умения и навыки учащихся в области «элементарной алгебры». Закрепление и углубление знаний учащихся, полученных в курсе алгебры основной школы, основывается на систематизации задач в соответствии с типами выражений, фигурирующих в задачах (рациональных и иррациональных, алгебраических, тригонометрических, показательных, логарифмических) и, на методах решения задач (переход к следствиям, равносильные преобразования, методы замены и разложения, функциональные методы, геометрические интерпретация, графическая интерпретация.

 Элективный курс позволяет не только дополнить и углубить знания учащихся, но и развивать их исследовательские умения, логическое мышление. Рассмотрение системы  методов решения  алгебраических задача открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и задачах смежных предметных областей.

Структура курса представляет собой  три  логически и содержательно взаимосвязанных темы: Рациональные алгебраические уравнения и неравенства; Рациональные алгебраические системы; Иррациональные алгебраические задачи.

Цель курса: 

• Углубление, расширение и систематизация знаний учащихся о способах и методах решения задач курса алгебры и начал математического анализа.
• Создание условий для формирования у учащихся  качеств мышления, характерных для математической деятельности необходимых для изучения смежных дисциплин, продолжения образования  и продуктивной жизни в современном обществе.

Задачи:

• Систематизировать теоретические  знания учащихся о приемах и методах решения задач различного вида сложности;
• Расширить и углубить математические представления учащихся по разделам: «Уравнения и неравенства»
• Сформировать практические навыки и умения учащихся по решению:

-уравнений и неравенств, содержащих радикалы; степени, логарифмы, тригонометрические функции;

-уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля;

-уравнений и неравенств, содержащих параметры

• Развивать коммуникативные умения выпускников средней школы за счет участия в  работе группы, организации дискуссий, аргументации выбора способа решения и  ответа задачи, презентации результатов учебного проекта.

Материал курса кроме теоретических сведений, необходимых для решения уравнений, неравенств и их систем, содержит интересные нестандартные задачи, освещает способы и методы решения математических задач не рассматриваемые в школьном курсе математики. Углубление базового материал по математике реализуется за счет обучения методам и приемам решений заданий, требующих применения высокой логической  и операционной культуры, развивающим научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся.

Для реализации целей и задач элективного курса предполагается использовать следующие формы проведения занятий: лекции с элементами проблемного изложения, практикумы по решению задач, семинары. Для получения эффективных результатов имеет смысл использовать компьютер, интерактивную доску, которые помогут как в реализации результатов работы с данными вопросами, так и при решении  математических задач.

     Эффективность усвоения изучаемого материала отслеживается через выполнение самостоятельных работ (Приложение 1). Итоговый зачет предусматривает выполнение  учебного проекта, включающего самостоятельное исследование математической задачи,   с помощью методов изучаемых на занятиях курса и его защиту на итоговой конференции.  Учебный проект должен содержать теоретическое обоснование решения алгебраической задачи и сопровождаться мультимедийной презентацией.  В Приложении 2 представлены  примерные темы учебных проектов. Основанием для получения отметки «зачтено» по итогам изучения элективного курса является правильное решение алгебраической  задачи с использованием методов, предусмотренных программой курса.

Элективный курс рассчитан на 34 аудиторных часа (один час  в неделю).

Содержание тем курса

Тема 1. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства (6 часов).

Представление о рациональных алгебраических выражениях. Симметрические, кососимметрические и возвратные многочлены и уравнения.

Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.

Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений. Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.

Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств.

Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.

Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. Метод областей.

Тема 2. Рациональные алгебраические системы. 14ч.

Уравнения с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными. Однородные уравнения с двумя переменными.

Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем.

Однородные системы уравнений с двумя переменными.

Замена переменных в системах уравнений.

Симметрические выражения от двух переменных. Теорема Варинга-Гаусса о представлении симметричных многочленов через элементарные. Рекуррентное представление сумм степеней через элементарные симметрические многочлены (от двух переменных).

Система Виета и симметрические системы с двумя переменными.

Метод разложения при решении систем уравнений.

Методы оценок и итераций при решении систем уравнений.

Оценка значений переменных.

Сведение уравнений к системам.

Системы с тремя переменными. Основные методы.

Системы Виеты с тремя переменными.

Тема 3. Иррациональные алгебраические задачи. 12ч.

Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятие алгебраических и арифметических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.

Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями.

Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки.

Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами.

Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам.

Освобождение от кубических радикалов.

Метод оценки. Использование монотонности. Использование однородности.

Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений.

Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем).

«Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокупностям систем.

Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков знакопостоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.

Замена при решении иррациональных неравенств.

Использование монотонности и оценок при решении неравенств.Уравнения с модулями. Раскрытие модулей – стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей.

Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах.

 Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).

Иррациональные алгебраические системы. Основные проблемы.

Итоговый зачет по курсу (2 часа)

Решение рациональных алгебраических задач.

Решение иррациональных алгебраических задач.

Требования к уровню подготовки учащихся.

Требования к уровню подготовки учащихся.

        В результате изучения элективного курса учащиеся должны

знать

• методы и приемы решения иррациональных , рациональных алгебраических уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств;
• общую структуру решения уравнений и неравенств с параметром; систем уравнений и неравенств с параметром;

уметь:

• решать указанные в программе курса виды уравнений и неравенств, системы уравнений и неравенств;
• строить математическую модель задач с текстовым содержанием;
• решать текстовые задачи различного уровня сложности;
• применять метод интервалов для решения иррациональных неравенств, неравенств содержащих модуль и параметр;
• строить способ решения нестандартных задач с параметрами и модулями,
• решать алгебраические задачи  графическим способом
• использовать свойства функций для сравнения и оценки ее значений в процессе решения алгебраических задач;
• применять производную функции для анализа и решения алгебраических задач.

Одним из основных  результатов освоения содержания элективного курса выпускниками средней школы  является  приобретение опыта исследовательской деятельности математических явлений, определенных в  программе курса.

Перечень учебно-методического обеспечения

1. УМК по предмету.

• А.Н. Земляков.  Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Учебное пособие /А.Н.Земляков - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.
• А.Н. Земляков.  Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Методическое пособие /А.Н.Земляков - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.-319 с.ил.

2. Дидактические и раздаточные материалы по предмету:

• Тематические зачеты по курсу «Рациональные и иррациональные алгебраические задачи» (Приложение 1)
• Тематика учебных проектов (Приложение 2).

3.  ТСО, компьютерные, информационно-коммуникационные средства:

• Интерактивная доска.
• Персональный компьютер.
• Проектор
• Интернет- ресурсы:
• http://matclub.ru – Высшая математика, лекции, примеры решения задач. Математика.  Функции и их графики.
• WWW.allmath –  Вся математика.
• htt://mathsun.ru – История математики. Биографии великих математиков.
• WWW/exponenta.ru – Образовательный математический сайт.
• WWW.math.ru – Образовательный математический сайт.
• http:// gotovkege.ru– ЕГЭ математика.

5. Учебно-практическое оборудование:

• .Комплект инструментов классных -         1 компл.
• Линейка классная  -         2 шт.
• Транспортир классный - 2 шт.
• Угольник классный         -  2 шт.
• Циркуль классный         - 2 шт.
• Демонстрационные таблицы по алгебре и началам анализа  для 10 класса -        1 сер.
• Демонстрационные таблицы по алгебре и началам анализа  для 11 класса -        1 сер.

6. Оборудование (мебель): 13 комплектов ученической мебели, 1 меловая доска, 1 стол для учителя.

Список литературы

Литература для учащихся

1. Н.В.Александрова. Математические термины. — М., Высшая школа, 1978.
2. И.Г.Бородуля. Тригонометрические уравнения и неравенства. – М.: Просвещение, 1989.
3. Математика . 10-11 классы Решение уравнений и неравенств с параметрами: элективный курс/ авт.-сост.Д.Ф.Айвазян.-Волгоград:Учитель , 2009
4. А.Н. Земляков.  Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Учебное пособие /А.Н.Земляков - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.
5. Р.Б.Райхмист. Графики функций. Задачи и упражнения. – М.: Школа – пресс, 1997.
6. С.М.Саакян, А.М. Гольдман, Д.В.Денисов «Задачи по алгебре и началам анализа для 10 – 11 классов» М.: «Просвещение»,1990.
7. П.Ф.Севрюков, А.Н.Смоляков. Уравнения и неравенства с модулями и методика их решения: учебно-методическое пособие.- М.: Народное образование; Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2005.

Литература для учителя

1. А.Н. Земляков.  Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Методическое пособие /А.Н.Земляков - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.-319 с.ил.
2. А.П.Карп, В.Б.Некрасов. Задания по алгебре и началам анализа для организации итогового повторения и проведения аттестации в 11 классе. – М.: Просвещение, 2003.
3. В.Г.Болтянский, Ю.В.Сидоров, М.И.Шабунин. Лекции и задачи по элементарной математике. – М.:Наука, 1974.
4. В.И.Голубев.  Эффективные методы решения задач по теме «Абсолютная величина»- М, Чистые пруды,2006
5. Галицкий, М.Л. и др. Сборник задач по алгебре 8 – 9 кл. –М.: Просвещение, 1995.
6. Говоров, В.М. и др. Сборник конкурсных задач по математике. – М.: Просвещение, 1983.
7. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебно-методические материалы по математике/ Под ред. Л.Я.Фальке. Изд. 3-е.- М.: Народное образование; Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2005
8. Калугина, Е.Е, Уравнения, содержащие знак модуля. -М.: ИЛЕКСА,2012. -64с.
9. М.Л.Галицкий, М.М.Мошкович, С.И. Шварцбурд. Углубленное изучение курса алгебры и матем. анализа (методические рекомендации и дидактические материалы). – М.: Просвещение, 1990.
10. Математика .10-11 классы Решение уравнений и неравенств с параметрами: элективный курс/ авт.-сост.Д.Ф.Айвазян.-Волгоград:Учитель , 2009
11. Мерзляк А.Г. и др. Алгебраический тренажер. – М.: Илекса, 2001.
12. Севрюков, П.Ф. Уравнения и неравенства с модулями и методика их решения: учебно-методическое пособие. -М.: Илекса, Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола,2005. -112с.
13. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике 10 –11 кл. – М.: Просвещение, 1989.

14.Образовательные ресурсы сети Интернет

http://ege.edu.ru

http://eqworld.ipmnet.ru

http://graphfunk.narod.ru

http://www.uztest.ru

http://www.it-n.ru

http://www.ed.vseved.ru

http://mat.1september.ru 

Приложение 1. Тематические зачеты по курсу «Рациональные и иррациональные алгебраические задачи».

Зачет № 1. Тема: «Рациональные алгебраические уравнения и неравенства».

Зачет №2. Тема: «Рациональные алгебраические системы».

Зачет 3. Тема: «Иррациональные алгебраические задачи».

Приложение 2. Тематика учебных проектов.

• «Методы решения кубических уравнений».
• «Использование формулы Кардано для решения кубических уравнений»

• «Методы решения уравнений четвертой степени»
• «Метод замены переменной при решении уравнений»
• «Метод неопределенных коэффициентов в решении уравнений»
• «Использование метода Феррари для решения уравнений»
•  «Решение текстовых задач с помощью дробно-рациональных уравнений»
• «Решение дробно-рационального уравнения методом замены переменной»
•  «Методы решения  дробно-рациональных неравенств»
• «Метод оценки при решении уравнений и неравенств»
• «Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств»
• «Неэквивалентные преобразования при решении иррациональных уравнений»
• «Метод областей при решении систем неравенств»
•  «Методы решения смешанных систем уравнений»
• «Метод оценок при решении систем уравнений»
• «Методы решения систем уравнений с тремя переменными»
• «Методы решения систем Виета»
• «Методы решения симметрических систем уравнений с двумя переменными»
• «Освобождении от кубических радикалов при решении уравнений»
• «Использование монотонности функций  при решении иррациональных уравнений»
•  «Использование однородности при решении иррациональных уравнений»
• «Методы решения иррациональных неравенств»