Министерство образования и науки Российской Федерации

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение "Лицей №14 имени Заслуженного учителя Российской Федерации А.М. Кузьмина"

Исследовательская работа

Тема: «Симметрические уравнения, системы. Их методы решения.»

Неверовская Светлана Владимировна

Должность: учитель математики

Тамбов, 2016

Оглавление

Введение        3

Симметрические многочлены от двух переменных        5

1.        Примеры симметрических многочленов        5

2.        Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных        6

3.        Выражение степенных сумм через  и         7

4.        Доказательство основной теоремы        7

Примеры решений простейших уравнений и их систем        9

Примеры решений задач повышенной сложности        13

Неравенства        18

Симметрические многочлены от трех переменных        19

Примеры решений уравнений и их систем        20

Разные задачи        22

Циклические системы        23

Выводы        26

Список использованный литературы        27

Приложения        28

Введение

        Одним из самых сложных для школьников разделов математики является решение систем уравнений высших степеней. Если решение квадратного и кубического уравнения с одним неизвестным всегда не очень сложное, то вот уже решение уравнений степеней выше четвертых требует знаний, как правило, дающихся в обычной школе посредственно, или совсем не проходится данная тема. Для решения неравенств также используют стандартные методы решения: исключение неизвестных, уравнивание коэффициентов и т.д. Однако с решением систем уравнений высших степеней дело обстоит сложнее.

Метод исключения является общеизвестным. Теоретически из любой системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными можно, к примеру, выразить одну через другую из первого уравнения, подставить в  другое уравнение (тем самым оставив только одну неизвестную во втором уравнении). Однако не всегда процесс исключения является столь простым, особенно с уравнениями высших степеней. Наибольшим неудобством метода исключения является то, что он приводит к уравнению высокой степени. Именно поэтому при решении систем уравнений высших степеней метод исключения неприменим. Тогда вопрос об их решении остается еще открытым. Как правило, большинство обычных систем (степени не больше второй) решаются по общему методу, как было сказано выше; но общих правил при решении системы высших степеней практически нет. Но «практически» не означает полное отсутствие.

Именно поэтому я познакомлю вас с одним довольно общим методом решения систем уравнений высших степеней. Он применим к большинству сложных систем, с которыми может столкнуться школьник. Основное отличие данного приема от метода исключение в том, что он приводит к понижению степени, а не к ее повышению! Это метод основан на использовании так называемых симметрических многочленов.

Симметрические многочлены от двух переменных

1. Примеры симметрических многочленов

Наверняка многие из вас не удивятся, увидев следующие системы:

1)                  2)

3)                           4)

        Эти являются простыми примерами систем уравнений высших степеней. Важной особенностью всех этих систем является то, что те части уравнения, где стоят  и y, являются многочленами, и x, и y входят в них одинаковым образом! Именно для таких систем будет применим нижеизложенный метод.

Прежде всего, дадим понятие симметрического многочлена:

О1. Многочлен от двух переменных (x и y) называется симметрическим, если он не изменит своего вида при замене одной переменной другой (x на y,а y на x).

Простые примеры: многочлен  – симметрический (согласно определению). Но  не является симметрическим. Докажем это: при замене x на y,а y на x он превратится в многочлен , который не совпадает с первоначальным.

Приведем примеры очевидных симметрических многочленов:

1) Для любых x  и y многочлен  будет симметрическим

2) Для любых x и y многочлен  будет симметрическим

Эти многочлены являются самыми простыми. Это часто называют  элементарными симметрическими многочленами. Для них вводят специальные обозначения:

,      .

(Для более простой записи также используют обозначения ,      ). Очевидно, что с этими многочленами можно выполнять любые действия. Поэтому кроме и  , нам часто будут встречаться степенные суммы: имеющие вид в общей формуле . Степенные суммы выражаются через элементарные симметрические многочлены.

2. Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных

Возьмем любой многочлен от  и  и подставим в него вместо  и  их выражения через x и y. Но ни  , ни  ведь не меняются при перестановке местами x и y, а поэтому не меняется и весь многочлен, выражавшийся через  и . К примеру, возьмем произвольный многочлен от  и :   , и докажем, что он является симметрическим:

                (1)

Итак, мы предполагаем, что если взять любой многочлен от  и  и подставить вместо  и  их выражения  соответственно, то получится симметрический многочлен от x и y. Но можно ли с помощью данного приема получить любой симметрический многочлен? (т.е. любой ли симметрический многочлен представим в виде многочлена от  и ). Возьмем, например, симметрический многочлен  и докажем для него справедливость нашего предположения:  Рассмотрение множества примеров делает это предположение вероятным. Таким образом, какой бы симметрический многочлен мы не взяли, его удастся выразить через элементарные симметрические многочлены. Данные рассуждения наталкивают нас о справедливости следующей теоремы:

Теорема 1. Любой симметрический многочлен от x и y можно представить в виде многочлена от  и

Но одних примеров для доказательства, конечно же, недостаточно. Далее изложим доказательство данной теоремы. Проведем его в два этапа.

3. Выражение степенных сумм через  и  

То есть докажем данную теорему для частного случая: степенных сумм.

Лемма. Каждую степенную сумму можно представить в виде многочлена от  и .

Доказательство. Рассмотрим сначала некоторые из сумм (стр.27, таблица 1):

и т.д.

Теперь стоит доказать для общей формулы . Возьмем степенную сумму  и умножим обе части на . Получаем:

 (2)

А поскольку мы знаем справедливость теоремы для ,, , то из формулы (2) вытекает справедливость нашего утверждения

!Замечание: c помощью данной формулы мы можем последовательно находить выражения степенных сумм через  и : зная  и , можем найти  и т.д. Иными словами, мы получили рекуррентную форму записи .

Лемма доказана.

4. Доказательство основной теоремы

Докажем основную часть теоремы. Очевидно, что любой симметрический многочлен содержит в себе слагаемые двух типов.

Во-первых, это одночлены вида , то есть в которые x и y входят одинаковым образом. Очевидно, что .

Во-вторых, это одночлены вида . Но так как многочлен является симметрическим, то он содержит и одночлен . То есть в многочлен входит двучлен типа . Возьмем для определенности, что ; тогда представим этот двучлен следующим образом:

Но по лемме (пункт 3), степенная сумма  представляется в виде многочлена от  и , поэтому и рассматриваемый двучлен выражается через  и .

Таким образом, теорема полностью доказана.

Пример. Пусть дан симметрический многочлен

Докажем справедливость теоремы.

Приведем подобные:

Примеры решений простейших уравнений и их систем

Пример 1. Решить систему уравнений:  

Приступим к решению. Во-первых, нетрудно заметить, что все многочлены, входящие в систему, симметричные. Тогда введем обозначения: , . После чего исходная система принимает вид:  . Данная система легко решается подстановкой переменной во второе уравнение из первого:  В итоге из первоначальной системы получили еще одну систему:               .

Здесь будет вполне достаточно одного примера для пояснения подхода при решении задач.

Пример 2. Решить систему уравнений:    (1)

Нетрудно заметить, что все многочлены системы не симметрические. Как же оно «затисалось» в нашу тему?

Раз тема называется «симметрические многочлены» то очевидно, что мы каким-то образом должны получить из несимметрического многочлена – симметрический. В исходной системе (1) введем новую переменную . Тогда, заменяя таким образом , придем к следующей системе: . Решение подобной системы рассматривалось в примере 1.

Пример 3. Решить иррациональное уравнение

Данное уравнение также будем решать с помощью замены. Пусть , тогда . Но одновременно с этим условием еще имеем: . Таким образом, мы получили систему из двух уравнений, решение которой было показано выше: .

Ответ:

Пример 4. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются кубы корней квадратного уравнения  .

Такого рода задачи носят название «задачи о квадратных уравнениях». Пусть  – корни данного уравнения. Тогда по теореме Виета имеем: . Пусть  – корни искомого уравнения. Из условия вытекает равенство: . Очевидно, что и для необходимого квадратного уравнения будет выполняться теорема Виета (уравнение вида ): . Обозначим: . Искомое уравнение

Ответ:

Пример 5. Решить уравнение .

Рассматриваемое уравнение носит специальное название, возвратное. Возвратным уравнение  будем называть такое уравнение, в котором равноудаленные от концов коэффициенты совпадают (пример: .

Перейдем непосредственно к решению конкретного уравнения. Легко заметить, что  не является корнем. Тогда разделив обе части исходного уравнения на , получим: . Если рассуждать обще, то мы имеем симметрический многочлен от двух переменных , хотя переменная в уравнении лишь одна. Пусть , тогда имеем: . В итоге, мы приходим к совокупности двух уравнений: .

Ответ:

Пример 6. Разложить на множители многочлен

Выразим исходный многочлен через элементарные симметрические многочлены: . Рассмотрим полученный многочлен как квадратное уравнение относительно . Тогда имеем корни: . Вспомним, что любое квадратное уравнение, имеющее корни , вида  , раскладывается на множители следующим образом: . В соответствии с данным утверждением, в нашем случае имеем: .

Теперь, вернувшись к первоначальным переменным, будем иметь: . Первое уравнение имеет решение только в области комплексных чисел (то есть его разложение на множители мы рассматривать не будем). Второе же уравнение раскладывается следующим образом: . После этого получаем ответ.

Ответ:

Примеры решений задач повышенной сложности

Пример 7. Решить систему уравнений .

Сделаем замену . Тогда исходная система запишется в виде: . Запишем отдельно первое уравнение системы и найдем все возможные его корни: . Теперь найдем соответствующие значения : .

Решим первую систему уравнений:

Найдем решения второй системы уравнения: .

Ответ:

Пример 8. Решить систему уравнений .

Сделаем замену . Тогда первое уравнение системы запишется в виде . Аналогичную операцию проведем со вторым уравнением: . В соответствии с преобразованиями первоначальная система примет вид: . Решение подобного вида системы было рассмотрено в пример 4.

Ответ:

Пример 9. Решить систему уравнений .

Легко заметить, что решение  нам не подходит (т.е. . Тогда, если мы разделим первое уравнение системы на второе, мы не «потеряем» корни. Сперва преобразуем исходную систему к виду . Разделив первое уравнение на второе, получим равносильную систему уравнений: . Раскроем скобки в первом уравнении системы: . Сделав замену , получим систему:  . В итоге после обратной замены получаем две системы: 1) , 2). Так как и сумма двух чисел, и произведение неотрицательные, значит оба числа не меньше нуля, следовательно, по неравенству Коши должно выполняться . Тогда система 1) не имеет решений. Система 2) имеет два решения.

Ответ:

Пример 10. Составить квадратное уравнение , корнями которого являются числа , где  -  корни уравнения .

Для уравнения  по теореме Виета имеем: . Обозначим . Аналогично для искомого уравнения: . Приведем подобные в первом и втором уравнениях системы: 1); 2). В итоге получили систему: . Искомое квадратное уравнение имеет вид .

Ответ:

Пример 11. Решить уравнение

Это уравнение также является возвратным. Единственное отличие – это нечетная степень 11. Разделим данное уравнение на . Тогда имеем: . Таким образом, мы пришли к возвратному уравнению четной степени. Именно деление на  позволило нам оставить четную степень. Решение возвратного уравнения четной степени было показано в пример 4.

Ответ:

Пример 12. Метод неопределенных коэффициентов. Разложить на множители многочлен

Выражая данный симметрический многочлен через элементарные симметрические многочлены, имеем: . Если рассматривать этот многочлен как квадратное уравнение относительно , заметим, что оно не имеет решения в области действительных чисел.

В данном случае применим следующий прием: рассматриваемый симметрический многочлен представляется в виде произведения двух несимметрических множителей, каждый из которых представляет собой «отражение» другого множителя. Иными словами, симметрический многочлен представим в виде , где  – неопределенные коэффициенты (пока не известные нам).

Вернемся к исходному многочлену. Попытаемся представить исходный многочлен в виде . Очевидно, что данное равенство должно выполняться при всех допустимых значениях , но это значит, что верно и при любых конкретных значениях . Положив , имеем:  (*). Заметим, что если в равенстве (*) у всех трех коэффициентов заменить знаки на противоположные, то равенство останется справедливым, поэтому мы можем считать, что . Теперь, полагая, что , получаем . Наконец, подставив , получаем, что .

Таким образом, имея три неизвестных, мы получили три уравнения, которые запишем в системе следующим образом: .

Если в правой части второго уравнения взять знак «+», данная система легко решается: . Таким образом, исходный многочлен раскладывается следующим образом: .

В случае, если мы взяли «-», то получили бы систему, имеющую только комплексные корни. Другими словами, первоначальный многочлен имеет не единственное разложение, но единственное с действительными коэффициентами.

Ответ: .

Неравенства

С помощью элементарных симметрических многочленов можно доказывать и некоторые неравенства.

Теорема. Пусть  – действительные числа. Тогда для того, чтобы числа , определенные в системе уравнений , были действительными, необходимым и одновременно достаточным условием является удовлетворение следующего неравенства: .

Без доказательства.

Применение к решению. Пусть необходимо доказать, что при каких-то действительных значениях  симметрический многочлен . Сперва выражаем исходный многочлен через элементарные симметрические многочлены . Затем в полученном многочлене заменяем , где изначально . Величина  неотрицательна.

Рассмотрим на конкретных примерах.

Пример 13. Доказать, что если  – действительные числа, удовлетворяющие неравенству , то справедливы неравенства: 1) , 2)

Сделаем замену . Докажем справедливость неравенства 1). Мы имеем: . Теперь заменяем  и получаем: . Величина  неотрицательна и по условию задачи . Тогда , ч.т.д.

Неравенство 2) доказывается аналогичным образом.

Замечание: данные случаи можно обобщить и вывести общую теорему. Если для всех действительных , и n – натуральное число, то

Симметрические многочлены от трех переменных

В первой части мы рассмотрели симметрические многочлены от двух переменных: они, при перестановке местами  не меняли своего вида. Очевидно, что в симметрическом многочлене от трех переменных можно сделать три таки замены: . Назовем многочлен  симметрическим, если при любой из трех постановок он остается неизменным. Тогда условие симметричности запишется в виде:

Аналогично у данных многочленов существуют и элементарные симметрические многочлены: .

Теорема. Любой симметрический многочлен от x,y,z можно представить в виде многочлена, состоящего из элементарным симметрических многочленов от трех переменных.

Доказательство аналогично «симметрические многочлены от двух переменных»

Соответственно у таких многочленов существуют и степенные суммы.

Примеры решений уравнений и их систем

Перед тем как начать разбирать какой-либо пример, стоит напомнить теорему Виета для кубического уравнения: пусть  – корни кубического уравнения , то имеют место соотношения: .

Пример 14. Решить систему уравнений

Сделаем замену: .Таким образом, подставляя данные значения в исходную систему, система примет следующий вид: . Согласно теореме Виета, мы можем составить кубическое уравнение . Преобразуем левую часть уравнения: . Тогда корнями этого уравнения являются числа . Таким образом, мы получили шесть решений, получаемых постановками из решений:

Пример 15. Решить систему уравнений

Сделаем замену . С первыми двумя уравнениями все просто: . Труднее дело обстоит с третьим уравнением. Оно не является симметрическим. Возведем обе части уравнения в квадрат. Тогда имеем: . Теперь левая часть уравнения представляет собой симметрический многочлен. Путем преобразований получаем, что .  Теперь, подставив найденные значения  , останется квадратное уравнение относительно : . Итак, мы имеем: . По теореме Виета составим кубическое уравнение . Решая его, находим корни: . НО! Мы не учли, что при возведении третьего уравнения в квадрат могли появиться посторонние корни. Методом проверки приходим к верному ответу.

Ответ:

Пример 16. Докажите, что если , то .

Условие задачи можно записать в виде системы, до этого сделав замену на элементарные симметрические многочлены от трех переменных: . Из этой системы равенств находим, что . Но , соответственно отсюда и следует необходимое равенство.

Данные примеры иллюстрируют основные подходы к решению систем уравнений с симметрическими многочленами от трех переменных. Больше мы к ним не вернемся.

Разные задачи

Пример 17. Определить, при каких  система  имеет а точности два решения.

Сделаем замену: . Тогда имеем: . Тогда, сделав обратную замену, будем иметь две системы уравнений: 1) ,  2) . Применим обратную теорему Виету для квадратного уравнения: . Очевидно, что для того, чтобы решений было ровно два, необходимо, чтобы .

Ответ: .

Пример 18. При каких значениях параметра  система неравенств  имеет единственное решение.

Заметим, что данная система является симметрической. Поэтому единственное ее решение надо искать в виде .

Подставив  в любое из неравенств, получаем квадратичную функцию . График данной функции является парабола с ветками, направленными вверх. Тогда для того, чтобы данное неравенство имело единственное решение, необходимо его дискриминант приравнять к нулю:

Ответ:

Циклические системы

Рассмотрим систему уравнений . Здесь выражение  зависит от  переменных. Заметим, что при циклической замене  получается та же самая система уравнений, отличающаяся только порядком уравнений. Такого вида системы называют циклическими.

Цикличность системы позволяет относительно просто найти те решения, все компоненты которых одинаковы, то есть . Для этого достаточно решить уравнение . Данное уравнение называется вырожденное.

Если же все компоненты решений разные, то совершая замену, можно прийти к правильному ответу.

Рассмотрим примеры.

Пример 19. Решите систему уравнений

Пусть  – есть решение системы. Подставим  и получим вырожденное уравнение . Его решениями будут все числа вида .

Теперь будем полагать, что система имеет еще какие-то решения. Для конкретики допустим, что . Подставим в систему и получим: . Вычтем из первого уравнения второе: . Но мы знаем, что . Следовательно, из последнего равенства вытекает неравенство: , что, очевидно, не верно. Значит других решений система не имеет.

Ответ:

Пример 20. Решите систему уравнений

Решим вырожденное уравнение. . Заметим, что в левой части стоит монотонно убывающая функция, а в правой части – возрастающая. Тогда можем сделать вывод о том, что уравнение имеет не более одного решения. Его легко заметить: .

Положим, что есть посторонние корни . Вычтем из третьего уравнения второе и получим: . Но при сделанное предположении, данное равенство не может выполняться, так как правая часть всегда отрицательна, а левая – положительна.

Ответ:

Пример 21. Решите систему уравнений .

Введем обозначения: . Тогда имеем систему:  (*). Первые два решения ее очевидны: . Пусть система имеет и другие решения. Положим, что . В первом случае, если , то с помощью неравенства Коши несложно получить, что . Аналогично и для . Если сложить все уравнения системы (*), получим равенство , которое, в свою очередь, не может выполняться, так как , а . Для случая, когда  доказательство аналогично.

Заметим, что все корни системы всегда имеют одинаковый знак (это следует из системы (*)). Тогда случай с  имеет аналогичное доказательство.

Ответ:

Выводы

Таким образом, мы провели большую работу по изучению симметрических систем и уравнений не только от двух, но и от трех переменных. Немаловажным является рассмотрение примеров неравенств и олимпиадной темы – циклических систем.

Изучив подробно материал на данную тему, я смог шире применять методы для решения некоторых систем и уравнений.

С уверенностью могу сказать, что я выполнил все поставленные перед собой задачи. Результатом моей работы является методическое пособие на тему исследования.

Список использованный литературы

1. Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я. «Симметрия в алгебре» - 2-е изд. – М.:МЦНМО, 2002. – 240с.
2. Научно-теоретический журнал и методический журнал «Математика в школе», ISSN 0130-3358
3.  Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. - М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1999.
4.  Колесникова С.И. Математика. Решение сложных задач Единого государственного экзамена. - М.: Айрис-пресс, 2005.
5. Натяганов В.Л., Лужина Л.М. Методы решения задач с параметрами: Учеб. пособие. - М.: Изд-во МГУ, 2003.
6.  Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1991.
7. Кравцев С.В.,Макаров Ю.Н., Максимов В.Ф.,Нараленков М.И.,Чирский В.Г. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных  -М.: Издательство «Экзамен», 2005г. – 544с.

Приложения

Таблица 1

Выражения степенных сумм через