Задача с параметром на ОГЭ (задача 23 ОГЭ-2018)
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс) на тему

Слайд 1

Слайд 2

Выполнение задания 23 (ОГЭ по математике) Задача 23 – это задача с параметром , задача высокого уровня сложности. В последнее время ее называют «задачей на построение графика».

Слайд 3

Чтобы выполнить это задание необходимо уметь: Выполнять преобразования алгебраических выражений (приводить подобные слагаемые, раскладывать выражения на множители, сокращать дроби; находить область допустимых значений переменной) Р ешать уравнения, неравенства и системы (линейные и второй степени) Строить и читать графики функций (линейной, квадратичной, обратно-пропорциональной, модуля, кусочной функции), уметь преобразовывать графики функции в графики и , модуль в кусочную функцию. Строить и исследовать простейшие математические модели (исследовать уравнение на предмет числа корней, исследовать поведение линейной функции в зависимости от значений коэффициентов, выстраивать алгоритм, позволяющий решить задачу с параметром)

Слайд 4

Основным условием получения положительной оценки является верное построение графика . Верное построение графика включает в себя следующее : Правильно подобранный и отображенный на рисунке масштаб Содержательную таблицу значений или объяснение построения графика Выколотую точку (точки), обозначенную в соответствии с ее координатами

Слайд 5

Можно условно разбить все задачи 23 на два типа: Задачи, в которых требуется построить график и затем найти значения параметра Задачи, в которых требуется найти значения параметра и затем построить график.

Слайд 6

Сегодня мы рассмотрим задачи 23, относящиеся к первому типу ( задачи на построение графика). Задачи на построение графика, в свою очередь, также можно разбить на несколько групп: Построение графика дробно-рациональной функции Построение графика кусочно-гладкой функции Построение графика функции, содержащей модуль

Слайд 7

Рассмотрим задачи первой группы . К ней относятся те задачи, в которых нужно сократить дробь и построить график функции, учитывая, что область определения начальной и упрощенной функции, как правило, различаются. Задания этой группы решаются по следующему алгоритму: Разложить на множители числитель и знаменатель дроби, входящей в уравнение функции Выписать область определения функции (ОДЗ) Сократить дробь Построить график получившегося уравнения и учесть ОДЗ (то есть отметить «выколотые» точки) Пользуясь графиком, найти те значения параметра, которые спрашиваются в условии

Слайд 8

Задача № 1

Слайд 9

Решение: Сначала построим график данной функции. Область определения функции множество всех чисел , кроме 0. Чтобы построить график функции , необходимо преобразовать дробь . Разложим числитель на множители. После вынесения за скобки общего множителя , получим : . Сократим дробь на , получим : .

Слайд 10

Графиком функции является парабола :

Слайд 11

График исходной функции получается из параболы удалением точки с абсциссой 0; . Таким образом, графиком функции является та же парабола, но с «выколотой» точкой (0; -1) :

Слайд 12

Прямая параллельна оси абсцисс. Она имеет с графиком или две общие точки ( при ) , или не имеет с графиком точек пересечения ( при ): Ответ: при .

Слайд 13

Задача № 2.

Слайд 14

Решение: Сначала построим график данной функции. Найдём ОДЗ: Область определения функции множество всех чисел , кроме . Чтобы построить график функции , необходимо преобразовать выражение . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. После вынесения за скобки общего множителя в числителе и в знаменателе , получим : . Сократим дробь на , получим : .

Слайд 15

Графиком функции является парабола :

Слайд 16

График исходной функции получается из параболы удалением точек с абсциссой 0 и -3 ; Таким образом, графиком функции является та же парабола, но с «выколотыми» точками (0; 2) и (-3; -7) :

Слайд 17

Прямая параллельна оси абсцисс. Она имеет с графиком одну (при ) , две общие точки (при ) , или не имеет с графиком точек пересечения ( при ): Ответ : при при .

Слайд 18

Задача № 3 Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с этим графиком ровно одну общую точку.

Слайд 19

Решение: Сначала построим график данной функции. Область определения функции множество всех чисел , кроме . Чтобы построить график функции , необходимо преобразовать выражение . Разложим в числителе дроби на множители вторую скобку. Для этого найдём корни квадратного трёхчлена ; Исходная дробь примет вид: Сократим дробь на , получим : . Раскрыв скобки, имеем: .

Слайд 20

Графиком функции является парабола :

Слайд 21

График исходной функции получается из параболы удалением точки с абсциссой -2 ; . Таким образом, графиком функции является та же парабола, но с «выколотой» точкой (-2;-3) :

Слайд 22

Прямая параллельна оси абсцисс. Она имеет с графиком одну (при ) , две общие точки (при ) , или не имеет с графиком точек пересечения ( при ): Ответ : при .

Слайд 23

Задача № 4 Найдите все значения , при каждом из которых прямая имеет с графиком функции ровно одну общую точку . Постройте этот график и все такие прямые.

Слайд 24

Решение: Сначала построим график данной функции. Графиком функции является парабола , которая получена из параболы в результате сдвига вдоль оси OY на 1 единичный отрезок вверх:

Слайд 25

Прямая проходит через начало координат и имеет с графиком функции ровно одну общую точку , если она касается этой параболы. Условие касания реализуется, когда уравнение имеет один корень. Уравнение квадратное, оно имеет один корень, если дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Получаем: . Таким образом, прямая , проходящая через начало координат, имеет с графиком функции ровно одну общую точку при , т.е. таких прямых две: и . Чтобы найти координаты точек касания каждой прямой с параболой, подставим значения параметра в уравнение . Решим два квадратных уравнения : 1 1 (1;2) ( - 1;2)

Слайд 26

Ответ:

Слайд 27

Задача № 5 Постройте график функции и определите, при каких значениях параметра прямая имеет с этим графиком ровно одну общую точку.

Слайд 28

Сначала построим график данной функции. Область определения функции множество всех чисел , кроме . Чтобы построить график функции , необходимо преобразовать выражение . Сократим дробь на , получим : ) Раскрыв скобки, имеем: . Графиком функции является парабола, которая получена из параболы в результате сдвига вдоль оси OY на 6,25 единичных отрезков вниз:

Слайд 30

График исходной функции получается из параболы удалением точки с абсциссой -1 ; . Таким образом, графиком функции является та же парабола, но с «выколотой » точкой (-1;-7,25) . Ветви параболы направлены вниз, вершиной является точка (0; -6,25) :

Слайд 32

Прямая может эту параболу не пересекать

Слайд 33

может касаться её ( одна точка пересечения)

Слайд 34

может иметь две общих точки (две точки пересечения)

Слайд 35

Чтобы прямая имела с этим графиком ровно одну общую точку, нужно чтобы 1) или прямая касалась параболы ( и абсцисса точки касания не равна -1), 2)или прямая пересекает параболу в двух точках так, чтобы у одной из них абсцисса была равна -1. 1) Условие касания реализуется, когда уравнение имеет один корень. Уравнение квадратное, оно имеет один корень, если дискриминант этого квадратного уравнения равен нулю. Получаем: . Таким образом, прямая , проходящая через начало координат, имеет с графиком функции ровно одну общую точку при , т.е. таких прямых две: и . Чтобы найти координаты точек касания каждой прямой с параболой, подставим значения параметра в уравнение . Решим два квадратных уравнения : (-2,5;-12,5) (2,5;-12,5) Для рассмотрения второго случая подставим в уравнение и определим значение параметра : .

Слайд 36

Ответ: