Курс внеурочной деятельности "Параметры. Уравнения с параметрами"
методическая разработка по алгебре (8 класс)

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение гимназия №40 им. Ю.А. Гагарина г. Калининграда

Программа курса внеурочной деятельности

 «Параметры. Решение уравнений с параметрами»

 для учащихся 7-8 класса

Малая Алла Александровна

 учитель высшей категории

        Г. Калининград

2020

Содержание.

• Введение
• Понятие уравнения с параметром
• Линейные уравнения с параметрами
• Линейные уравнения и приводимые к ним уравнения с параметрами
• Графический метод решения уравнений c параметром
• Системы линейных уравнений
• Рациональные уравнения с параметрами
• Квадратные уравнения с параметрами
• Задачи на применение теорем Виета
• Иррациональные уравнения с параметрами
• Решение различных уравнений с параметрами.

Введение

Решение задач с параметрами является одним из самых трудных разделов школьной математики и требует большого количества времени на их изучение. При решении задач с параметрами требуется, кроме хорошего знания стандартных методов решений уравнений и неравенств, умение проводить логические построения, аккуратность и внимательность для того, чтобы не потерять решение и не приобрести лишних. Это требует от школьника более развитого логического мышления и математической культуры.

Из опыта работы в выпускных классах, видно, что учащиеся, владеющие методами их решения, обычно успешно справляются и с другими задачами. Но в то же время задачи с параметрами, включенные в содержание ЕГЭ по математике, очень часто оказываются не по силам учащимся.

Поэтому наша цель – научить учащихся методам решения задач с параметром, помочь преодолеть психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра.

 Формировать умение учащихся видеть в выражении число, обозначенное буквой, необходимо на начальных ступенях обучения математике, а так же в 5-6 классах на простейших задачах - сравнение чисел, корень уравнения.

Продолжить работу по решению простейших линейных уравнений с параметрами и приводимых к ним можно в 7 классе при изучении темы: "Решение линейных уравнений". Задачи с параметрами можно и нужно использовать, уже начиная с линейных и квадратных уравнений и неравенств (7 – 9 классы).

Понятие уравнения с параметром

С параметрами учащиеся встречаются при введении некоторых понятий – функция прямая пропорциональность: y = kx ; линейная функция  y=kx +b, где  k - это параметр; а так же линейные и квадратные уравнения. К задачам с параметрами можно отнести задачи, например, поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметра.

Основное, что нужно усвоить при первом знакомстве с параметром – необходимость осторожного обращения с фиксированным, но неизвестным числом.  Необходимость осторожного обращения с параметром хорошо видна на таких примерах, где замена параметра числом делает замену более простой. К таким задачам, например, относятся: сравнить два числа, решить линейное или квадратное уравнение и неравенство и т.д.

Рассмотрим примеры:

Сравнить:   -a  и  3a

Решение:

1. Если  а  0, то   -а 3а
2. Если  а = 0, то    -а = 3а
3.  Если  а, то   -а  3а

1. Линейные уравнения и приводимые к ним уравнения с параметрами.

 Линейным уравнением называется уравнение вида 𝑎𝑥 = 𝑏, где 𝑎, 𝑏 - некоторые действительные числа, x – переменная.

         В зависимости от коэффициента а, зависит и решение этого уравнения. Если а=0, возникает два вопроса значениях b:

∙ Если а=0, b=0, то уравнение принимает вид 0х=0, значит уравнение имеет бесконечно много решений, решением является любое действительно число. ∙ Если а=0, 𝑏 ≠ 0, то уравнение принимает вид 0х=b, значит уравнение не имеет корней, т.к. нет такого числа, которое при умножении на нуль даст результат, отличный от нуля.  

∙ При а≠0, то можем обе части уравнения разделить на а, имеем единственный корень, равный 𝑥 = 𝑏/𝑎

Ответ: при 𝑎 ≠ 0 единственное решение 𝑥 = 𝑏/ 𝑎 ;

при а=0, b=0 х – любое число;

при а=0, 𝑏 ≠ 0 нет решений.

1. Решить уравнение     ах = 1

1. Если а = 0, то  0 = 1, решений не имеет
2. Если а 0, то х = 1/а

2.  – 1) х = а + 1

        Решение:

(𝑎 – 1) (𝑎 + 1) х = а + 1

𝑎 +1 =0 , 𝑎 = -1 или 𝑎 -1 = 0 , 𝑎 = 1

1. 𝑎 = 1, тогда  0х = 2, нет решений
2. 𝑎 = -1, тогда  0х = 0, х – любое
3. 𝑎 -1; 1  тогда х = 1/( 𝑎 – 1)

Ответ: если 𝑎 = 1, то решений нет; если 𝑎 = -1, то х – любое;  если 𝑎 -1; 1 , то х = 1/( 𝑎 – 1).

Существенным этапом решения задач с параметром является запись ответа. Особенно это относится к примерам, где запись как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. Составление ответа – это сбор ранее полученных результатов.

3.  В уравнении (𝑎 − 1)𝑥 = 𝑎 − 2   определите 𝑎  так, чтобы число 3 было его корнем.

        Решение.

Если  𝑥 = 3  -  корень  уравнения, то оно обращает его в верное равенство.

Подставим 𝑥 = 3 в уравнение и решим его

(𝑎 − 1) ∙ 3 = 𝑎 − 2

3𝑎 − 𝑎 = 3 − 2

𝑎 = 0,5

Итак, при 𝑎 = 0,5 число 3 является корнем уравнения (𝑎 − 1)𝑥 = 𝑎 − 2.

Ответ: 0,5.         

4. Для каждого значения параметра а решить уравнение 

𝑥 − 1 = 𝑥 + 𝑎.

Решение.

1. Приведем уравнение к виду 𝑎𝑥 = 𝑏,

𝑥 −  𝑥 =  𝑎 + 1.

𝑥( = 𝑎 + 1

(𝑎 − 1)(𝑎 + 1)𝑥 = 𝑎 + 1

Найдем значения параметра, при которых коэффициент при x обращается в нуль.

(𝑎 − 1)(𝑎 + 1) = 0

𝑎 = 1 или 𝑎 = −1

1) Если 𝑎 = 1, то уравнение принимает вид 0 ∙ 𝑥 = 2, т.е. уравнение не имеет решений.

2) Если 𝑎 = −1, то уравнение принимает вид 0 ∙ 𝑥 = 0, 𝑥 – любое

3) Если 𝑎 ≠ 1; 𝑎 ≠ −1, то уравнение имеет единственное решение:

𝑥 = 𝑎 + 1/ (𝑎 + 1)(𝑎 − 1) ;  𝑥 = 1/ (𝑎 − 1)         

Ответ:  Если 𝑎 = 1, то не имеет решений;

              Если 𝑎 = −1, то 𝑥 – любое

              Если 𝑎 ≠ 1; 𝑎 ≠ −1, то уравнение имеет единственное решение:

              𝑥 = 𝑎 + 1/ (𝑎 + 1)(𝑎 − 1) ;  𝑥 = 1/ (𝑎 − 1)         

5. Решить уравнение:   +   = 0

Решение.

Это уравнение равносильно системе:

х = 1 или х = -1

2.   , а = 0 или х = 1

При а = 0, из второго уравнения получаем, 0 = 0,  х - любое

При а  0, второе уравнение системы, а значит и сама система имеет единственное решение х = 1

Ответ: При а  0 , х = 1; при а = 0, х = -1; 1        

6. Решить уравнение

(х – а)/ (х – 1) = 0

Решение.

По условию  х – а = 0, х = а, но  х – 1 0, х  1

Ответ :  Если 𝑎 ≠ 1; то х = а

              Если 𝑎 = 1; решений нет

Решить самостоятельно:

1. Решить уравнения:

1. (𝑎 − 2) 𝑥 = 2 – 𝑎
2.  (𝑎  + 8) 𝑥 = 8 + 𝑎

7. Укажите все значения параметра 𝑎, при котором уравнение

𝑎𝑥 − 2𝑥 = 3(𝑥 − 1) имеет корень.

Решение.

𝑎𝑥 − 2𝑥 = 3(𝑥 − 1)

1. Приведем уравнение к виду 𝑎𝑥 = 𝑏,

𝑎𝑥 − 2𝑥 = 3𝑥 − 3

𝑎𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = −3

𝑎𝑥 − 5𝑥 = −3

( 𝑎 − 5)𝑥 = −3

2. 𝑎 - ?

 𝑎 − 5 = 0 , 𝑎 = 5

3) Если 𝑎 = 5, то уравнение принимает вид 0x = -3, т.е. при 𝑎 = 5 уравнение не имеет решений.

4) Если 𝑎 ≠ 5, то уравнение имеет единственное решение 𝑥 = − 3 /𝑎 – 5

 Ответ: при 𝑎 =5, нет решений

            при  𝑎 ≠ 5, единственный корень  𝑥 = − 3 /𝑎 − 5         

2. Решение уравнений с параметрами, приводимых к линейным уравнениям

8. При всех значениях a решите уравнение 2(𝑎 + 1)𝑥/ 𝑎 = 3(𝑥 + 1) + 7/ 𝑎

Обращаем внимание на то, что параметр находится в знаменателе. А знаменатель дроби не должен быть равен нулю (т.е. параметр имеет область допустимых значений).

О.Д. З, 𝑎 ≠ 0

1) При a=0 уравнение не имеет смысла

2)При 𝑎 ≠ 0

2(𝑎+1)𝑥 /𝑎 = 3(𝑥 + 1) + 7 /𝑎 

Умножим обе части уравнения на 𝑎 ≠ 0,

2(a+1)x=3a(x+1) + 7

2ах + 2х = 3ах + 3а +7

2х – ах = 3а + 7

(2 – а) х = 3а + 7  (*)

1. Если 2-a=0, то  a=2, то 0∙x=13 уравнение не имеет корней.
2. Если 𝑎 ≠ 2, то уравнение имеет единственное решение

 𝑥 = 3𝑎 + 7/(2 – а)

Ответ: Если a=2, то уравнение не имеет корней.

             Если 𝑎 ≠ 2, то уравнение имеет единственное решение

                   𝑥 = 3𝑎 + 7/(2 – а)

9. Решить уравнение - 1)*x = a +1

Решение:  Перепишем уравнение (а – 1)(а +1)*х = а +1

1. Если а = 1, то 0х = 2 и не имеет решения;
2. Если а = -1, то 0х = 0 ; х – любое число;
3. Если а  ≠ -1; 1, имеем х =

Ответ:  если а = 1, нет решения;

если а = -1, то х – любое число;

если а  ≠ -1; 1, имеем х = .

3. Решение уравнений с параметром при разложении многочленов на множители

10. При каком значении 𝑎 уравнение не имеет корней:

(х  + 1)(х – 3) – х(х – 3) = 𝑎х

Решение:

(х – 3)(х + 1 – х) = 𝑎х

(х – 3) = 𝑎х

х – 𝑎х = 3

(1 – 𝑎) х = 3

1. Если 𝑎 = 1,  то  0х = 3, то уравнение не имеет корней.
2. Если 𝑎  ≠1, то уравнение имеет единственный корень

Х = 3/(1 – 𝑎)

Ответ :  если 𝑎 = 1,  то уравнение не имеет корней:

            если 𝑎  ≠1, то уравнение имеет единственный корень

            х= 3/(1 – 𝑎)

11. При каком значении 𝑎 уравнение  имеет бесконечно много корней

(х – 4)(х + 𝑎) – (х + 2 )(х – 𝑎) = -6

Решение:

 + ха – 4х – 4а -  + ха – 2х + 2а = -6

 ха – 6х – 2а = -6

   /2

(а – 3)х = а – 3 (*)

3. Если а = 3, то  0х = 0, то  х – любое;
4. Если а ≠ 3, то  уравнение имеет единственный корень

х = а – 3/ (а – 3), х = 1.

Ответ: 

если а = 3, то  уравнение  имеет бесконечно много корней;

если а ≠ 3, то  уравнение имеет единственный корень

х = 1.

Решить самостоятельно:

1. Решить уравнения:

1. (𝑎 + 𝑥) (2𝑥 – 5) – (2 𝑥 + 3)( 𝑥 + 1) = 4

Ответ : при а = 5, корней нет

2. 𝑥 (3 𝑥 – 2) – (𝑥 + 2 𝑎)(3 𝑥 + 2) = 5 𝑎 +6

Ответ : при а = -2/3 бесконечно много корней

3. ( – 25) 𝑥 = 𝑎 + 5

Ответ:  при а = 5, корней нет

              при а = -5, бесконечно много корней

 при а ≠ -5; 5, один корень х = 1/(а - 5)

4. Графический метод решения уравнений c параметром.

Графиком функции y = f(x),𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) называется множество всех точек координатной плоскости вида Oxy вида (x, f(x)), где 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Рассмотрим приемы и методы решений задач с параметрами с использованием метода наглядной графической интерпретации.

Лучше всего приведенный метод работает в тех случаях, когда в условии задачи ставится вопрос о количестве корней в зависимости от значений параметра или определения значений параметра, при которых решение отсутствует или единственно. Эти типы задач отличает то, что при их решении не требуется получить явное решение, а нужно лишь найти те значения параметра, при которых это решение удовлетворяет тем или иным условиям.

Рассмотрим примеры, содержащие модуль.

1. Постройте график функции  у =  - и найдите значения а, при которых прямая  у = а имеет с ним ровно две общие точки.

Решение.

Раскроем модули:

 у =  -  =  

 у =  -  =

Построим  график кусочно-непрерывной функции:

Прямая  у = аимеет с графиком данной функции ровно две общие точки при а = -3 или  а = 0  .

Ответ: при а = -3 или  а = 0 .

Решить самостоятельно:

Постройте график функции

У =          

и определите, при каких значениях прямая у = с имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ:  с = 1; -2

2 . Точки А(2; 3) и В(5;) принадлежат прямой  y = kx . Найдите значение  

        Решение:

1. Точка А(2; 3) принадлежат прямой  y = kx, значит  2к = 3;
2. Точка В (5;) принадлежат прямой  y = kx, значит  5к=
3. Найдем к, к= 3/2 и подставим ,   = 7,5

Ответ:  = 7,5

5. Системы линейных уравнений

1.  Подберите такие значения a и b, при которых система уравнений

1. имеет бесконечно много решений
2. единственное решение
3. не имеет решений

Решение:

1) a =  -2   b = -6

2)  a = 3      b = 7

3)  a = -2     b =-12

2. При каком значении а имеет решение система уравнений:

Решение:

1. Решим систему 2-х уравнений

2. Умножим (1) уравнение на3, (2) уравнение на (-7)

Решим  методом алгебраического сложения, получаем

   = 63 - 140

-11 = - 77

 = 7

                 Найдем  ,  

4. Подставим найденные значения в третье уравнение

Ответ:  при  

 3. Графики функций  y = ax + 12  и  y = (3 – a)x + a  пересекаются в точке с абсциссой 2. Найдите ординату точки пересечения.

Решение:

1.  получаем   y = 2a + 12  и  y = (3 – a)2 + a  
2. получим

      2a + 12 = (3 – a)2 + a  

      2а+ 12  = 6 – 2а + а

      3а = -6

       а = - 2

3. :

У = -2 * 2 + 12 = 8

Ответ:  у = 8

6. Рациональные уравнения с параметром

Уравнение, левая и правая части которого являются рациональными выражениями, называются рациональными. Процесс решения заключается в построении алгоритма, позволяющего для любого значения параметра – найти множество корней уравнения.

Пример 1. Решите уравнение

Решение:  

Приводим подобные и получаем  

Уравнение равносильно системе  ;

 ;

Исследуем на наличие решений:

1) если a =1 , то уравнение системы имеет вид 0x = 0 , с учетом ОДЗ, решением уравнения является любое число, кроме -2

2) если  a  1 , то получаем      ;  

Ответ: если a = 1 , то корнем уравнения является любое число, кроме -2;  если  a  1, то x=1.

        Мы видим, что при решении рационального уравнения с параметром, используем тот же алгоритм решения уравнения, как если бы вместо параметра было фиксированное число.

Пример 2. При каких значениях параметра a уравнение                    имеет единственное решение?

Решение:  

Уравнение  равносильно системе   ;

 ;

1) При любом a уравнение имеет корень   . Корень будет единственный, если  или  не удовлетворяет условию

Ответ: или

Пример 3. Для каждого значения параметра решите          уравнение?        

Решение:

1) если ,   то   , то      

2) если ,   то   ,  то      

3) если ; 1, то  

Ответ:  если ,  то    если ,  то    если ; 1, то  

Примеры для самостоятельного решения:

4. Для каждого параметра решите уравнение:

1) ;  2) ;  3)

5. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение

1) ;  2) ;  3)

7.  Квадратные  уравнения  с  параметрами

Квадратное уравнение  = 0

Алгоритм решения уравнений:

1. Если  a = 0, то получается линейное уравнение bх + c=0.
2. Если  a ≠ 0 и дискриминант уравнения D = b² – 4ac < 0, то уравнение не имеет действительных решений.
3. Если, a ≠ 0 и D = 0, то уравнение имеет единственное решение х = 
4. Если a ≠ 0 и D > 0, то уравнение имеет два различных корня   .

Пример 1. При каких значениях  параметра a  уравнение       имеет единственный корень?

Решение: Уравнение имеет один корень, если его дискриминант равен нулю.

D = – 144

– 144 = 0

Ответ: при  

Пример 2. При каких значениях  параметра b  уравнение       имеет два корня?

Решение: Уравнение имеет два корня, если его дискриминант больше нулю.

D = 9 – 4b

9 – 4b

– 4b

b

Ответ: Уравнение имеет два корня при  b .

Пример 3. Для каждого параметра b решите уравнение:

Ответ:    или = 4

Пример 4. При каких значениях  параметра a  сумма корней уравнения

равна 3?

Решение: По обратной т. Виета  =3

+ - 3 = 0, отсюда    = 1

Ответ: при    = 1

Пример 5. При каких значениях параметра   уравнение имеет единственный корень  

Решение:

1) если  , тогда получаем 15 = 0, решений нет;

2) если   ≠ 0,  ≠ 4, получаем квадратное уравнение. Уравнение имеет один корень, если дискриминант равен 0.

                                                         или Но при  уравнение не имеет корней.

Ответ:  = 19

Пример 6. При всех значениях  параметра a  решить уравнение

1) Решим квадратное уравнение  по теореме обратной т. Виета, получаем  или   = 1;

2) уравнение равносильно системе

Исследуем на наличие корней: если а = 1, то ; если а = 7, то если а  1 и а  7, то  .

Ответ: если а = 1, то ; если а = 7, то если а  1 и а  7, то  .

Пример 7. При каких значениях параметра a  уравнение имеет единственный корень?

Решение:

1)при  получаем 1 + 3 - + ;  -  6 = 0,

если , то   = 1 или    , но так как по условию , то .

2) при  получаем  - + ;  -  6 = 0,  

если , получаем ,   = 3  или    , но так как по условию , то  – один корень;

3)если   

Получаем D = , отсюда = 3,5.

Ответ: при = 3,5; 3; 4.

Примеры для самостоятельного решения:

Пример 8. При всех значениях  параметра a  решить уравнение

Пример 9. При каких значениях  параметра a  уравнение имеет единственный корень

Пример 10. При каких значениях  параметра a  уравнение имеет единственный корень

Заканчивая курс решения уравнений с параметрами для учащихся 7-8 классов,  решим уравнение с модулем.

(ЕГЭ) Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых  уравнение  =3  имеет ровно 3 корня?

1. Уравнение имеет четное количество корней, так как все ненулевые корни разбиваются на пары;
2.  По условию – корней нечетное число, поэтому х = 0 должен быть корнем уравнения

                                      = 3 (*)

                                                 а =4  или  а = 1

3. если а = 4,  = 3  

 = 3 или   = -3

 = 0 ,  х = 0            или      , корней нет

           при а = 4, уравнение имеет 1 корень, не подходит по условию

4. если а = 1

 = 3

                  = 3 или   = -3

                   = 0

Уравнение имеет ровно 3 корня при а = 1

Ответ:  при а = 1

Подведение итога:

После того, как мои выпускники в 10-11 классах в рамках внеурочной деятельности изучали различные методы решения уравнений и неравенств с параметрами и успешно справились с заданием №18 ЕГЭ, то я решила разработать данный курс для учащихся 7-8 класса, чтобы они в дальнейшем не боялись заданий с параметрами, имели о них представления и умели их решать. В курсе 7-8 классов в основном рассматриваются две темы – Линейные уравнения и сводящиеся к ним и Квадратные уравнения и сводящиеся к ним. В дальнейшем я планирую разработать курс и для учащихся 9-х классов и применять в своей практике курс «Параметры» с 7-11 классы.