Урок- семинар. «Решение иррациональных уравнений и систем» (традиционные, нетрадиционные и оригинальные способы их решения)
план-конспект урока по алгебре (10 класс)

 Тема занятия: «Решение иррациональных уравнений и систем» (традиционные, нетрадиционные и оригинальные способы их решения)

 (может быть как уроком при подготовке к экзаменам, так и занятием элективного курса)

Содержание знаний и способов действий:

Основные методы решения уравнений и систем, содержащих радикалы: возведение в степень; метод подстановки; применение свойств функций к решению уравнений и использование монотонности функции при решении уравнений; исследование функций с помощью производной; использование формул геометрической площади прямоугольного треугольника; зависимость радиуса вписанной окружности от сторон треугольника; теоремы Пифагора; формулы расстояния между точками.

Структура занятия.

                        IV1 – V1

        II1                IV2 – V2

I                        II2        III        IV3 – V3        VI - VII

        II3                IV4 – V4

                        IV5 – V5

Уровни и показатели степени обученности:

1. различение;
2. понимание;
3. запоминание;
4. элементарные умения и навыки;
5. перенос (высшие умения и навыки).

Ход урока.

1. Организация начала занятий.

Психологический настрой (рассуждалки «Устами младенца»):

Вопрос: О чем идет речь?

 (Включается запись на магнитофоне).

• Это такая штука, в которой что-то не знаешь, а потом вдруг узнаешь, если захочешь это сделать – и сделаешь.

 (Пауза, ответы учащихся)

• Иногда задачи решаются только с его помощью. Я не люблю их решать, потому что плохо умею это.

(Пауза, ответы учащихся)

• Не знаю, есть ли у него листья и стебли, но корни у него есть. Может один, а может больше. И только у некоторых нет и корней.

(Пауза, ответы учащихся)

• Во 2-м классе они – простые, в 7-м – линейные, в 8-м – квадратные, в 10-м – тригонометрические, а в 11-м – иррациональные.

Ответ: Уравнения.

Класс разбит на 3 творческие группы (по рядам). Каждая группа предварительно получила задание с уравнениями, которые необходимо было решить дома, применяя интенсивную работу с учебниками, пособиями, книгами.

Обсудив, разработав, найдя способы решения уравнений и систем в своих творческих группах, учащиеся предлагают их на обсуждение всему классу.

(Задания) Решить уравнения (системы)

I группа:        

II группа:        

III группа:        

(Перед уроком задания всех групп раздаются каждому ученику)

2. Проверка выполнения домашнего задания.

(Включается запись на магнитофоне).

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи – решайте их.

(Д. Пойа. Математические открытия.)

Доклады «старших» групп о готовности группы к уроку, о выполнении и разборе ими заданий.

3. Подготовка учащихся к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока.

Формирование задач урока в действиях учащихся.

Учитель:

• Мне приходится делить свое время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее потому, что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно.

А. Эйнштейн

• Итак, о вечных уравнениях и о красоте их решения.
• Вы предложите свои решения заданий, а я  вам покажу, возможно, не самые рациональные методы для данных уравнений, но с применением оригинальных методов.
• Решения задач является наиболее характерной и специфической разновидностью свободного мышления.

У. Джеймс

4. Применение знаний и способов действий учащихся.

Разбор и обсуждение методов решения заданий учащимися.

Нетрадиционные и оригинальные методы решения задач учащимися и учителем.

Методы решения:

IV1. Метод подстановки. 

(Включается запись на магнитофоне).

Мой дорогой Уотсон, попробуйте немного поанализировать сами, - сказал он с легким раздражением. – Вы знаете мой метод. Примените его, и будет поучительно сравнить результаты.

(А.К. Дойл. Знак четырех.)

(От каждой группы один ученик записывает решение первого уравнения своей группы и рассказывает всему классу, учащиеся разбирают и следят за правильностью решения, делая пометки для себя)

№1. Решите уравнение:

.

Решение.

Введем обозначения:  тогда 9-x=a3, 7+x=b3.

Почленно сложим обе части уравнения: 16=a3+b3.

Имеем систему уравнений:

Ответ: х=1.

№2.  Решите уравнение:  

Решение.

Ответ: [2;5].

№3. Решите уравнение:

.

Решение.

Ответ: х=0.5

IV2. Применение свойств функции.

(Включается запись на магнитофоне).

Я думаю, Дон, что в моей голове это просто не может уместиться. Я просто не знаю, как мне удастся все это выучить. – Практикой. Немножко теории и много практики, - сказал он. – На это уходит примерно дней десять.

(Р. Бах. Иллюзии.)

Использование области определения уравнения.

№4. Решите уравнение:

.

Решение.

Выпишем условия, при которых выражения, входящие в левую часть данного уравнения, имеют смысл:

Система решений не имеет. Поэтому и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

№5. Решите уравнение:

Решение.

Найдем область определения уравнения:

Подставив эти значения в уравнение, убеждаемся, что они его удовлетворяют.

Ответ: -9, 9.

№6. Решите уравнение:

Решение.

Рассмотрим функцию  Найдем ее область определения:

Итак, левая часть уравнения имеет смысл только при х=1. Но при х=1 , значит, данное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

IV3. Использование монотонности функции.

(Включается запись на магнитофоне).

Задай еще вопрос. Какое же наслаждение наблюдать за работой собственной головы, решающей мировые проблемы!

(Р.Бах. Иллюзии.)

№7. Решите уравнение:

Решение.

ОДЗ:

- возрастающая функция (как сумма возрастающих функций).

Найдем подбором корень, х=1. В силу теоремы о корне, имеем, что он единственный.

Ответ: х=1.

№8. Решите уравнение:

Решение.

-возрастающая функция (как сумма возрастающих функций).

В правой части уравнения  постоянная. В силу теоремы о корне, уравнение имеет не более одного решения. Очевидно, что х=2 – корень.

Ответ: х=2.

(Включается запись на магнитофоне).

- Не желаете ли, чтобы я помог вам считать? – вызвался Швейк. – Я в этих делах разбираюсь.

(Я. Гашек. Похождения бравого солдата Швейка.)

№9. Решите уравнение:

Решение.

Очевидно, что х=0.

Рассмотрим функцию .

Возьмем от нее производную:

.

Все слагаемые в правой части производной положительны при всех допустимых значениях х. Значит, при любых допустимых значениях f’(x)>0, т. е. f’(x)- возрастающая функция.

По теореме о корне, уравнение имеет не более одного решения. Корень х=0 - единственный.

Ответ: х=0.

Метод оценки левой и правой части (метод мажорант).

№10. Решите уравнение:

.

Решение.

ОДЗ: ,

Оценим левую часть уравнения:

Оценим правую часть уравнения:

Следовательно, левая часть исходного уравнения может быть равна правой части, только если обе части одновременно равняются 3.

Решая второй уравнение, получаем х=0.

Ответ: х=0.

№11. Решите уравнение:

.

Решение.

Запишем ОДЗ:

.

Можно утверждать, что .

Запишем уравнение в таком виде:

.

Оценим левую и правую части уравнения (*):

Т. о., исходное уравнение равносильно системе:

Ответ: (0;1).

№12. Решите уравнение:

.

Решение.

ОДЗ:

Рассмотрим правую часть уравнения. Введем функцию у=х2-6х+11. График функции парабола с вершиной А(3;2) и ветви направлены вверх. Наименьшее значение функции у(3)=2,

т.е. х2-6х+11≥2.

Введем функцию

С помощью производной найдем максимум функции, которая дифференцируема на

Решив первое уравнение системы, имеем х=3.

Подставляя это значение во второе уравнение, убеждаемся, что х=3-решение системы.

Ответ: х=3.

IV5. Использование неравенства Коши.

(Включается запись на магнитофоне).

Иногда приходится говорить о трудных вещах, но следует делать это как можно проще.

Г. Харди

Возможно учащимися не найдены решения 5-ых заданий, тогда учитель предлагает свои решения.

(Название оформлено на слайде для проектора в виде ребуса: конь, машина)

(на слайде для проектора) Применение неравенства (ребус).

Неравенство Коши. Пусть а1≥0, а2≥0, …, аk≥0. Тогда имеет место

 Причем равенство в неравенстве Коши достигается лишь в том случае, когда а1=а2=…=аk.

№13. (Задание оформлено на слайде для проектора)

Решите уравнение:

Решение.

Сделаем несколько оценок с помощью неравенства Коши.

Так как равенство имеет место при , отсюда х=0.

Ответ: х=0

IV. Геометрическое решение алгебраических задач.

(Включается запись на магнитофоне).

Генри снова кивнул, над его головой поднялось облачко табачного дыма.

- В первых примерах тебе навязывалось определенное однобокое представление, - заметил он, - я подумал, что будет справедливо, если будет представлена и противоположная сторона, чтобы ты мог составить целостную картину.

(Р. Желязны. Одержимый волшебством.)

№14. (Задание оформлено на слайде для проектора)

Решите систему уравнений

Решение.

Нетрудно убедиться, что х и у – положительны.

Поскольку - являются длинами соответственно катетов и гипотенузы треугольника АВС прямым углом АСВ.

Ответ: (10;6); (10;8).

№15. (Задание оформлено на слайде для проектора)

Решите систему уравнений

Решение.

Рассмотрим слагаемые (2) уравнения.

Пусть это расстояние между точками М(х;у) и А(2;-1).

Пусть это расстояние между точками М(х;у) и В(10;5).

Найдем расстояние между точками А и В.

Составим уравнение прямой АВ, проходящей через точки А(2;-1) и В(10;5).

Имеем новую систему:

Ответ: (6; 2).

(Решения упражнений прилагаются к конспекту урока).

5. Обобщение и систематизация знаний и способов действий учащихся.

После каждой группы обсужденный заданий, учитель предлагает свои нетрадиционные и оригинальные решения уравнений (систем), давая краткую характеристику методам решения.

Методы решения:

V1. Метод подстановки.

V2. Применение свойств функции.

V3. Использование монотонности функции.

V4. Геометрическое решение алгебраических задач.

V5. Использование неравенства Коши.

(Оригинальные и нетрадиционные приемы решения заданий в оформленном виде в конце урока раздаются всем учащимся, для подготовки к экзаменам).

6. Подведение итогов занятия.

Учитель:

Что означает владение математикой? Это есть умение решать задачи, притом не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности.

(Д. Пойа. Математические открытия.)

7. Домашнее задание.

 Записать решения, разобранных на уроке уравнений

(Включается запись на магнитофоне).

Если вы не можете решить задачу, вы всегда можете взглянуть на ответ. Но, пожалуйста, постарайтесь решить ее самостоятельно, тогда вы научитесь большему и быстрее.

(Д. Кнут. The TeXbook.)