Материал для элективного курса "Решение иррациональных неравенств методом интервалов"
элективный курс по математике по теме

Решение иррациональных неравенств методом интервалов

На элективных курсах мы с учащимися, которым нравится математика, более глубоко изучаем темы, не вошедшие в обязательную программу, но знания, которых позволяют им успешно справиться с заданиями ЕГЭ и тем самым без проблем поступить в ВУЗы и продолжить образование. Одной из таких тем является «Решение иррациональных неравенств». Если решение иррациональных уравнений в некоторых школьных учебниках рассматривается, то решение иррациональных неравенств нет.

Метод интервалов, возможно, несколько громоздкий, но, освоив его, это гарантия успеха.

Определение. Иррациональными называют неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня.

1). - < 20

Решение.

1. Рассмотрим иррациональную функцию f(х) =  --  – 20, найдем ее область определения.

D(f) =  )

2. Вычислим нули функции

  =   + 20

21х + 16 = х – 4 + 40  + 400

 40  = 20х – 380

2 = х – 19

Х2– 38х + 361 = 4х – 16

Х2 – 42х + 377 = 0

Х1 = 29; Х2 = 13.

Проверка:

При Х = 29 : =  + 20

 = 5 + 20        - верно.

При Х = 13 : =  + 20

 =  3 + 20

                            17 = 23   - неверно

Х2 = 13  - посторонний корень

29 – нуль функции.

3. На координатной прямой отмечаем нуль функции, принадлежащий области определения. Определяем знак функции на каждом промежутке. Выписываем промежуток, на котором f(х) 0.

f(10) =   -   - 20  0

f(40) =   - 6 – 20

Ответ:

2).

Решение.

1. Рассмотрим иррациональную функциюf(х) =.

Найдем ее область определения.

Х3 + х2 – 2х  0

Х(х2 + х – 2)  0

Х1 = 0; Х2 = - 2; Х3 = 1

Х(Х + 2)(Х – 1)

D(f) = U:

2. Вычислим нули функции

Х3 + х2 – 2х = х2 – 2х + 1

Х3 = 1

Х = 1

Проверка:  = 1 – 1          - верно.

1 – нуль функции.

3. На координатной прямой отмечаем нуль функции, принадлежащий области определения. Определяем знак функции на каждом промежутке. Выписываем промежуток, на котором f(х) 0.

f(- 1)

f(10)

Ответ: = U( 1; + )

3) (Х – 1)·

Решение

1. Рассмотрим иррациональную функцию f(х) = (Х – 1)·                                          Найдем область определения

Х2 - х – 2  0

Х2 - х – 2  0

Х1 = 2; х2 = -1

D(f) = (-; -1]U[2; +)

2. Вычислим нули функции:

(Х – 1)·= 0

Х – 1 = 0;= 0

х1 = 1;   х2  - х – 2 = 0

                           Х2 = 2; Х3 = 1

Проверка корней уравнения показывает, что посторонних нет.

-1; 1; 2 – нули функции

3). На координатной прямой отмечаем нули функции, принадлежащие области определения. Х= 1 не принадлежит области определения. Получается два промежутка      (-; -1] и [2; +). Определяем знак функции на каждом промежутке и выписываем промежуток, на котором f(х) 0.

f(- 3)

f(3)

Ответ:  (-; -1] и х = 2

• По приведенному решению этих трех неравенств можно проследить порядок выполнения заданий и сформулировать алгоритм решения иррационального неравенства методом интервалов.
• Алгоритм решения иррациональных неравенств.
• 1. Зададим иррациональную функцию; найдем ее область определения.
• 2. Вычислим нули функции.
• 3. На координатной прямой:
• а) отметим нули функции, принадлежащие области определения;
• б) определим знак функции на каждом промежутке;
• в) с учетом знака неравенства выпишем ответ.