Уравнения с параметрами.
консультация по алгебре (9 класс) на тему
Приведены способы решения квадратных уравнений, содержащих параметр.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
uravneniya_s_parametrami.doc | 90.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Важнейшей теоремой о корнях квадратного трехчлена является теорема Виета.
ТЕОРЕМА ВИЕТА.
Между корнями х1 и х2 квадратного трехчлена ах2 +bх +с и коэффициентами этого трехчлена существуют соотношения:
х1 + х2 =-;
х1х2 = .
ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА ВИЕТА.
Если числа х1 и х2 таковы, что
х1 + х2 = -р;
х1х2 =g.
СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ ВИЕТА.
х12 + х22 = (х1 + х2)2 – 2х1х2 = р2 – 2g,
х13 + х23 = (х1 + х2)(х12 + х22 –х1х2) = -р (р2 – 3g) = - р3 +3рg,
х14 + х24 = (х12 + х22)2 – 2х12 х22 = (р2 – 2g)2 – 2g2 = р4 - 3р2g + 2g2
Теорема Виета применяется для исследования знаков корней квадратного трехчлена.
1. Для того чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношений:
Д = b2 – 4ac 0; x1x2 = › 0, при этом оба корня будут положительны, если дополнительно выполняется условие
х1 + х2 = - › 0,
а оба корни отрицательны, если
х1 + х2 = -‹ 0.
2. Для того чтобы корни квадратного трехчлена имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношений
х1х2 = ‹ 0.
3. Решение задач, для которых характерны следующие формулировки:
при каких значениях параметра корни (только один корень) больше (меньше, не меньше, не больше) заданного числа р; корни расположены между числами р и g; корни не принадлежат промежутку с концами в точках р и g, опирается на утверждение о расположении корней квадратичной функции.
Пусть х1 и х2 – корни квадратного трехчлена ах2 +вх +с; Д › 0, А и В – точки на оси ОХ.
1*. Оба корня меньше числа А, то есть х1 ‹ А и х2 ‹А тогда и только тогда, когда выполняются условия:
Д › 0,
хв = -‹ А,
а f(А) › 0.
2*. Корни лежат по разные стороны от числа А, то есть х1 ‹ А ‹ х2, то выполняется неравенство:
Д › 0,
а f(А) ‹ 0.
3*. Оба корня больше числа А, то есть х1 › А и х2 › А, то выполняется условие:
Д › 0,
хв = -› А,
а f(А) › 0.
4*. Оба корня лежат между точками А и В, то есть
А ‹ х1 ‹ В и А ‹ х2 ‹ В, то выполняется условие:
Д › 0,
А ‹ хВ ‹ В
а f(А) › 0.
а f(В) › 0.
5*. Корни лежат по разные стороны от отрезка АВ, то выполняется условие:
Д › 0,
а f(А) ‹ 0.
а f(В) ‹ 0.
1. Найти значение коэффициента к, при котором уравнение
3х2– 2кх – к +6 = 0 не имеет корней.
Ответ: (-6; 3).
2. Найти значение коэффициента р, при котором уравнение
3х2– 2рх – р +6 = 0 имеет два корня.
Ответ: (-; -6) (3; +).
3. Найти три числа а,b,с, если известно, что их сумма равна 1, а квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет единственное решение х = -1.
Ответ: а =, b =, с = .
4. При каком целом а уравнение (а - 3)х2 + 2х = 3а – 11 = 0 имеет два равных корня?
Ответ: 4.
5. Не решая уравнения 2х2 – 4х + 1 = 0, вычислить сумму чисел обратных его корням.
Ответ: 4.
6. Не решая уравнения 2х2 – 4х + 1 = 0, вычислить сумму квадратов его корней.
Ответ: 3
7. Найти коэффициент g в уравнении х2 -2х + g =0, если корни уравнения х1 и х2 связаны соотношением 2х1 + х2 =3.
Ответ: 1.
8. Найти все значения а, при которых квадратное уравнение не имеет действительных корней:
а) (1 –а)х2 + 4х -3 = 0;
б) (3а – 5)х2 –(6а – 2)х + 3а – 2 =0.
9. Найти все значения а, при которых квадратное уравнение имеет действительные корни:
а) (1 – 3а)х2 – 4х – 3 = 0;
б) (а – 1)х2 –(2а + 3)х + а + 5 = 0.
10. При каких значениях коэффициента р отношение корней уравнения
х2 + рх + 1 = 0 равно 4?
Ответ: -2,5; 2,5
11. Найти наибольшее отрицательное значение к, при котором уравнение
5х2 + 2кх +5 =0 имеет два положительных корня.
Ответ:-5.
12. При каких а уравнение х2 – 2ах + а2 – а – 6 = 0 имеет два разных корня одного знака?
Ответ: (-6; -2) (3; +).
13. При каких а уравнение х2 – 2ах + а2 – а – 6 = 0 имеет два разных отрицательных корня?
Ответ: (-6;-2).
14. При каких значениях а уравнение 2х2 +(3а + 1)х +а2 +а+2 =0 имеет хотя бы один корень.
Ответ: (-; -3] [5; +).
15. Уравнение ах2 + bх + 5 =0 имеет корень, равный 1.Чему равны а и b?
Ответ: 0, -5, 5, -10.
16. При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения
5х2 – 7х + а =0 относятся как 2 к 5?
Ответ: 2.
17. В уравнении ах2 + 8х +3 =0 определить а таким образом, чтобы разность корней уравнения равнялась 1.
Ответ: 4, -16.
18. При каких а сумма квадратов корней уравнения х2 – 2ах + 2(а + 1) = 0
равна 20?
Ответ: -2, 3.
19. Найти все значения параметра а, при которых уравнение х2 + (а + 1)х +2 =0 имеет два разных корня одного знака.
Ответ: (2; +).
20. При каких значениях а корни уравнения (а -3)х2 – 2ах +6а =0
положительны?
Ответ: [3; ].
21. Уравнение ах2 + вх =2 =0, где а ‹ 0, имеет одним из корней число х =3. Найти действительные корни уравнения ах4 + вх2 +2 =0.
Ответ: ;
22. При каком наименьшем целом положительном значении а корни уравнения (а +1)х2 - 4ах + а -5 =0 строго положительны?
Ответ: 6.
23. При каких значениях а уравнение имеет два действительных корня одного знака 2х2 - 4а2х –а2 + 1 =0.
Ответ: (-1;-) (; 1).
24.Найти наименьшее значение а при котором корни х1 и х2 уравнения
х2 + ах + 6 =0 удовлетворяют условию х12 + х22 =13.
Ответ: -5.
25. При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного уравнения х2 + (4а +5)х +3 -2а =0.
Ответ: (-; -).
26. При каких значениях параметра а оба корня уравнения 4х2 - 2х + а =0
заключены между -1 и 1?
Ответ: [-2; ).
27. При каких а все корни уравнения (1 +а)х2 – 3ах +4а = 0 больше 1?
Ответ: [ -; -1].
28. При каких значениях а оба корня уравнения х2 – 6ах + 2 - 2а + 9а2 =0
больше 3-х?
Ответ:(; +).
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
«Задачи с модулем и параметром. Уравнения с параметрами»
Программа рассчитана на учащихся, проявивших интерес к изучению математики. Ввиду того, что тема «Модуль» изучается в 6 классе, а дальше ей не уделяется должного вн...
Линейные уравнения и системы линейных уравнений с параметрами
Методическая разработка на тему: "Линейные уравнения и системы линейных уравнений с параметрами"...
Обобщающий урок факультатив по теме "Квадратные уравнения + уравнения с параметром"
Обобщающий урок факультатив по теме "Квадратные уравнения + уравнения с параметром" 9 класс...
Линейные уравнения, неравенства и системы линейных уравнений с параметром.
Тестовые задания....
Решение уравнений, систем уравнений с параметрами графическим способом
При подготовке к экзаменам, с выпускниками 11 класса я провожу семинары по решению задач.. На этом семинаре решались задачи с параметрами. Задачи взяты из сборников ЕГЭ....
Обобщающий урок факультатив по теме "Квадратные уравнения + уравнения с параметром"
Цель урока:обобщение и систематизация знаний учащихся, закрепление и совершенствование навыков решения квадратных уравнений....
Курс внеурочной деятельности "Параметры. Уравнения с параметрами"
Решение задач с параметрами являются одними из сложных в курсе средней школы и требует большого количество времени на изучение. Поэтому я разработала данный курс как дополнение к школьной программе, к...