Обобщающий урок факультатив по теме

"Квадратные уравнения + уравнения с параметром"

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация Power Point (приложение ).

-Математику не зря называют «царицей наук». Ей больше, чем какой–нибудь  другой науке, свойственны красота, изящность и точность. Одно из замечательных качеств математики – любознательность. Постараемся доказать это на уроке. Вы уже умеете решать квадратные уравнения, задачи на составление квадратных уравнений. Но знания нужно не только  иметь, но и уметь их показывать,  что вы, надеюсь и сделаете на сегодняшнем уроке. А я вам  в этом помогу.

Я прочитаю вам стихотворение, а вы скажете тему нашего  урока.

Чтобы решить уравнение,
Корни его отыскать,
Нужно немного терпения,
Ручку, перо и тетрадь.
Минус напишем сначала,
Рядом с ними пополам,
Плюс – минус знак радикала,
С детства знакомого нам.    (дети говорят тему)

-Открываем тетради, записываем число и тему нашего урока: «Решение квадратных уравнений».

Цель урока:

обобщение и систематизация знаний учащихся, закрепление и совершенствование навыков решения квадратных уравнений.

 Повторим основные вопросы теории темы. (Слайды  

Ученики рассказывают по слайдам         блок теории. (фронтальный опрос)

А теперь мы с вами немножко поиграем. Игра наша называется домино. Возьмите по две доминошки.

Т.к. у нас с вами факультатив мы узнаем что такое  «Уравнения с параметром».

«Результаты экзаменов по математике показывают, что задачи с параметрами представляют для выпускников и абитуриентов наибольшую сложность, как в логическом, так и в техническом плане и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена».

Запишите в тетрадь: 7х=5: -3х =5, 0х = 5 каждое уравнение имеет вид ах = 5, где а некоторое число, х неизвестное число.

Первое уравнение, в котором а = 7, имеет корень .

Второе  уравнение, в котором а = -3, имеет корень .

Третье уравнение, в котором а = 0, не имеет корней.

Вообще уравнение вида ах = 5 при а= 0 имеет единственный корень , а при а=0 не имеет корней.

Говорят, что а является параметром, а уравнение ах=5 – уравнение с параметром.

 Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решим уравнение

bx – 3x = b3 – 3b2 + 4b – 12 c параметром b.

Вынесем в левой части уравнения множитель х за скобки. Получим

(b – 3)х = b3 - 3b2 + 4b – 12

 Мы имеем линейное уравнение, число корней которого зависит от того, отличен ли от нуля коэффициент при х или равен нулю.

Если b – 3 = 0, т.е. b = 3, то уравнение имеет единственный корень

х =

Преобразуем числитель дроби, разложив его на множители, получим

х =  отсюда х = b2 + 4.

Если b - 3 = 0, т.е. b = 3, то уравнение принимает вид 0х = 0. В этом случае любое число является корнем уравнения. Итак, мы нашли, что при b = 3 уравнение имеет единственный корень b2 + 4, а при b = 3 любое число является корнем уравнения.

Ответ: при b = 3 х = b2 + 4, а при b = 3 любое число является корнем уравнения.

Пример 2. Решим уравнение

py – p – 1 = 0    c параметром p.

Если p = 0, то уравнение имеет единственный корень

рy = р + 1

y =

Если р = 0, то уравнение примет вид:  - 1 = 0. Данное уравнение не имеет корней.

Ответ: при р = 0 нет корней, при р = 0 y =

Пример 3. Решите уравнения с параметром  а:

ах – 2х = а3 – 2а2 – 9а + 18

х(а – 2)= а2(а – 2) – 9(а – 2)

(а – 2)х = (а – 2)(а2 – 9)

Если а – 2 = 0, то есть а=2, то х – любое число.

Если а – 2 = 0, то есть а=2, то х =

х = а2 – 9

 Ответ: при а = 2х – любое число, при а = 2       х = а2 – 9.

Пример 4   Решите относительно х уравнение:

3х2 – 10ах + 3а2 = 0

D = (-10а)2  - 4 3 3а2 = 100а2 – 36а2 = 64а2

Если а = 0, то D = 0     и     х =,  х = 0

Если а = 0, то D˃ 0   и      х =

                                               х=

                                  х1 = ,         х2 =

Ответ: при а = 0, х = 0; при а = 0, х1 = 3а, х2 =

Занимательная страница  (если останется время)

Квадратные уравнения впервые встречаются в работе индийского математика и астронома Ариабхатты.

Другой индийский ученый Брахмагупта (VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным.

В те времена в  Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в стихотворную форму.  

Предлагаю вам    одну из таких задач                

                          Задача Бхаскары:

     Обезьянок резвых стая, всласть поевши, развлекалась.

    Их в  квадрате часть восьмая на полянке забавлялась.

    А  двенадцать по лианам  стали прыгать, повисая.

    Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?

Решение задачи  Бхаскары

Пусть было х обезьянок, тогда  на поляне забавлялось   (  )2 обезьянок,

а   12 – прыгали по лианам.

Получим уравнение           (  )2 + 12 = х,

                                              х2 – 64х + 12∙64 = 0,   х1 = 16    или х2 = 48.

ИТОГ УРОКА 

Сегодня на уроке мы с вами повторили и обобщили знания по теме «Квадратные уравнения».

-Благодарю за хорошую работу.

Урок сегодня завершён.

Дружней вас не сыскать.

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу приведут!

Всем спасибо. До свидания.