Олимпиадные задачи_2017 - 2018 уч.год
олимпиадные задания по математике

Всероссийская олимпиада школьников – 2017-2018 уч.г. Школьный этап

Гатчинский муниципальный район

Математика – 5 класс

1.  Пятьсот пятьдесят девять пятёрок сложили, а сумму разбили на пятёрки. Сколько получилось пятёрок?

2. Пятеро ребят стоят в ряд и держат воздушные шарики. У ребят, стоящих справа от Бори, 14 шариков, справа от Вовы – 32 шарика, справа от Кати – 20 шариков, а справа от Антона - 8 шариков. Сколько шариков держит Антон?

3. Карлсон открыл школу, и 1 сентября во всех трёх первых классах было по три урока: Курощение, Низведение и Дуракаваляние. Один и тот же предмет в двух классах одновременно идти не может. Курощение в 1Б было первым уроком. Учитель дуракаваляния похвалил учеников 1Б: « У вас получается ещё лучше, чем у 1А». Низведение на втором уроке было не в 1А. В каком классе валяли дурака на последнем уроке?

4. Пять различных точек А, В, С, D и Е расположены на прямой так, что АВ = 6,

АD = 2, АЕ = 2, СЕ = 4. Какие две точки крайние?

5. В классе 30 учеников. Они сели за парты по двое так, что каждый мальчик сидит с девочкой, и ровно половина девочек сидит с мальчиками. Сколько в классе мальчиков?

6. Волшебным считается момент, в который число минут на электронных часах совпадает с числом часов. Чтобы сварить волшебное зелье, его надо и поставить на огонь, и снять с огня в волшебные моменты. А чтобы оно получилось вкусным, его надо варить от полутора до двух часов. Сколько времени варится вкусное волшебное зелье?

Всероссийская олимпиада школьников – 2017-2018 уч.г. Школьный этап

Гатчинский муниципальный район

Математика – 6 класс

         1. На конкурсе в летнем математическом лагере участникам предлагалось 10 задач. За каждый верный ответ засчитывалось 5 очков, а за каждый неверный – снималось 3 очка. Ваня получил 34 очка. Сколько из его десяти решений оказались ошибочными?

         2. В первой строке таблицы записаны подряд все числа от 1 до 9. Можно ли заполнить вторую строку этой таблицы теми же числами от 1 до 9 в

каком - нибудь  порядке так, чтобы сумма двух чисел в каждом столбце оказалась точным квадратом?

       3. Сколько треугольников на этом рисунке имеют такую же площадь, как и целая клетка?

      4. В мешке лежат 27 синих и красных шаров. Среди любых 15 шаров  есть хотя бы один синий, а среди любых 14 шаров есть хотя бы один красный. Сколько красных шаров в мешке?

     5. Ужасный вирус пожирает память компьютера. За первую секунду он управился с половиной памяти, за вторую секунду – с одной третью оставшейся части, за третью секунду – с четвертью того, что сохранилось, за четвёртую – с одной пятой остатка. И тут его настиг могучий Антивирус. Какая часть памяти уцелела?

     6.  Получив очередную пятёрку по математике, Серёжа обнаружил, что в дневнике у него стало на 100% больше пятёрок, чем двоек. На сколько процентов количество двоек теперь меньше, чем количество пятёрок?

Всероссийская олимпиада школьников – 2017-2018 уч.г. Школьный этап

Гатчинский муниципальный район

Математика – 7 класс

1. Том Сойер красит расположенный вдоль дороги забор, состоящий из 68 досок. Каждую доску он красит либо в красный, либо в зелёный цвет. При этом Том хочет, чтобы рядом с каждой красной доской была зелёная. Какое наибольшее количество досок Том может покрасить в красный цвет?

2. На координатной плоскости четыре из пяти точек А(1;2), В(2;3), С(2;1), D(3;2), Е(2;2)  являются вершинами квадрата. Какая точка лишняя?

3.  Шесть точек А, В, С, D, Е и F расположены на прямой в некотором порядке так, что АВ =1, ВС = 3, СD = 4, DЕ = 5, ЕF = 10, FА = 11. Какие две точки крайние?

4. В классе 20 учеников. Они сели за парты по двое так, что равно треть мальчиков сидят с девочками, и ровно половина девочек сидят с мальчиками. Сколько мальчиков в классе?

5. На доске написано число 543254325432. Некоторые цифры стёрли так, чтобы получилось наибольшее возможное число, делящееся на 9. Чему равно это наибольшее число?

6. Винни-Пух, Пятачок, Кролик и ослик Иа-Иа опустошили бочонок мёда. При этом Пятачок съел половину того, что съел Винни-Пух, Кролик-половину того, что не съел Винни-Пух, а ослику Иа-Иа досталась лишь десятая часть бочонка. Какая часть бочонка досталась Кролику?

Всероссийская олимпиада школьников – 2017-2018 уч.г. Школьный этап

Гатчинский муниципальный район

Математика – 8 класс

     1. В классе никакие два мальчика не родились в один день недели, а никакие две  девочки не родились в одном месяце. Если в класс придёт новый ученик, то одно из этих условий обязательно нарушится. Сколько учеников в классе?

2.  Учитель спросил у четверых учеников, сколько из них вчера решали задачи. Аня ответила, что никто, Боря – что один человек, Вася – что два, а Галя – что три. Известно, что правду сказали только те, кто решал вчера задачи. Сколько учеников решали вчера задачи?

3. Буратино собирается купить три книги: первая стоит треть всех его денег и ещё три золотых, вторая – четверть его денег и ещё 4 золотых, а третья – пятую часть его денег и ещё 5 золотых. После покупки у него останется один золотой. Сколько золотых стоит первая книга?

4. На рисунке АВ = АС, АХ = ВХ =ВY и угол  ХВY равен 12º. Чему равен угол СВY?

5. Четыре друга участвовали в олимпиаде. Витя решил больше всех задач - 8, а Петя меньше всех  - 5 задач. Каждая задача олимпиады была решена ровно тремя из друзей. Сколько задач было на олимпиаде?

6.  Придя в магазин, Винни-Пух обнаружил, что горшочек для мёда подорожал на 50%, а мёд подешевел на 50%, и теперь горшочек и мёд в нём стоят поровну. Как изменилась цена горшочка с мёдом?

1. Петя считает пальцы на левой руке от большого пальца до мизинца и обратно от мизинца до большого. Каждый следующий счёт приходится на другой палец. На какой палец придётся число 2015? (Счёт: 1 – большой, 2 – указательный, 3 – средний, 4 – безымянный, 5 –мизинец, 6 –безымянный, 7 – средний и т.д.)
2. Докажите, что если а + 2b = 3c и  b + 2c = 3a, то  c + 2a = 3b.  
3.  Каждый год 1 сентября Вася несётся в школу из дома бегом. В этом году ему понадобилось на дорогу на 20% меньше времени, чем в прошлом. На сколько процентов возросла его скорость?
4. Вдоль забора растут 8 кустов малины. Число ягод на соседних  кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах быть 225 ягод?
5.  В четырёхугольнике ABCD  известны углы В и D (см. рисунок). Кроме того, известно, что АВ = АС и ВАD = 80°. Чему равен ВDС?

      6.  

            Решите  уравнение     ||| х - 100| - 99| - 98| = 0.

Всероссийская олимпиада школьников – 2017-2018 уч.г. Школьный этап

Гатчинский муниципальный район

Математика – 9 класс

1. Петя написал на доске 5 различных цифр, среди которых нет нуля. Он заметил, что никакие две из них не дают в сумме 10. Какая цифра наверняка написана на доске?

2. Города  А, В и С вместе с соединяющими их прямыми дорогами образуют треугольник. Известно, что прямой путь из А в В на 200 км короче объезда через С, а прямой путь из А в С на 300 км короче объезда через В. Найдите расстояние между городами В и С.

3. Малыш и Карлсон съели бочку варенья и корзину печенья, начав и закончив одновременно. Сначала Малыш ел печенье, а Карлсон – варенье, потом (в какой-то момент) они поменялись. Карлсон и варенье, и печенье ел в 3 раза быстрее Малыша. Какую часть варенья съел Карлсон, если печенья они съели поровну?

4. В треугольнике АВС угол С - прямой, АС = 4. Чему равно расстояние от вершины  В до биссектрисы угла А, если расстояние от вершины С до этой биссектрисы равно 2?

5. На сколько областей делят координатную плоскость три линии: ось Ох и две параболы у = 2 - х², у = х² - 1?

6.  Однажды утром в 9-00 из деревни Федино в деревню Екатериновка вышел пешеход Федя. Одновременно навстречу ему из Екатериновки выехала велосипедистка Катя. Известно, что до момента встречи Федя успел пройти треть пути между деревнями, однако, если бы Федя вышел на час раньше, то успел бы пройти до встречи половину пути. В какое время Федя и Катя встретились?

Всероссийская олимпиада школьников – 2017-2018 уч.г. Школьный этап

Гатчинский муниципальный район

Математика – 10 класс

1. Трёхзначное число Х записано цифрами 1, 2, 3 в некотором порядке, а трёхзначное число У – цифрами 4, 5, 6 в некотором порядке. Известно, что последняя цифра суммы Х + У чётна, и что вторая цифра числа Х равна 2. Какова последняя цифра  произведения ХУ?

2. В нашей компании 5 человек. У нас есть некоторое количество денег, в среднем по 800 рублей на человека. У меня 1000 рублей. Сколько в среднем денег у остальных четырёх членов компании?

3. В прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 5 провели медиану и высоту из вершины прямого угла. Чему равно произведение их длин?

4. На каждой из ветвей гиперболы у =  отметили по точке. Произведение ординат этих точек равно удвоенному произведению их абсцисс. Чему равно произведение абсцисс?

5. Уравнение  х² - 2х + а  = 0 имеет корни   и  . Найдите  -  + 4.

6. Найдите угол α (см. рис.)

Всероссийская олимпиада школьников – 2017-2018 уч.г. Школьный этап

Гатчинский муниципальный район

Математика – 11 класс

    1. Папа, Маша и Яша идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они  сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа?

   2.  Мама купила коробку кускового сахара. Дети съели верхний слой, состоящий из 77 кусочков. Затем они съели боковой слой, состоящий из 55 кусочков. Наконец, они съели передний слой. Сколько кусочков осталось в коробке?

  3. Пусть p –  наименьшее простое число, которое равно сумме трёх различных простых чисел:   p =     . Чему равно произведение    ?

   4. Трапеция делится диагоналями на 4 треугольника с площадями А, В, С, D. Если В = 3А, то чему равно D?  

5. Пусть f(x) – это меньшее из чисел 2х и 6-х. Какое самое большое значение принимает величина f(x)?

6. Какое наибольшее число рёбер шестиугольной призмы может пересечь плоскость, не проходящая через вершины призмы?

Ответы и решения

5 класс

1. 999

2. 6 шариков

3. 1Б

4. В и С

5. 10

6. 1 час 38 мин

6 класс

1. 2

2.

3. 7

4. 14

5.

6. на 50%. Решение: Слова «пятёрок на 100% больше, чем двоек», означают, что пятёрок в два раза больше, чем двоек. Тогда число двоек составляет половину от числа пятёрок, то есть 50%.

7 класс

1. 45

2. точка А

3. точки В и F

4. 12 мальчиков. Решение: Пусть с девочками сидят х мальчиков. Тогда всего мальчиков 3х, так как с девочками сидит треть мальчиков. С другой стороны, х девочек сидит с мальчиками ( так как мальчиков, сидящих с девочками, и девочек, сидящих с мальчиками, поровну). Значит, девочек в классе 2х, а всего учеников 5х=20, следовательно, х = 4, а число мальчиков в классе равно 12.

5. 5435432532

6.

8 класс

1. 19

2. Ответ: 1.  Решение: Все ребята дали разные ответы на вопрос учителя. Это значит, что правду мог сказать либо один из них, либо ни одного. Но если никто не сказал правду, то никто не решал вчера задачи, а тогда получается, что Аня сказала правду. Значит, правду сказал ровно один человек, а тогда это Боря, и задачи вчера решал тоже только он один.

3. 23. Решение: Пусть у Буратино было N золотых. Тогда условие задачи может быть записано в виде уравнения   N+3 +  N + 4 + N +5 + 1 = N, из которого 13 N = 780, N = 60, сл- но, первая книга стоит 60:3+3 = 23 золотых.

4. 15º.

5. 9 задач

6. Уменьшилась на 25%. Решение: Пусть мёд в горшочке и горшочек стали стоить А. Горшочек подорожал на 50%, значит, А – это 150% исходной цены горшочка. То есть изначально горшочек стоил  А.  Мёд подешевел на 50%, то есть А – это 50% от исходной цены мёда, значит, мёд стоил 2А. То есть раньше горшочек и мёд стоили 2А + А = 2А, а теперь стоят А + А = 2А. Так как

 2А : 2А·100% = ·100%, то горшочек с мёдом подешевел на 25%.

  9 класс

1. 5.

2. 250 км

3. 0,9

4. 4

5. 10 (см. рис)

6. 10 час 20 мин

10 класс

1. 5

2. 750 руб.

3. 10

4. -

5. 4.

6. 42º.

11 класс

1.  90

2. 300

3.   165

4. 9А

5. 4

6. 8