Нестандартные приемы и методы решения задач, уравнений, неравенств и систем
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

«Нестандартные приемы и методы решения задач, уравнений, неравенств и систем»

Кириллова Марина Николаевна,

учитель математики и информатики

ОШ І-ІІІ ступеней №23

Симферопольского городского совета.

Научить детей видеть красоту математики, развивать и формировать интерес к ней — одна из важнейших задач математики. Именно стойкий и познавательный интерес является одним из инструментов, который стимулирует учащихся к более глубокому усвоению предмета, развивает их способности. В ходе решения математических задач, в особенности нестандартных, можно сформировать у учащихся элементы творческого мышления.

Применение нестандартных методов требует от учащихся глубокого знания теоретического материала школьного курса математики с тем, чтобы они могли определить, как легче и быстрее ответить на поставленный вопрос.

Метод неопределенных коэффициентов, функциональный метод, основанный на использовании свойств функций (четность, нечетность, периодичность, ограниченность), метод координат, умение свести задачу к конкретной геометрической модели помогут учащимся успешнее справляться с поставленными задачами.

Встречаются задачи, которые с помощью традиционных алгоритмов решить затруднительно, и тогда на помощь приходят те самые нестандартные приемы и методы. Рассмотрим несколько примеров.

1. Использование свойств модуля.

Решить уравнение: .

Решение. 

, откуда .

Ответ. 

2. Использование оценки значений выражений.

а) Решить неравенство:

Решение. ;    ;   ;

                .

                Тогда .

Значит, получаем уравнение , что возможно, если         

Ответ. .

б) При каких значениях параметра а, корень уравнения   принадлежит промежутку (1,5; 2) ?

Решение. . Т. к. , то . . Откуда получаем      .    Т.к.  1,5, то  . Откуда  n=4   и , т.е. , .

Ответ. .

3.  Использование производной функции, определения касательной к графику функции.

При каком наибольшем отрицательном значении параметра а уравнение  имеет единственный корень?

Решение. .

   и .

Параллели 1, 2, 3, 4 – прямые вида  .

Условию задачи соответствует прямая 3, которая является касательной к графику функции  в точке .

Найдем уравнение этой касательной  .

.    ,  ;  ;    ,   ;  значит, , ,  т.е.

Ответ. -1,625.

4. Использование геометрической модели при решении алгебраических задач.

а) Найти наименьшее значение выражения: .

Решение. .

Рассмотрим точки А(1;0),  В(0;1),  М(х;у) .

Тогда .

АМ+ВМ будет принимать минимальное значение, если М принадлежит отрезку АВ. Т.е. АВ и будет наименьшим значением  .

Ответ. .

б)  Решить уравнение: .

Решение. Легко убедится, что . Тогда рассмотрим такую модель:

Если D принадлежит АВ , то  принимает минимальное значение равное АВ. .

,

,

.

Получаем уравнение . Откуда .

Ответ. .

5. Применение теоремы Виета к уравнениям высших степеней.

При каких значениях параметра а равнение имеет три корня, образующих геометрическую прогрессию?

Решение. Пусть  - корни данного уравнения, образующие геометрическую прогрессию. Тогда по теореме Виета     Из первых двух уравнений , а из третьего уравнения .

Откуда

Ответ. 14.

6. Применение понятия монотонности функции и теорем о корне.

а)  Решить уравнение: .

Решение. Рассмотрим функцию

                                            .

 при любых значениях х. Значит, функция  возрастает на множестве R.

- корень уравнения.

На основании теоремы о корне, других корней нет.

Ответ. .

б)  Решить систему уравнений 

Решение. Перепишем первое уравнение системы в виде

Рассмотрим функцию   Тогда уравнение можно записать в виде . Т. к. функция  возрастающая, то х=у. Получаем  систему  

(2; 2) – решение системы.

Ответ. (2; 2).

Уже на этих примерах можно убедиться, что знания нестандартных приемов и методов помогают намного быстрее дать ответ на поставленный вопрос задачи. А значит, и помогут в сдаче ЕГЭ по математике.